Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7: Обсяг і міра

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    63066

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Наша теорія множинних сімейств цілком закономірно призводить до узагальнення метричних просторів. Як ми знаємо, в будь-якому такому просторі\((S, \rho),\) є сімейство відкритих\(\mathcal{G}\) гарнітурів, і\(\mathcal{F}\) сімейство всіх закритих комплектів. У главі 3, §12, ми вивели наступні дві властивості.

    (i)\(\mathcal{G}\) закривається під будь-якими (навіть незліченними) союзами та під скінченними перетинами (Глава 3, §12, Теорема 2). Більш того,

    \[\emptyset \in \mathcal{G} \text { and } S \in \mathcal{G}.\]

    (ii)\(\mathcal{F}\) має ці властивості, при цьому «союзи» та «перетину» взаємозамінені (Глава 3, §12, Теорема 3). Більш того, за визначенням,

    \[A \in \mathcal{F} \text { iff }-A \in \mathcal{G}.\]

    Зараз, досить часто, не так важливо мати відстані (тобто метрику),\(S,\) а скоріше виділити дві множинні сімейства,\(\mathcal{G}\) і\(\mathcal{F},\) з властивостями (i) і (ii) відповідним чином. Приклади див. у розділі Проблеми 1 - 4 нижче. Один раз\(\mathcal{G}\) і\(\mathcal{F}\) задано, не потрібна метрика для визначення таких понять, як безперервність, межі тощо (див. Проблеми 2 та 3.) Це призводить нас до наступного визначення.