8.5: Експоненціальна функція

Визначення

Ми називаємо обернену функцію логарифма експоненціальною функцією. Позначимо значення експоненціальної функції при дійсному числі$x$ по$\exp (x)$.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Експоненціальна функція має область$\mathrm{R}$ і діапазон$(0,+\infty)$. Більш того, експоненціальна функція збільшується і диференційована на$\mathbb{R}$. Якщо$f(x)=\exp (x),$ тоді$f^{\prime}(x)=\exp (x)$.

Доказ

Тільки остаточне твердження пропозиції вимагає доказів. Якщо ми дозволимо$g(x)=\log (x),$ тоді

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(\exp (x))}=\exp (x).$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Для будь-яких дійсних чисел$x$ і$y$,

$$\exp (x+y)=\exp (x) \exp (y).$$

Доказ

Результат випливає з

$$\log (\exp (x) \exp (y))=\log (\exp (x))+\log (\exp (y))=x+y.$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Для будь-якого дійсного числа$x$,

$$\exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}.$$

Доказ

Результат випливає з

$$\log \left(\frac{1}{\exp (x)}\right)=-\log (\exp (x))=-x.$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте теорему Тейлора, щоб показати, що

$$\exp (1)=e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}.$$

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Для будь-якого раціонального числа$\alpha$

$$\exp (\alpha)=e^{\alpha}.$$

Доказ

Так як у$\log (e)=1,$ нас є

$$\log \left(e^{\alpha}\right)=\alpha \log (e)=\alpha.$$

Q.E.D.

Визначення

Якщо$\alpha$ це ірраціональне число, визначаємо

$$e^{\alpha}=\exp (\alpha).$$

Зверніть увагу, що для будь-яких дійсних чисел$x$ і$y$,

$$e^{x+y}=e^{x} e^{y}$$

і

$$e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}.$$

Причому,$\log \left(e^{x}\right)=x$ і, якщо$x>0, e^{\log (x)}=x$.

Визначення

Якщо$x$ і$a$ є дійсними числами з$a>0,$ ми визначаємо

$$a^{x}=e^{x \log (a)}.$$

Вправа$\PageIndex{2}$

$f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$Визначте$f(x)=x^{a},$, де$a \in \mathbb{R}, a \neq 0$. Покажіть, що$f^{\prime}(x)=a x^{a-1}$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо,$a$ це додатне дійсне число і$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ визначається$f(x)=a^{x} .$ Show that$f^{\prime}(x)=a^{x} \log (a)$.

Пропозиція$\PageIndex{5}$

Для будь-якого дійсного числа$\alpha>0$,

$$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} e^{-x}=0.$$

Доказ

Ми знаємо, що

$$\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{\log (y)}{y^{\frac{1}{2}}}=0.$$

Звідси

$$\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{(\log (y))^{\alpha}}{y}=0.$$

$y=e^{x},$Дозволивши нам

$$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{\alpha}}{e^{x}}=0.$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{6}$

Для будь-якого дійсного числа$\alpha$,

$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^{x}=e^{\alpha}.$$

Доказ

Спочатку відзначимо, що, пускаючи$x=\frac{1}{h}$,

$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^{x}=\lim _{h \rightarrow 0+}(1+\alpha h)^{\frac{1}{k}}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} e^{\frac{1}{h} \log (1+\alpha h)}.$$

Використовуючи правило I'Hópital, ми маємо

$$\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\log (1+\alpha h)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\alpha}{1+\alpha h}=\alpha,$$

і результат випливає з неперервності експоненціальної функції. $\quad$Q.E.D.

Визначення

Визначаємо гіперболічні синусоїдальні та гіперболічні косинуси функціями

$$\sinh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$$

і

$$\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},$$

відповідно.

Вправа$\PageIndex{4}$

Покажіть, що для будь-яких дійсних чисел$x$ і$y$,

$$\sinh (x+y)=\sinh (x) \cosh (y)+\sinh (y) \cosh (x)$$

і

$$\cosh (x+y)=\cosh (x) \cosh (y)+\sinh (x) \sinh (y).$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Показати, що для будь-якого дійсного числа$x$,

$$\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1.$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Якщо$f(x)=\sinh (x)$ і$g(x)=\cosh (x),$ показати, що

$$f^{\prime}(x)=\cosh (x)$$

і

$$g^{\prime}(x)=\sinh (x).$$