8.5: Експоненціальна функція
- Page ID
- 62446
Ми називаємо обернену функцію логарифма експоненціальною функцією. Позначимо значення експоненціальної функції при дійсному числі\(x\) по\(\exp (x)\).
Експоненціальна функція має область\(\mathrm{R}\) і діапазон\((0,+\infty)\). Більш того, експоненціальна функція збільшується і диференційована на\(\mathbb{R}\). Якщо\(f(x)=\exp (x),\) тоді\(f^{\prime}(x)=\exp (x)\).
- Доказ
-
Тільки остаточне твердження пропозиції вимагає доказів. Якщо ми дозволимо\(g(x)=\log (x),\) тоді
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(\exp (x))}=\exp (x).\]
Q.E.D.
Для будь-яких дійсних чисел\(x\) і\(y\),
\[\exp (x+y)=\exp (x) \exp (y).\]
- Доказ
-
Результат випливає з
\[\log (\exp (x) \exp (y))=\log (\exp (x))+\log (\exp (y))=x+y.\]
Q.E.D.
Для будь-якого дійсного числа\(x\),
\[\exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}.\]
- Доказ
-
Результат випливає з
\[\log \left(\frac{1}{\exp (x)}\right)=-\log (\exp (x))=-x.\]
Q.E.D.
Використовуйте теорему Тейлора, щоб показати, що
\[\exp (1)=e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}.\]
Для будь-якого раціонального числа\(\alpha\)
\[\exp (\alpha)=e^{\alpha}.\]
- Доказ
-
Так як у\(\log (e)=1,\) нас є
\[\log \left(e^{\alpha}\right)=\alpha \log (e)=\alpha.\]
Q.E.D.
Якщо\(\alpha\) це ірраціональне число, визначаємо
\[e^{\alpha}=\exp (\alpha).\]
Зверніть увагу, що для будь-яких дійсних чисел\(x\) і\(y\),
\[e^{x+y}=e^{x} e^{y}\]
і
\[e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}.\]
Причому,\(\log \left(e^{x}\right)=x\) і, якщо\(x>0, e^{\log (x)}=x\).
Якщо\(x\) і\(a\) є дійсними числами з\(a>0,\) ми визначаємо
\[a^{x}=e^{x \log (a)}.\]
\(f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}\)Визначте\(f(x)=x^{a},\), де\(a \in \mathbb{R}, a \neq 0\). Покажіть, що\(f^{\prime}(x)=a x^{a-1}\).
Припустимо,\(a\) це додатне дійсне число і\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) визначається\(f(x)=a^{x} .\) Show that\(f^{\prime}(x)=a^{x} \log (a)\).
Для будь-якого дійсного числа\(\alpha>0\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} e^{-x}=0.\]
- Доказ
-
Ми знаємо, що
\[\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{\log (y)}{y^{\frac{1}{2}}}=0.\]
Звідси
\[\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{(\log (y))^{\alpha}}{y}=0.\]
\(y=e^{x},\)Дозволивши нам
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{\alpha}}{e^{x}}=0.\]
Q.E.D.
Для будь-якого дійсного числа\(\alpha\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^{x}=e^{\alpha}.\]
- Доказ
-
Спочатку відзначимо, що, пускаючи\(x=\frac{1}{h}\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^{x}=\lim _{h \rightarrow 0+}(1+\alpha h)^{\frac{1}{k}}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} e^{\frac{1}{h} \log (1+\alpha h)}.\]
Використовуючи правило I'Hópital, ми маємо
\[\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\log (1+\alpha h)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\alpha}{1+\alpha h}=\alpha,\]
і результат випливає з неперервності експоненціальної функції. \(\quad\)Q.E.D.
Визначаємо гіперболічні синусоїдальні та гіперболічні косинуси функціями
\[\sinh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]
і
\[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\]
відповідно.
Покажіть, що для будь-яких дійсних чисел\(x\) і\(y\),
\[\sinh (x+y)=\sinh (x) \cosh (y)+\sinh (y) \cosh (x)\]
і
\[\cosh (x+y)=\cosh (x) \cosh (y)+\sinh (x) \sinh (y).\]
Показати, що для будь-якого дійсного числа\(x\),
\[\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1.\]
Якщо\(f(x)=\sinh (x)\) і\(g(x)=\cosh (x),\) показати, що
\[f^{\prime}(x)=\cosh (x)\]
і
\[g^{\prime}(x)=\sinh (x).\]