8.4: Функції логарифма
- Page ID
- 62439
З огляду на додатне дійсне число, яке\(x,\) ми називаємо
\[\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t\]
логарифм\(x .\)
Зверніть увагу, що\(\log (1)=0, \log (x)<0\) коли\(0<x<1,\) і\(\log (x)>0\) коли\(x>1 .\)
Функція\(f(x)=\log (x)\) є зростаючою, диференційованою функцією з
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\]
для всіх\(x>0 .\)
- Доказ
-
Використовуючи фундаментальну теорему числення, ми маємо
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}>0\]
для всіх,\(x>0,\) з чого випливає результат. \(\quad\)Q.E.D.
Для будь-якого\(x>0\),
\[\log \left(\frac{1}{x}\right)=-\log (x).\]
- Доказ
-
Використовуючи підстановку у\(t=\frac{1}{u},\) нас
\[\log \left(\frac{1}{x}\right)=\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{t} d t=\int_{1}^{x} u\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) d u=-\int_{1}^{x} \frac{1}{u} d u=-\log (x).\]
Q.E.D.
Для будь-яких позитивних дійсних чисел\(x\) і\(y,\)
\[\log (x y)=\log (x)+\log (y).\]
- Доказ
-
Використовуючи підстановку у\(t=x u,\) нас
\[\begin{aligned} \log (x y) &=\int_{1}^{x y} \frac{1}{t} d t \\ &=\int_{\frac{1}{x}}^{y} \frac{x}{x u} d u \\ &=\int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{1}{u} d u+\int_{1}^{y} \frac{1}{u} d u \\ &=-\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{u} d u+\log (y) \\ &=-\log \left(\frac{1}{x}\right)+\log (y) \\ &=\log (x)+\log (y). \end{aligned}\]
Q.E.D.
Якщо\(r \in \mathbb{Q}\) і\(x\) є додатним дійсним числом, то
\[\log \left(x^{r}\right)=r \log (x).\]
- Доказ
-
Використовуючи підстановку у\(t=u^{r},\) нас
\[\log \left(x^{r}\right)=\int_{1}^{x^{r}} \frac{1}{t} d t=\int_{1}^{x} \frac{r u^{r-1}}{u^{r}} d u=r \int_{1}^{x} \frac{1}{u} d u=r \log (x).\]
Q.E.D.
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \log (x)=+\infty\)і\(\lim _{x \rightarrow 0+} \log (x)=-\infty .\)
- Доказ
-
Задано дійсне число\(M,\) вибираємо ціле число,\(n\) для якого\(n \log (2)>M\) (існує такий\(n\) sunce\(\log (2)>0\)). Тоді для будь-якого\(x>2^{n}\), у нас є
\[\log (x)>\log \left(2^{n}\right)=n \log (2)>M.\]
Звідси\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \log (x)=+\infty\).
Аналогічно, задано будь-яке дійсне число,\(M,\) ми можемо вибрати ціле число,\(n\) для якого\(-n \log (2)<M .\) Тоді для будь-якого\(0<x<\frac{1}{2^{n}},\) ми маємо
\[\log (x)<\log \left(\frac{1}{2^{n}}\right)=-n \log (2)<M.\]
Звідси\(\lim _{x \rightarrow 0+} \log (x)=-\infty . \quad\) Q.E.D.
Зверніть увагу, що функція логарифма має область\((0,+\infty)\) і діапазон\((-\infty,+\infty)\).
Показати, що для будь-якого раціонального числа\(\alpha>0\)
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha}=+\infty .\]
Для будь-якого раціонального числа\(\alpha>0\)
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\log (x)}{x^{\alpha}}=0.\]
- Доказ
-
Вибирайте раціональне число\(\beta\) таке, що\(0<\beta<\alpha .\) Тепер для будь-якого\(t>1\),
\[\frac{1}{t}<\frac{1}{t} t^{\beta}=\frac{1}{t^{1-\beta}}.\]
Звідси
\[\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t<\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{1-\beta}} d t=\frac{x^{\beta}-1}{\beta}<\frac{x^{\beta}}{\beta}\]
всякий раз\(x>1 .\), коли
\[0<\frac{\log (x)}{x^{\alpha}}<\frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}\]
для\(x>1 .\) Але
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}=0,\]
тому
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\log (x)}{x^{\alpha}}=0.\]
Q.E.D.
Покажіть, що
\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \log (x)=0\]
для будь-якого раціонального числа\(\alpha>0\).