8.4: Функції логарифма

Визначення

З огляду на додатне дійсне число, яке$x,$ ми називаємо

$$\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$$

логарифм$x .$

Зверніть увагу, що$\log (1)=0, \log (x)<0$ коли$0<x<1,$ і$\log (x)>0$ коли$x>1 .$

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Функція$f(x)=\log (x)$ є зростаючою, диференційованою функцією з

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$$

для всіх$x>0 .$

Доказ

Використовуючи фундаментальну теорему числення, ми маємо

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}>0$$

для всіх,$x>0,$ з чого випливає результат. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Для будь-якого$x>0$,

$$\log \left(\frac{1}{x}\right)=-\log (x).$$

Доказ

Використовуючи підстановку у$t=\frac{1}{u},$ нас

$$\log \left(\frac{1}{x}\right)=\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{t} d t=\int_{1}^{x} u\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) d u=-\int_{1}^{x} \frac{1}{u} d u=-\log (x).$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Для будь-яких позитивних дійсних чисел$x$ і$y,$

$$\log (x y)=\log (x)+\log (y).$$

Доказ

Використовуючи підстановку у$t=x u,$ нас

$$\begin{aligned} \log (x y) &=\int_{1}^{x y} \frac{1}{t} d t \\ &=\int_{\frac{1}{x}}^{y} \frac{x}{x u} d u \\ &=\int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{1}{u} d u+\int_{1}^{y} \frac{1}{u} d u \\ &=-\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{u} d u+\log (y) \\ &=-\log \left(\frac{1}{x}\right)+\log (y) \\ &=\log (x)+\log (y). \end{aligned}$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Якщо$r \in \mathbb{Q}$ і$x$ є додатним дійсним числом, то

$$\log \left(x^{r}\right)=r \log (x).$$

Доказ

Використовуючи підстановку у$t=u^{r},$ нас

$$\log \left(x^{r}\right)=\int_{1}^{x^{r}} \frac{1}{t} d t=\int_{1}^{x} \frac{r u^{r-1}}{u^{r}} d u=r \int_{1}^{x} \frac{1}{u} d u=r \log (x).$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{5}$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \log (x)=+\infty$і$\lim _{x \rightarrow 0+} \log (x)=-\infty .$

Доказ

Задано дійсне число$M,$ вибираємо ціле число,$n$ для якого$n \log (2)>M$ (існує такий$n$ sunce$\log (2)>0$). Тоді для будь-якого$x>2^{n}$, у нас є

$$\log (x)>\log \left(2^{n}\right)=n \log (2)>M.$$

Звідси$\lim _{x \rightarrow+\infty} \log (x)=+\infty$.

Аналогічно, задано будь-яке дійсне число,$M,$ ми можемо вибрати ціле число,$n$ для якого$-n \log (2)<M .$ Тоді для будь-якого$0<x<\frac{1}{2^{n}},$ ми маємо

$$\log (x)<\log \left(\frac{1}{2^{n}}\right)=-n \log (2)<M.$$

Звідси$\lim _{x \rightarrow 0+} \log (x)=-\infty . \quad$ Q.E.D.

Зверніть увагу, що функція логарифма має область$(0,+\infty)$ і діапазон$(-\infty,+\infty)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що для будь-якого раціонального числа$\alpha>0$

$$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha}=+\infty .$$

Пропозиція$\PageIndex{6}$

Для будь-якого раціонального числа$\alpha>0$

$$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\log (x)}{x^{\alpha}}=0.$$

Доказ

Вибирайте раціональне число$\beta$ таке, що$0<\beta<\alpha .$ Тепер для будь-якого$t>1$,

$$\frac{1}{t}<\frac{1}{t} t^{\beta}=\frac{1}{t^{1-\beta}}.$$

Звідси

$$\log (x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t<\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{1-\beta}} d t=\frac{x^{\beta}-1}{\beta}<\frac{x^{\beta}}{\beta}$$

всякий раз$x>1 .$, коли

$$0<\frac{\log (x)}{x^{\alpha}}<\frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}$$

для$x>1 .$ Але

$$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\beta x^{\alpha-\beta}}=0,$$

тому

$$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\log (x)}{x^{\alpha}}=0.$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{2}$

Покажіть, що

$$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \log (x)=0$$

для будь-якого раціонального числа$\alpha>0$.