Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.1: Функція арктангенса

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62445

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення

    Для будь-якого, який\(x \in \mathbb{R},\) ми телефонуємо

    \[\arctan (x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t\]

    арктангенс\(x .\)

    Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

    Арктангенс функція диференційовна на кожному\(x \in \mathbb{R} .\)

    Більш того, якщо\(f(x)=\arctan (x),\) тоді

    \[f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.\]

    Доказ

    Результат випливає відразу з теореми\(7.5 .4 .\)\(\quad\) Q.E.D.

    Пропозиція\(\PageIndex{2}\)

    Арктангенс збільшується на\(\mathbb{R}\).

    Доказ

    Результат випливає відразу з попереднього пропозиції і того, що

    \[\frac{1}{1+x^{2}}>0\]

    для кожного\(x \in \mathbb{R}\). \(\quad\)Q.E.D.

    Визначення

    \(\pi=2 \lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan (x)=2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t\)

    Зауважте, що\(0<\pi<4\) за прикладом\(7.7 .1 .\)

    Наступна пропозиція говорить про те, що функція арктангенса є непарною функцією.

    Теорема\(\PageIndex{3}\)

    Для будь-якого\(x \in \mathbb{R},\) арктана\((x)=-\arctan (-x)\).

    Доказ

    Використовуючи підстановку у\(t=-u,\) нас

    \[\begin{aligned} \arctan (x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t=-\int_{0}^{-x} \frac{1}{1+u^{2}} d u=-\arctan (-x). & \end{aligned}\]

    Q.E.D.

    Тепер випливає, що

    \[\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan (x)=-\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan (-x)=-\frac{\pi}{2}.\]

    Звідси діапазон функції арктангенса є\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\).

    Пропозиція\(\PageIndex{4}\)

    Якщо\(x>0,\) тоді

    \[\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}.\]

    Доказ

    Використовуючи підстановку у\(t=\frac{1}{u},\) нас

    \[\begin{aligned} \arctan \left(\frac{1}{x}\right) &=\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+\frac{1}{u^{2}}}\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) d u \\ &=-\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{x}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\arctan (x). \end{aligned}\]

    Q.E.D.

    Пропозиція\(\PageIndex{5}\)

    Якщо\(x<0\), то

    \[\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}.\]

    Доказ

    Результат випливає відразу з попереднього пропозиції і того факту, що арктангенс є непарною функцією.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Покажіть, що арктин\((1)=\frac{\pi}{4}\) і\(\arctan (-1)=-\frac{\pi}{4}\).