8.1: Функція арктангенса

Визначення

Для будь-якого, який$x \in \mathbb{R},$ ми телефонуємо

$$\arctan (x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t$$

арктангенс$x .$

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Арктангенс функція диференційовна на кожному$x \in \mathbb{R} .$

Більш того, якщо$f(x)=\arctan (x),$ тоді

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.$$

Доказ

Результат випливає відразу з теореми$7.5 .4 .$$\quad$ Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Арктангенс збільшується на$\mathbb{R}$.

Доказ

Результат випливає відразу з попереднього пропозиції і того, що

$$\frac{1}{1+x^{2}}>0$$

для кожного$x \in \mathbb{R}$. $\quad$Q.E.D.

Визначення

$\pi=2 \lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan (x)=2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t$

Зауважте, що$0<\pi<4$ за прикладом$7.7 .1 .$

Наступна пропозиція говорить про те, що функція арктангенса є непарною функцією.

Теорема$\PageIndex{3}$

Для будь-якого$x \in \mathbb{R},$ арктана$(x)=-\arctan (-x)$.

Доказ

Використовуючи підстановку у$t=-u,$ нас

$$\begin{aligned} \arctan (x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t=-\int_{0}^{-x} \frac{1}{1+u^{2}} d u=-\arctan (-x). & \end{aligned}$$

Q.E.D.

Тепер випливає, що

$$\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan (x)=-\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan (-x)=-\frac{\pi}{2}.$$

Звідси діапазон функції арктангенса є$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Якщо$x>0,$ тоді

$$\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}.$$

Доказ

Використовуючи підстановку у$t=\frac{1}{u},$ нас

$$\begin{aligned} \arctan \left(\frac{1}{x}\right) &=\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+\frac{1}{u^{2}}}\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) d u \\ &=-\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{x}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\arctan (x). \end{aligned}$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{5}$

Якщо$x<0$, то

$$\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}.$$

Доказ

Результат випливає відразу з попереднього пропозиції і того факту, що арктангенс є непарною функцією.

Вправа$\PageIndex{1}$

Покажіть, що арктин$(1)=\frac{\pi}{4}$ і$\arctan (-1)=-\frac{\pi}{4}$.