Використовуючи підстановку у\(t=\frac{1}{u},\) нас \[\begin{aligned} \arctan \left(\frac{1}{x}\right) &=\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+\frac{1}{u^{2}}}...Використовуючи підстановку у\(t=\frac{1}{u},\) нас \[\begin{aligned} \arctan \left(\frac{1}{x}\right) &=\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+\frac{1}{u^{2}}}\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) d u \\ &=-\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{x}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\arctan (x). \end{aligned}\] Q.E.D.
