5.1: Обмеження
- Page ID
- 62413
Нехай\(A \subset \mathbb{R}\) і нехай\(x\) буде граничною точкою\(A .\) в наступному, ми дозволимо\(S(A, x)\) позначити набір всіх збігаються послідовностей\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) такі, що\(x_{n} \in A\) для всіх\(n \in I, x_{n} \neq x\) для всіх\(n \in I,\) і\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x .\) Ми дозволимо\(S^{+}(A, x)\) бути підмножиною\(S(A, x)\) послідовностей \(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\)для яких\(x_{n}>x\) для всіх\(n \in I\) і\(S^{-}(A, x)\) бути підмножиною\(S(A, x)\) послідовностей,\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) для яких\(x_{n}<x\) для всіх\(n \in I .\)
Нехай\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R}, L \in \mathbb{R},\) і припустимо\(a\) є граничною точкою\(D .\) Ми говоримо\(f\) межа як\(x\) підходів\(a\)\(L,\) позначається
\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L ,\]
якщо для кожної послідовності\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S(D, a)\),
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=L .\]
Якщо\(S^{+}(D, a) \neq \emptyset,\) говорити межа з правого боку\(f\) як\(x\) підходи\(a\)\(L,\) позначається
\[\lim _{x \rightarrow a+} f(x)=L ,\]
якщо для кожної послідовності\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S^{+}(D, a)\),
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=L ,\]
і, якщо\(S^{-}(D, a) \neq \emptyset,\) говорити ліміт зліва від\(f\) як\(x\) підходи\(a\)\(L,\) позначається
\[\lim _{x \rightarrow a-} f(x)=L ,\]
якщо для кожної послідовності\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S^{-}(D, a)\),
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=L .\]
Ми також можемо позначити
\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\]
шляхом написання
\[f(x) \rightarrow L \text { as } x \rightarrow a .\]
Аналогічно ми можемо позначити
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L\]
шляхом написання
\[f(x) \rightarrow L \text { as } x \downarrow a\]
і
\[\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L\]
шляхом написання
\[f(x) \rightarrow L \text { as } x \uparrow a\]
Ми також дозволяємо
\[f(a+)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)\]
і
\[f(a-)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x).\]
Повинно бути зрозуміло, що якщо\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\) і\(S^{+}(D, a) \neq \emptyset,\) то\(f(a+)=L\). Аналогічно, якщо\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\) і\(S^{-}(D, a) \neq \emptyset,\) то\(f(a-)=L\).
Припустимо\(a\),\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і є граничною точкою\(D\). Якщо\(f(a-)=f(a+)=L,\) тоді\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\).
- Доказ
-
Припустимо,\(\left\{x_{n}\right\}_{n=m}^{\infty} \in S(D, a) .\) нехай
\[J^{-}=\left\{n: n \in \mathbb{Z}, x_{n}<a\right\}\]
і
\[J^{+}=\left\{n: n \in \mathbb{Z}, x_{n}>a\right\}.\]
Припустимо,\(J^{-}\) порожній або кінцевий і нехай\(k=m-1\) якщо\(J^{-}=\emptyset\) і, в іншому випадку, нехай\(k\) буде найбільше ціле число в\(J^{-} .\) Тоді\(\left\{x_{n}\right\}_{n=k+1}^{\infty} \in S^{+}(D, a),\) і так
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a+)=L.\]
Аналогічний аргумент показує,\(J^{+}\) що якщо порожній або кінцевий, то
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a-)=L.\]
Якщо ні\(J^{-}\) ні\(J^{+}\) є скінченним або порожнім, то\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in J}-\) і\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in J}+\) є підпослідовностями\(\left\{x_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) з\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in J^{-}} \in S^{-}(D, a)\) і\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in J+} \in S^{+}(D, a) .\) Отже, задано будь-яке,\(\epsilon>0,\) ми можемо знайти цілі числа\(N\) і\(M\) такі, що
\[\left|f\left(x_{n}\right)-L\right|<\epsilon\]
всякий раз\(n \in\left\{j: j \in J^{-}, j>N\right\}\) і
\[\left|f\left(x_{n}\right)-L\right|<\epsilon\]
всякий раз, коли\(n \in\left\{j: j \in J^{+}, j>M\right\} .\)\(P\) Дозволяти бути більшим\(M .\) з\(N\) і Оскільки\(J^{-} \cup J^{+}=\left\{j: j \in \mathbb{Z}^{+}, j \geq m\right\},\) випливає, що
\[\left|f\left(x_{n}\right)-L\right|<\epsilon\]
всякий раз, коли\(n>P .\) Звідси\(\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=L,\) і так\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\). \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D,\) і\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\). Якщо\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\) і\(\alpha \in \mathbb{R},\) тоді
\[\lim _{x \rightarrow a} \alpha f(x)=\alpha L.\]
- Доказ
-
Припустимо\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S(D, a) .\), тоді
\[\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha f\left(x_{n}\right)=\alpha \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\alpha L.\]
Звідси\(\lim _{x \rightarrow a} \alpha f(x)=\alpha L\). \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(g: D \rightarrow \mathbb{R} .\) якщо,\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\) а\(\lim _{x \rightarrow a} g(x)=M,\) потім
\[\lim _{x \rightarrow a}(f(x)+g(x))=L+M.\]
- Доказ
-
Припустимо\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S(D, a) .\), тоді
\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(x_{n}\right)+g\left(x_{n}\right)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)+\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=L+M.\]
Звідси\(\lim _{x \rightarrow a}(f(x)+g(x))=L+M\). \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(g: D \rightarrow \mathbb{R} .\) якщо,\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\) а\(\lim _{x \rightarrow a} g(x)=M,\) потім
\[\lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=L M.\]
Доведіть попередню пропозицію.
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R}\),\(g: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(g(x) \neq 0\) для всіх\(x \in D .\) Якщо\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M,\) і\(M \neq 0,\) тоді
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.\]
Доведіть попередню пропозицію.
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(f(x) \geq 0\) для всіх\(x \in D .\) Якщо\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L,\) тоді
\[\lim _{x \rightarrow a} \sqrt{f(x)}=\sqrt{L}.\]
Доведіть попередню пропозицію.
Дано\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(A \subset D,\) ми нехай
\[f(A)=\{y: y=f(x) \text { for some } x \in A\}.\]
Зокрема,\(f(D)\) позначає діапазон\(f\).
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, E \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, g: D \rightarrow \mathbb{R}\),\(f: E \rightarrow \mathbb{R},\) і\(g(D) \subset E .\) Більш того, припустимо\(\lim _{x \rightarrow a} g(x)=b\) і, для деяких\(\epsilon>0\),\(g(x) \neq b\) для всіх\(x \in(a-\epsilon, a+\epsilon) \cap D .\) Якщо\(\lim _{x \rightarrow b} f(x)=L,\) тоді
\[\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=L.\]
- Доказ
-
Припустимо\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S(D, a) .\), тоді
\[\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=b.\]
Нехай\(N \in \mathbb{Z}^{+}\) таке, що\(\left|x_{n}-a\right|<\epsilon\) всякий раз\(n>N .\) тоді
\[\left\{g\left(x_{n}\right)\right\}_{n=N+1}^{\infty} \in S(E, b),\]
тому
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_{n}\right)\right)=L.\]
Таким чином\(\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=L\). \(\quad\)Q.E.D.
Нехай
\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {\text { if } x \neq 0,} \\ {1,} & {\text { if } x=0.}\end{array}\right.\]
Якщо\(f(x)=g(x),\) тоді
\[f \circ g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \neq 0,} \\ {0,} & {\text { if } x=0.}\end{array}\right.\]
Звідси\(\lim _{x \rightarrow 0} f \circ g(x)=1,\) хоча\(\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=0\) і\(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0\).
5.1.1 Межі поліномів і раціональних функцій
Якщо\(c \in \mathbb{R}\) і\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) дається\(f(x)=c\) для всіх\(x \in \mathbb{R}\), то явно\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=c\) для будь-якого\(a \in \mathbb{R}\).
Припустимо,\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) визначається\(f(x)=x\) для всіх\(x \in \mathbb{R} .\) If, для будь-якого\(a \in \mathbb{R},\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S(\mathbb{R}, a),\) тоді
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a.\]
Звідси\(\lim _{x \rightarrow a} x=a\).
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Припустимо\(n \in \mathbb{Z}^{+}\) і визначається\(f(x)=x^{n}\). Тоді
\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} x^{n}=\prod_{i=1}^{n} \lim _{x \rightarrow a} x=a^{n}.\]
Якщо\(n \in \mathbb{Z}, n \geq 0,\) і\(b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n}\) є дійсними числами,\(b_{n} \neq 0,\) то ми викликаємо функцію,\(p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) визначену
\[p(x)=b_{n} x^{n}+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}\]
многочлен ступеня\(n\).
Покажіть, що якщо\(f\) є многочленом, а\(a \in \mathbb{R},\) потім\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\).
Припустимо\(q\),\(p\) і є поліномами і
\[D=\{x: x \in \mathbb{R}, q(x) \neq 0\}.\]
Викликаємо функцію,\(r: D \rightarrow \mathbb{R}\) визначену
\[r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\]
раціональна функція.
Показати, що\(f\) if є раціональною функцією і\(a\) знаходиться в області\(f,\) тоді\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\).
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a \in D\) це гранична точка\(D,\) і\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\). Якщо\(E=D \backslash\{a\}\) і\(g: E \rightarrow \mathbb{R}\) визначається\(g(x)=f(x)\) для всіх\(x \in E,\) показати, що\(\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L .\)
Оцінити
\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{5}-1}{x^{3}-1}.\]
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R}, g: D \rightarrow \mathbb{R}\),\(h: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\) для всіх\(x \in D .\) Якщо\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\) і\(\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L,\) показати, що\(\lim _{x \rightarrow a} h(x)=L .\) (Це теорема стиснення для меж функцій.)
Зауважте, що наведені вище результати, які були вказані для лімітів, також будуть мати відповідні односторонні межі, тобто обмеження праворуч або ліворуч.
Припустимо
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x+1,} & {\text { if } x<0,} \\ {4,} & {\text { if } x=0,} \\ {x^{2},} & {\text { if } x>0.}\end{array}\right.\]
Оцініть\(f(0), f(0-),\) і\(f(0+) .\) чи\(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)\) існує?
5.1.2 Еквівалентні визначення
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D,\) і\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\). Тоді\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\) якщо і тільки якщо для кожного\(\epsilon>0\) існує\(\delta>0\) таке, що
\[|f(x)-L|<\epsilon \text { whenever } x \neq a \text { and } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.\]
- Доказ
-
\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L .\)Припустимо, існує\(\epsilon>0\) таке, що для кожного\(\delta>0\) існує\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D, x \neq a,\) для якого\(|f(x)-L| \geq \epsilon\). Для\(n=1,2,3, \ldots,\) вибору
\[x_{n} \in\left(a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right) \cap D,\]
\(x_{n} \neq a,\)такий, що\(\left|f\left(x_{n}\right)-L\right| \geq \epsilon .\) Тоді\(\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \in S(D, a),\) але\(\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty}\) не сходиться, щоб\(L,\) суперечити припущенню, що\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\).
Тепер припустимо, що для кожного\(\epsilon>0\) існує\(\delta>0\) таке, що\(|f(x)-L|<\epsilon\) всякий раз\(x \neq a\) і\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .\) нехай\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} \in S(D, a) .\) дано\(\epsilon>0\), нехай\(\delta>0\) буде таким, що\(|f(x)-L|<\epsilon\) всякий раз\(x \neq a\) і\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .\) Вибирайте\(N \in \mathbb{Z}\) такий, що\(\left|x_{n}-a\right|<\delta\) коли б\(n>N .\) то \(\left|f\left(x_{n}\right)-L\right|<\epsilon\)для всіх\(n>N .\) Отже\(\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=L,\) і так\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L .\)\(\quad\) Q.E.D.
Докази наступних двох суджень аналогічні.
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(S^{-}(D, a) \neq \emptyset .\) тоді,\(\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L\) якщо і тільки якщо для кожного\(\epsilon>0\) існує\(\delta>0\) така, що
\[|f(x)-L|<\epsilon \text { whenever } x \in(a-\delta, a) \cap D.\]
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це гранична точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(S^{+}(D, a) \neq \emptyset .\) тоді,\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L\) якщо і тільки якщо для кожного\(\epsilon>0\) існує\(\delta>0\) така, що
\[|f(x)-L|<\epsilon \text { whenever } x \in(a, a+\delta) \cap D.\]
5.1.3 Приклади
Визначте\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \text { is rational, }} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.\]
Нехай\(a \in \mathbb{R} .\) Оскільки кожен відкритий інтервал містить як раціональні, так і ірраціональні числа, то для будь-якого\(\delta>0\) вибору буде\(L \in \mathbb{R},\) існувати\(x \in(a-\delta, a+\delta),\)\(x \neq a,\) таке, що
\[|f(x)-L| \geq \frac{1}{2}.\]
Отже,\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) не існує жодного дійсного числа\(a\).
Визначте\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } x \text { is rational, }} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.\]
Тоді\(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0\) з тих пір, дається\(\epsilon>0,|f(x)|<\epsilon\) надано\(|x|<\epsilon\).
Показати, що якщо\(f\) так, як наведено в попередньому прикладі і\(a \neq 0\), то\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) не існує.
Визначте\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{q},} & {\text { if } x \text { is rational and } x=\frac{p}{q},} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational, }}\end{array}\right.\]
де\(p\) і\(q\) приймаються відносно прості цілі числа з\(q>0,\) і ми приймаємо,\(q=1\) коли\(x=0 .\) Показати, що, для будь-якого дійсного числа\(a, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0\).
Визначте\(\varphi:[0,1] \rightarrow[-1,1]\) по
\[\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}{4 x,} & {\text { if } 0 \leq x \leq \frac{1}{4},} \\ {2-4 x,} & {\text { if } \frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},} \\ {4 x-4,} & {\text { if } \frac{3}{4} \leq x \leq 1.}\end{array}\right.\]
Далі визначаємо\(s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по\(s(x)=\varphi(x-\lfloor x\rfloor),\) де\(\lfloor x\rfloor\) позначає найбільше ціле число менше або рівне\(x\) (тобто\(\lfloor x\rfloor\) є підлогою\(x\)). Функція\(s\) є прикладом пилоподібної функції. Дивіться графіки\(\varphi\) і на\(s\) малюнку\(5.1 .1 .\) Зверніть увагу, що для будь-якого\(n \in \mathbb{Z}\),
\[s([n, n+1])=[-1,1].\]
Тепер давайте\(D=\mathbb{R} \backslash\{0\}\) і визначте\(\sigma: D \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[\sigma(x)=s\left(\frac{1}{x}\right).\]
Див. Графік на\(\sigma\) малюнку\(5.1 .2 .\) Зверніть увагу, що для будь-якого\(n \in \mathbb{Z}^{+}\),
\[\sigma\left(\left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right]\right)=s([n, n+1])=[-1,1].\]
Значить ні для\(\epsilon>0, \sigma((0, \epsilon))=[-1,1],\) кого і так\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sigma(x)\) не існує. Точно так само\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \sigma(x)\) ні не\(\lim _{x \rightarrow 0} \sigma(x)\) існує.
\(s\)Дозволяти бути пилоподібною функцією попереднього прикладу і нехай\(D=\mathbb{R} \backslash\{0\} .\) Визначити\(\psi: D \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[\psi(x)=x s\left(\frac{1}{x}\right).\]
Див. Рисунок 5.1 .2 для графіка\(\psi .\) Тоді для всіх\(x \in D\),
\[-|x| \leq \psi(x) \leq|x|,\]
і так\(\lim _{x \rightarrow 0} \psi(x)=0\) за теоремою стискання.
Нехай\(D \subset \mathbb{R}\) і\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Ми говоримо\(f\) обмежена, якщо існує дійсне число\(B\) таке, що\(|f(x)| \leq B\) для всіх\(x \in D\).
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Припустимо, обмежена. Покажіть, що\(\lim _{x \rightarrow 0} x f(x)=0\).