5.2: Монотонні функції
- Page ID
- 62409
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\((a, b) \subset D .\) ми говоримо,\(f\) збільшується,\((a, b)\) якщо\(f(x)<f(y)\) всякий раз, коли\(a<x<y<b ;\) ми говоримо,\(f\) зменшується,\((a, b)\) якщо\(f(x)>f(y)\) всякий раз, коли\(a<x<y<b ;\) ми говоримо\(f\), не зменшується,\((a, b)\) якщо\(f(x) \leq f(y)\) коли,\(a<x<y<b ;\) і ми говоримо. \(f\)не збільшується,\((a, b)\) якщо\(f(x) \geq f(y)\) всякий раз, коли\(a<x<y<b .\) ми скажемо,\(f\)\(f\) є монотонним,\((a, b)\) якщо або не зменшується, або не збільшується,\((a, b)\) і ми скажемо\(f\) строго монотонно,\((a, b)\) якщо або\(f\) збільшується або зменшується на\((a, b)\).
Якщо\(f\) монотонно на\((a, b),\) то\(f(c+)\) і\(f(c-)\) існує для кожного\(c \in(a, b)\).
- Доказ
-
\(f\)Припустимо, не зменшується на\((a, b) .\) Let\(c \in(a, b)\) і нехай
\[\lambda=\sup \{f(x): a<x<c\}.\]
Зверніть увагу, що\(\lambda \leq f(c)<+\infty .\) Враховуючи будь-яке\(\epsilon>0,\) там повинно існувати\(\delta>0\) таке, що
\[\lambda-\epsilon<f(c-\delta) \leq \lambda .\]
Оскільки\(f\) не зменшується, то випливає, що
\[|f(x)-\lambda|<\epsilon\]
всякий раз, коли\(x \in(c-\delta, c) .\) Таким чином\(f(c-)=\lambda .\), подібний аргумент показує, що\(f(c+)=\kappa\) де
\[\kappa=\inf \{f(x): c<x<b\}.\]
Якщо\(f\) не збільшується, подібні аргументи дають
\[f(c-)=\inf \{f(x): a<x<c\}\]
і
\[f(c+)=\sup \{f(x): c<x<b\}.\]
Якщо\(f\) не зменшується,\((a, b)\) а\(a<x<y<b,\) потім
\[f(x+) \leq f(y-).\]
- Доказ
-
За попередньою пропозицією,
\[f(x+)=\inf \{f(t): x<t<b\}\]
і
\[f(y-)=\sup \{f(t): a<t<y\}.\]
Так як\(f\) незменшується,
\[\inf \{f(t): x<t<b\}=\inf \{f(t): x<t<y\}\]
і
\[\sup \{f(t): a<t<y\}=\sup \{f(t): x<t<y\}.\]
Таким чином
\[f(x+)=\inf \{f(t): x<t<y\} \leq \sup \{f(t): x<t<y\}=f(y-).\]
Q.E.D.
\(\varphi: \mathbb{Q} \cap[0,1] \rightarrow \mathbb{Z}^{+}\)Дозволяти буде листування один на один. Визначити\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\sum_{q \in \mathbb{Q} \cap[0,1]_{q \leq x}} \frac{1}{2^{\varphi(q)}}.\]
а. показати,\(f\) що збільшується на\((0,1)\).
б. показати, що для будь-якого\(x \in \mathbb{Q} \cap(0,1), f(x-)<f(x)\) і\(f(x+)=f(x)\).
c Покажіть, що для будь-якого ірраціонального\(a, 0<a<1, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\).