5.2: Монотонні функції

Визначення

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і$(a, b) \subset D .$ ми говоримо,$f$ збільшується,$(a, b)$ якщо$f(x)<f(y)$ всякий раз, коли$a<x<y<b ;$ ми говоримо,$f$ зменшується,$(a, b)$ якщо$f(x)>f(y)$ всякий раз, коли$a<x<y<b ;$ ми говоримо$f$, не зменшується,$(a, b)$ якщо$f(x) \leq f(y)$ коли,$a<x<y<b ;$ і ми говоримо. $f$не збільшується,$(a, b)$ якщо$f(x) \geq f(y)$ всякий раз, коли$a<x<y<b .$ ми скажемо,$f$$f$ є монотонним,$(a, b)$ якщо або не зменшується, або не збільшується,$(a, b)$ і ми скажемо$f$ строго монотонно,$(a, b)$ якщо або$f$ збільшується або зменшується на$(a, b)$.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Якщо$f$ монотонно на$(a, b),$ то$f(c+)$ і$f(c-)$ існує для кожного$c \in(a, b)$.

Доказ

$f$Припустимо, не зменшується на$(a, b) .$ Let$c \in(a, b)$ і нехай

$$\lambda=\sup \{f(x): a<x<c\}.$$

Зверніть увагу, що$\lambda \leq f(c)<+\infty .$ Враховуючи будь-яке$\epsilon>0,$ там повинно існувати$\delta>0$ таке, що

$$\lambda-\epsilon<f(c-\delta) \leq \lambda .$$

Оскільки$f$ не зменшується, то випливає, що

$$|f(x)-\lambda|<\epsilon$$

всякий раз, коли$x \in(c-\delta, c) .$ Таким чином$f(c-)=\lambda .$, подібний аргумент показує, що$f(c+)=\kappa$ де

$$\kappa=\inf \{f(x): c<x<b\}.$$

Якщо$f$ не збільшується, подібні аргументи дають

$$f(c-)=\inf \{f(x): a<x<c\}$$

і

$$f(c+)=\sup \{f(x): c<x<b\}.$$

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Якщо$f$ не зменшується,$(a, b)$ а$a<x<y<b,$ потім

$$f(x+) \leq f(y-).$$

Доказ

За попередньою пропозицією,

$$f(x+)=\inf \{f(t): x<t<b\}$$

і

$$f(y-)=\sup \{f(t): a<t<y\}.$$

Так як$f$ незменшується,

$$\inf \{f(t): x<t<b\}=\inf \{f(t): x<t<y\}$$

і

$$\sup \{f(t): a<t<y\}=\sup \{f(t): x<t<y\}.$$

Таким чином

$$f(x+)=\inf \{f(t): x<t<y\} \leq \sup \{f(t): x<t<y\}=f(y-).$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\varphi: \mathbb{Q} \cap[0,1] \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$Дозволяти буде листування один на один. Визначити$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\sum_{q \in \mathbb{Q} \cap[0,1]_{q \leq x}} \frac{1}{2^{\varphi(q)}}.$$

а. показати,$f$ що збільшується на$(0,1)$.

б. показати, що для будь-якого$x \in \mathbb{Q} \cap(0,1), f(x-)<f(x)$ і$f(x+)=f(x)$.

c Покажіть, що для будь-якого ірраціонального$a, 0<a<1, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$.