5.4: Безперервні функції

5.4.1 Безперервність у точці

Визначення

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і$a \in D .$ Ми говоримо$f$ є безперервним в$a$ якщо або$a$ є ізольованою точкою$D$ або$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) .$ Якщо не$f$ є безперервним в$a,$ ми говоримо$f$ є переривчастим в$a,$ або що$f$ має розрив при$a .$

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \text { is rational, }} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.$$

Потім, by Example$5.1 .5, f$ є переривчастим на кожному$x \in \mathbb{R}$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначити$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } x \text { is rational, }} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.$$

Потім, за прикладом 5.1 .6 і вправа$5.1 .10, f$ є безперервним,$0,$ але переривчастим на кожному$x \neq 0 .$

Якщо$D \subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і$g: D \rightarrow \mathbb{R},$ тоді визначаємо$\alpha f: D \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$(\alpha f)(x)=\alpha f(x),$$

$f+g: D \rightarrow \mathbb{R} \mathrm{by}$

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x),$$

і$f g: D \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$(f g)(x)=f(x) g(x).$$

Більш того, якщо$g(x) \neq 0$ для всіх$x \in D,$ ми визначимо$\frac{f}{g}: D \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Припустимо$g$,$D \subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$$f$ і$g: D \rightarrow \mathbb{R} .$ якщо і є безперервними в$a,$ то$\alpha f, f+g,$ і$f g$ всі безперервні в$a .$ Крім того, якщо$g(x) \neq 0$ для всіх$x \in D,$$\frac{f}{g}$ то безперервно на$a .$

Вправа$\PageIndex{1}$

Доведіть попередню пропозицію.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R}, f(x) \geq 0$ для всіх$x \in D,$ і$f$ є безперервним в$a \in D .$ If$g$ визначається$g(x)=\sqrt{f(x)},$ тоді безперервно при$g: D \rightarrow \mathbb{R}$$a .$

Вправа$\PageIndex{2}$

Доведіть попередню пропозицію.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Припустимо$f$,$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ а$a \in D .$ потім безперервно,$a$ якщо і тільки якщо для кожного$\epsilon>0$ існує$\delta>0$ таке, що

$$|f(x)-f(a)|<\epsilon \text { whenever } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.$$

Доказ

$f$Припустимо, безперервний при$a$. Якщо$a$ є ізольованою точкою,$D,$ то існує$\delta>0$ така, що

$$(a-\delta, a+\delta) \cap D=\{a\}.$$

Тоді для будь-якого,$\epsilon>0,$ якщо$x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D,$ тоді$x=a,$ і так

$$|f(x)-f(a)|=|f(a)-f(a)|=0<\epsilon.$$

Якщо$a$ є граничною точкою,$D,$ то$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$ має на увазі, що для будь-якого$\epsilon>0$ існує$\delta>0$ таке, що

$$|f(x)-f(a)|<\epsilon \text { whenever } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.$$

Тепер припустимо, що для кожного$\epsilon>0$ існує$\delta>0$ таке, що

$$|f(x)-f(a)|<\epsilon \text { whenever } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.$$

Якщо$a$ є ізольованою точкою,$f$ то безперервна при$a$. Якщо$a$ є граничною точкою, то ця умова передбачає$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a),$ і$f$ так безперервно в$a .$$\quad$ Q.E.D.

З попереднього повинно бути зрозуміло, що функція$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ є безперервною в точці$a$$D$ якщо і тільки якщо для кожної послідовності$\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}$ з$x_{n} \in D$ для кожного$n \in I$ і$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати,$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ що якщо безперервний в$a \in D$ і$f(a)>0$, то існує відкритий інтервал$I$ такий, що$a \in I$ і$f(x)>0$ для кожного$x \in I \cap D .$

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Припустимо$g$,$D \subset \mathbb{R}, E \subset \mathbb{R}, g: D \rightarrow \mathbb{R}, f: E \rightarrow \mathbb{R}, g(D) \subset E$ і$a \in D .$ якщо безперервний в$a$ і$f$ є безперервним в$g(a),$$f \circ g$ то безперервно при$a .$

Доказ

$\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}$Дозволяти послідовність з$x_{n} \in D$ для кожного$n \in I$ і$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$. Потім, так як$g$ безперервно на$a,\left\{g\left(x_{n}\right)\right\}_{n \in I}$ є послідовність з$g\left(x_{n}\right) \in E$ для кожного$n \in I$ і$\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=g(a) .$ отже, так як$f$ безперервно в$g(a),$$\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_{n}\right)\right)=f(g(a))$. Тобто,

$$\lim _{n \rightarrow \infty}(f \circ g)\left(x_{n}\right)=(f \circ g)(a).$$

Звідси$f \circ g$ є безперервним при$a$.

Визначення

Нехай$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і$a \in D .$ якщо не$f$ є безперервним в$a$ але обидва$f(a-)$ і$f(a+)$ існують, то ми говоримо,$f$ має простий розрив при$a .$

Пропозиція$\PageIndex{5}$

$f$Припустимо, монотонно на інтервалі$(a, b) .$ Тоді кожен розрив$f$ in$(a, b)$ - це простий розрив. Більш того, якщо$E$ множина точок$(a, b)$ в якій$f$ є переривчастою, то або$E=\emptyset, E$ кінцева, або$E$ є підрахунковою.

Доказ

Перше твердження випливає відразу з Пропозиції 5.2.1. Для другого твердження припустимо, що$f$ не зменшується і припустимо$E$ є непорожнім. З вправи 2.1 .26 і доказу Пропозиції$5.2 .1,$ випливає, що для кожного$x \in(a, b)$,

$$f(x-) \leq f(x) \leq f(x+).$$

Отже,$x \in E$ якщо і тільки тоді,$f(x-)<f(x+) .$ отже, для кожного$x \in E,$ ми можемо вибрати раціональне число$r_{x}$ таке, що$f(x-)<r_{x}<f(x+) .$ Тепер, якщо$x, y \in E$ з$x<y,$ тоді, за пропозицією$5.2 .2,$

$$r_{x}<f(x+) \leq f(y-)<r_{y},$$

так$r_{x} \neq r_{y}$. Таким чином, у нас є один до одного відповідність між$E$ і підмножиною$\mathbb{Q},$ і так$E$ є або скінченним або підрахунковим. Аналогічний аргумент має$f$, якщо не збільшується. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначити$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{q},} & {\text { if } x \text { is rational and } x=\frac{p}{q},} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.$$

де$p$ і$q$ приймаються відносно прості цілі числа з$q>0,$ і ми приймаємо,$q=1$ коли$x=0 .$ Показати, що$f$ є безперервним на кожному ірраціональному числі і має простий розрив при кожному раціональному числі.

5.4.2 Безперервність у наборі

Визначення

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}$ і$f: D \rightarrow \mathbb{R} .$ Ми говоримо$f$ безперервно,$D$ якщо$f$ безперервно в кожній точці$a \in D$.

Пропозиція$\PageIndex{6}$

Якщо$f$ многочлен, то$f$ безперервний на$\mathbb{R}$.

Пропозиція$\PageIndex{7}$

Якщо$D \subset \mathbb{R}$ і$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ є раціональною функцією,$f$ то безперервна$D .$

Вправа$\PageIndex{5}$

Поясніть,$f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ чому функція безперервна$[-1,1]$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Обговоріть безперервність функції

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x+1,} & {\text { if } x<0,} \\ {4,} & {\text { if } x=0,} \\ {x^{2},} & {\text { if } x>0.}\end{array}\right.$$

Якщо$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і$E \subset \mathbb{R},$ ми дозволимо

$$f^{-1}(E)=\{x: f(x) \in E\}.$$

Пропозиція$\PageIndex{8}$

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}$ а$f: D \rightarrow \mathbb{R} .$ потім$f$ є безперервним,$D$ якщо і тільки якщо для кожного відкритого набору$V \subset \mathbb{R}, f^{-1}(V)=U \cap D$ для деякого відкритого набору$U \subset \mathbb{R} .$

Доказ

$f$Припустимо, безперервно$V \subset \mathbb{R}$ увімкнено$D$ і є відкритим набором. Якщо$V \cap f(D)=\emptyset$, то$f^{-1}(V)=\emptyset,$ який відкритий. Так що припустимо$V \cap f(D) \neq \emptyset$ і нехай$a \in f^{-1}(V)$. Так як$V$ відкрито і$f(a) \in V,$ існує$\epsilon_{a}>0$ таке, що

$$\left(f(a)-\epsilon_{a}, f(a)+\epsilon_{a}\right) \subset V.$$

Оскільки$f$ є безперервним, існує$\delta_{a}>0$ таке, що

$$f\left(\left(a-\delta_{a}, a+\delta_{a}\right) \cap D\right) \subset\left(f(a)-\epsilon_{a}, f(a)+\epsilon_{a}\right) \subset V.$$

Тобто,$\left(a-\delta_{a}, a+\delta_{a}\right) \cap D \subset f^{-1}(V) .$ нехай

$$U=\bigcup_{a \in f^{-1}(V)}\left(a-\delta_{a}, a+\delta_{a}\right).$$

Потім$U$ відкривається і$f^{-1}(V)=U \cap D$.

Тепер припустимо, що для кожного відкритого набору$V \subset \mathbb{R}, f^{-1}(V)=U \cap D$ для деякого відкритого набору$U \subset \mathbb{R} .$ Нехай$a \in D$ і нехай$\epsilon>0$ буде дано. Так як$(f(a)-\epsilon, f(a)+\epsilon)$ відкритий, існує відкритий набір$U$ такий, що

$$U \cap D=f^{-1}((f(a)-\epsilon, f(a)+\epsilon)).$$

Так як$U$ відкрито і$a \in U,$ існує$\delta>0$ таке, що$(a-\delta, a+\delta) \subset U .$ Але потім

$$f((a-\delta, a+\delta) \cap D) \subset(f(a)-\epsilon, f(a)+\epsilon).$$

Тобто, якщо$x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D,$ тоді$|f(x)-f(a)|<\epsilon .$ Звідси$f$ є безперервним в$a .$$\quad$ Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{7}$

Нехай$D \subset \mathbb{R}$ і$f: D \rightarrow \mathbb{R} .$ для будь-якого$E \subset \mathbb{R},$ шоу, що$f^{-1}(\mathbb{R} \backslash E)=\left(\mathbb{R} \backslash f^{-1}(E)\right) \cap D$.

Вправа$\PageIndex{8}$

$A$Дозволяти бути набір і, для кожного$\alpha \in A,$ нехай$U_{\alpha} \subset \mathbb{R} .$ дано$D \subset \mathbb{R}$ і функція$f: D \rightarrow \mathbb{R},$ показати, що

$$\bigcup_{\alpha \in A} f^{-1}\left(U_{\alpha}\right)=f^{-1}\left(\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right)$$

і

$$\bigcap_{\alpha \in A} f^{-1}\left(U_{\alpha}\right)=f^{-1}\left(\bigcap_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right).$$

Вправа$\PageIndex{9}$

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}$ і$f: D \rightarrow \mathbb{R} .$ Показати, що$f$ є безперервним,$D$ якщо і тільки якщо для кожного закритого набору$C \subset \mathbb{R}, f^{-1}(C)=F \cap D$ для деякого закритого набору$F \subset \mathbb{R} .$

Вправа$\PageIndex{10}$

Нехай$D \subset \mathbb{R} .$ Ми говоримо функція$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ є Lipschitz якщо існує$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha>0,$ такий, що$|f(x)-f(y)| \leq \alpha|x-y|$ для всіх$x, y \in D .$ Показати, що якщо$f$ Ліпшиц, то$f$ є безперервним.

5.4.3 Теорема про проміжні значення

Теорема$\PageIndex{9}$

(Теорема про проміжні значення).

Припустимо,$a, b \in \mathbb{R}, a<b,$ і$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} .$ Якщо$f$$s \in \mathbb{R}$ є безперервним і є таким, що$f(a) \leq s \leq f(b)$ або$f(b) \leq s \leq f(a),$ тоді існує$c \in[a, b]$ таке, що$f(c)=s$.

Доказ

Припустимо$f(a)<f(b)$ і$f(a)<s<f(b) .$ нехай

$$c=\sup \{x: x \in[a, b], f(x) \leq s\}.$$

Припустимо,$f(c)<s .$ Тоді$c<b$ і, так як$f$ безперервно при$c,$ існує$\delta>0$ таке, що$f(x)<s$ для всіх$x \in(c, c+\delta) .$ Але потім$f\left(c+\frac{\delta}{2}\right)<s$, суперечить визначенню$c .$ Аналогічно, якщо$f(c)>s,$ тоді$c>a$ і існує$\delta>0$ таке, що $f(x)>s$для всіх$x \in(c-\delta, c),$ знову суперечить визначенню$c .$ Отже, ми повинні мати$f(c)=s .$$\quad$ Q.E.D.

Приклад$\PageIndex{3}$

Припустимо$a \in \mathbb{R}, a>0,$ і розглянемо$f(x)=x^{n}-a$ де$n \in \mathbb{Z}, n>1 .$ Тоді$f(0)=-a<0$ і

$$\begin{aligned} f(1+a) &=(1+a)^{n}-a \\ &=1+n a+\sum_{i=2}^{n}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {i}\end{array}\right) a^{i}-a \\ &=1+(n-1) a+\sum_{i=2}^{n}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {i}\end{array}\right) a^{i}>0, \end{aligned}$$

де$\left(\begin{array}{l}{n} \\ {i}\end{array}\right)$ - біноміальний коефіцієнт

$$\left(\begin{array}{l}{n} \\ {i}\end{array}\right)=\frac{n !}{i !(n-i) !}.$$

Отже, за теоремою проміжного значення існує дійсне число$\gamma>0$ таке, що$\gamma^{n}=a .$ Крім того, існує лише один такий,$\gamma$ оскільки$f$ збільшується на$(0,+\infty) .$

$\gamma$Називаємо$n$ корінь$a,$ і пишемо

$$\gamma=\sqrt[n]{a}$$

або

$$\gamma=a^{\frac{1}{n}}.$$

Більш того, якщо$a \in \mathbb{R}, a<0, n \in Z^{+}$ непарний, і$\gamma$ є n-м коренем$-a,$ тоді

$$(-\gamma)^{n}=(-1)^{n}(\gamma)^{n}=(-1)(-a)=a.$$

Тобто$-\gamma$ є$n$ корінь$a$.

Визначення

Якщо$n=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ з,$q \in \mathbb{Z}^{+},$ то визначаємо

$$x^{n}=(\sqrt[q]{x})^{p}$$

для всіх реальних$x \geq 0$.

Вправа$\PageIndex{11}$

Поясніть, чому рівняння$x^{5}+4 x^{2}-16=0$ має рішення в інтервалі$(0,2)$.

Вправа$\PageIndex{12}$

Наведіть приклад замкнутого інтервалу$[a, b] \subset \mathbb{R}$ та функції,$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ які не задовольняють висновку теореми про проміжні значення.

Вправа$\PageIndex{13}$

Покажіть, що якщо$I \subset \mathbb{R}$ є інтервалом і$f: I \rightarrow \mathbb{R}$ є безперервним, то$f(I)$ є інтервалом.

Вправа$\PageIndex{14}$

$f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$Припустимо, суцільний і строго монотонний. Нехай$(c, d)=f((a, b)) .$ Показати,$f^{-1}:(c, d) \rightarrow(a, b)$ що суворо монотонно і безперервно.

Вправа$\PageIndex{15}$

$n \in \mathbb{Z}^{+} .$Дозволяти Показати, що функція$f(x)=\sqrt[n]{x}$ є безперервним на$(0,+\infty)$.

Вправа$\PageIndex{16}$

Використовуйте метод бісекції, щоб дати ще один доказ теореми проміжних значень.

5.4.4 Теорема про екстремальні значення

Теорема$\PageIndex{10}$

$D \subset \mathbb{R}$Припустимо,$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ компактний і суцільний. Потім$f(D)$ компактний.

Доказ

З огляду на послідовність$\left\{y_{n}\right\}_{n \in I}$$f(D),$ вибирають$\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}$ таку послідовність, яка$f\left(x_{n}\right)=y_{n} .$$D$ Since компактна,$\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}$ має збіжну підпослідовність$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ з

$$\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=x \in D.$$

Нехай$y=f(x) .$ тоді$y \in f(D)$ і, так як$f$ суцільний,

$$y=\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_{k}}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} y_{n_{k}}.$$

$f(D)$Звідси компактний.

Вправа$\PageIndex{17}$

Доведіть попередню теорему за допомогою визначення відкритої кришки компактного набору.

Теорема$\PageIndex{11}$

(Теорема про екстремальні значення).

$D \subset \mathbb{R}$Припустимо,$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ компактний і суцільний. Тоді існує$a \in D$ таке, що$f(a) \geq f(x)$ для всіх$x \in D$ і існує$b \in D$ таке, що$f(b) \leq f(x)$ для всіх$x \in D .$$\quad$ Q.E.D.

Як наслідок теореми про екстремальні значення, неперервна функція на замкнутому обмеженому інтервалі досягає як максимального, так і мінімального значення.

Вправа$\PageIndex{18}$

Знайти приклад замкнутого обмеженого інтервалу$[a, b]$ та$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ такої функції, яка не$f$ досягає ні максимального, ні мінімального значення на$[a, b] .$

Вправа$\PageIndex{19}$

Знайти приклад обмеженого інтервалу$I$ та функції,$f: I \rightarrow \mathbb{R}$ яка є неперервною на$I$ такому рівні, що не$f$ досягає ні максимального, ні мінімального значення$I .$

Вправа$\PageIndex{20}$

Припустимо,$K \subset \mathbb{R}$ компактний і$a \notin K .$ Покажіть, що існує$b \in K$ таке, що$|b-a| \leq|x-a|$ для всіх$x \in K$.

Пропозиція$\PageIndex{12}$

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ компактний, суцільний і один-на-один, а$E=f(D) .$ потім$f^{-1}: E \rightarrow D$ безперервний.

Доказ

$V \subset \mathbb{R}$Дозволяти бути відкритим набором. Нам потрібно показати, що$f(V \cap D)=U \cap E$ для якогось відкритого набору$U \subset \mathbb{R}$. Нехай$C=D \cap(\mathbb{R} \backslash V) .$ Тоді$C$ є замкнутим підмножиною$D,$ і так компактно. Отже$f(C)$, це компактна підмножина$E .$ Таким$f(C)$ чином закрита, і$U=\mathbb{R} \backslash f(C)$ так відкрита. Більш того,$U \cap E=E \backslash f(C)=f(V \cap D) .$ Таким чином$f^{-1}$, безперервно.

Вправа$\PageIndex{21}$

Припустимо$f:[0,1] \cup(2,3] \rightarrow[0,2]$,

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } 0 \leq x \leq 1,} \\ {x-1,} & {\text { if } 2<x \leq 3.}\end{array}\right.$$

Показати, що$f$ є безперервним, один до одного і на, але$f^{-1}$ це не безперервно.

5.4.5 Рівномірна безперервність

Визначення

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}$ і$f: D \rightarrow \mathbb{R} .$ Ми говоримо$f$ рівномірно безперервно,$D$ якщо для кожного$\epsilon>0$ існує$\delta>0$ таке, що для будь-якого$x, y \in D$,

$$|f(x)-f(y)|<\epsilon \text { whenever }|x-y|<\delta .$$

Вправа$\PageIndex{22}$

Припустимо$f: D \rightarrow \mathbb{R}$,$D \subset \mathbb{R}$ і є Lipschitz (див. Вправа$5.4 .10) .$ Показати, що$f$ є рівномірно безперервним на$D .$

Зрозуміло,$f$ що якщо є рівномірно безперервним,$D$ то$f$ є безперервним на$D .$ Однак безперервна функція не повинна бути рівномірно безперервною.

Приклад$\PageIndex{4}$

Визначити$f:(0,+\infty)$ за$f(x)=\frac{1}{x},$ Дано будь-який$\delta>0,$ вибрати$n \in \mathbb{Z}^{+}$ такий, що$\frac{1}{n(n+1)}<\delta .$ Нехай$x=\frac{1}{n}$ і$y=\frac{1}{n+1} .$ Тоді

$$|x-y|=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}<\delta .$$

Однак,

$$|f(x)-f(y)|=|n-(n+1)|=1.$$

Значить, наприклад, не існує$\delta>0$ такого, що

$$|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}$$

всякий раз, коли$|x-y|<\delta .$ Таким чином не$f$ є рівномірно безперервним$f$,$(0,+\infty),$ хоча є безперервним$(0,+\infty)$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Визначити$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ по$f(x)=2 x .$ Дозвольте$\epsilon>0$ бути задано. Якщо$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$, то

$$|f(x)-f(y)|=2|x-y|<\epsilon$$

всякий раз$f$, коли$|x-y|<\delta .$ Звідси є рівномірно безперервним$\mathbb{R}$.

Вправа$\PageIndex{23}$

Нехай$f(x)=x^{2} .$ Показати, що не$f$ є рівномірно безперервним на$(-\infty,+\infty)$.

Пропозиція$\PageIndex{13}$

$D \subset \mathbb{R}$Припустимо,$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ компактний і суцільний. Потім$f$ рівномірно безперервно на$D .$

Доказ

Нехай$\epsilon>0$ дадуть. Для кожного$x \in D,$ вибирають$\delta_{x}$ такі, що

$$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$$

всякий раз$y \in D$ і$|x-y|<\delta_{x} .$ нехай

$$J_{x}=\left(x-\frac{\delta_{x}}{2}, x+\frac{\delta_{x}}{2}\right).$$

Потім$\left\{J_{x}: x \in D\right\}$ відкрита кришка$D$. Так як$D$ компактний, повинен існувати$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, n \in Z^{+},$ такий, що$J_{x_{1}}, J_{x_{2}}, \ldots, J_{x_{n}}$ є відкритою кришкою$D .$ Нехай$\delta$ бути найменшим з

$$\frac{\delta_{x_{1}}}{2}, \frac{\delta_{x_{2}}}{2}, \ldots, \frac{\delta_{x_{n}}}{2}.$$

Тепер нехай$x, y \in D$ з$|x-y|<\delta .$ Потім для деякого цілого числа,$k, 1 \leq k \leq n, x \in J_{x_{k}},$ що,

$$\left|x-x_{k}\right|<\frac{\delta_{x_{k}}}{2}.$$

Більш того,

$$\left|y-x_{k}\right| \leq|y-x|+\left|x-x_{k}\right|<\delta+\frac{\delta_{x_{k}}}{2} \leq \delta_{x_{k}}.$$

Звідси

$$|f(x)-f(y)| \leq\left|f(x)-f\left(x_{k}\right)\right|+\left|f\left(x_{k}\right)-f(y)\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{24}$

Припустимо$D \subset \mathbb{R}$ і$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ є рівномірно безперервним. Показати, що якщо$\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}$ є послідовністю Коші,$D,$ то$\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \in I}$ є послідовністю Коші в$f(D) .$

Вправа$\PageIndex{25}$

Припустимо$f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$, є рівномірно безперервним. Показати, що$f(0+)$ існує.

Вправа$\PageIndex{26}$

Припустимо$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, є безперервним$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0$ і і$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .$ Показати, що$f$ є рівномірно безперервним.