2.2: Нескінченна серія

Визначення

Задано послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},$ let$\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}$ є послідовністю, визначеною

$$s_{n}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}.$$

Ми називаємо послідовність$\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}$ нескінченним рядом. Якщо$\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}$ сходиться, називаємо

$$s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}$$

сума рядів. Для будь-якого цілого числа$n \geq m,$$s_{n}$ називаємо часткову суму ряду.

Будемо використовувати позначення

$$\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}$$

позначити або$\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty},$ нескінченний ряд, або$s$, суму нескінченного ряду. Звичайно, якщо$\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}$ розходиться, то ми говоримо$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ розходиться.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ сходиться і$\beta \in \mathbb{R} .$ Показати, що$\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}$ також сходиться і

$$\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}=\beta \sum_{i=m}^{\infty} a_{i}.$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо, обидва$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$ сходяться. Покажіть, що$\sum_{i=m}^{\infty}\left(a_{i}+b_{i}\right)$ сходиться і

$$\sum_{i=m}^{\infty}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}+\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}.$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Задано нескінченний ряд$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і ціле$k \geq m,$ шоу, яке$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ сходиться, якщо і тільки тоді, коли$\sum_{i=k}^{\infty} a_{i}$ сходиться.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Припустимо,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ сходиться. Потім$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$.

Доказ

Нехай$s_{n}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}$ і$s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} .$ з тих пір у$a_{n}=s_{n}-s_{n-1},$ нас є$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_{n}-s_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}-\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n-1}=s-s=0$. Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{4}$

$s=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{n} .$Зауважимо, що

$$s=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}=1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}=1-s,$$

з чого випливає, що$s=\frac{1}{2} .$ Чи правильно це?

Вправа$\PageIndex{5}$

Показати, що для будь-якого дійсного числа$x \neq 1$,

$$s_{n}=\sum_{i=0}^{n} x^{i}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} .$$

(Підказка: Зверніть увагу, що$\left.x^{n+1}=s_{n+1}-s_{n}=1+x s_{n}-s_{n} .\right)$

Теорема$\PageIndex{2}$

Для будь-якого дійсного числа$x$ з$|x|<1$,

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.$$

Доказ

Якщо$s_{n}=\sum_{i=0}^{n} x^{i},$ потім, за попередньою вправою,

$$s_{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$$

Звідси

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}.$$

2.2.1 Порівняльні тести

Наступні дві пропозиції разом називаються тестом порівняння.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Припустимо$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і є нескінченними рядами, для яких існує ціле число$N$ таке, що$0 \leq a_{i} \leq b_{i}$ всякий раз, коли$i \geq N .$$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$ If сходиться, то$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ сходиться.

Доказ

За вправою 2.2 .3 нам потрібно лише показати, що$\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}$ сходиться. Нехай$s_{n}$ буде n-а часткова сума$\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}$ і нехай$t_{n}$ буде n-а часткова сума$\sum_{i=N}^{\infty} b_{i} .$ Now

$$s_{n+1}-s_{n}=a_{n+1} \geq 0$$

для кожного$n \geq N,$ так$\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}$ це незменшується послідовність. Більш того,

$$s_{n} \leq t_{n} \leq \sum_{i=N}^{\infty} b_{i}<+\infty$$

для кожного$n \geq N .$ Таким чином$\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}$ є незменшується, обмежена послідовність, і так сходиться.

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Припустимо$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$ є нескінченними рядами, для яких існує ціле число$N$ таке, що$0 \leq a_{i} \leq b_{i}$ всякий раз, коли$i \geq N .$ If$\sum_{i=k}^{\infty} a_{i}$ розходиться, то$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$ розходиться.

Доказ

За вправою 2.2 .3 нам потрібно лише показати, що$\sum_{i=N}^{\infty} b_{i}$ розходиться. $s_{n}$Дозволяти бути n-а часткова сума$\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}$ і нехай$t_{n}$ буде n-я часткова сума$\sum_{i=N}^{\infty} b_{i} .$ Now$\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}, N$ є неспадаючою послідовність, яка розходиться, і тому ми повинні мати$\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=+\infty .$ Таким чином, задано будь-яке дійсне число$M$ існує ціле число$L$ таке, що

$$M<s_{n} \leq t_{n}$$

всякий раз$n>L .$ звідси$\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}=+\infty$ і$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$ розходиться. (\ quad\) Q.E.D.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо нескінченний ряд

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\cdots .$$

Тепер у$n=1,2,3, \dots,$ нас є

$$0<\frac{1}{n !} \leq \frac{1}{2^{n-1}}.$$

Так як

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}$$

сходиться, випливає, що

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}$$

сходиться. Більш того,

$$2<\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}<1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3.$$

Ми пускаємо

$$e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}.$$

Пропозиція$\PageIndex{5}$

$e \notin \mathbb{Q}$.

Доказ

Припустимо$e=\frac{p}{q}$, де$p, q \in \mathbb{Z}^{+} .$ нехай

$$a=q !\left(e-\sum_{i=0}^{q} \frac{1}{n !}\right).$$

Тоді$a \in \mathbb{Z}^{+}$ з тих пір$q! e=(q-1) ! p$ і$n !$ ділить$q !$ коли$n \leq q .$ В той же час

$$\begin{aligned} a &=q ! \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}-\sum_{i=0}^{q} \frac{1}{n !}\right) \\ &=q ! \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n !} \\ &=\left(\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots \right) \\ &= \frac{1}{q+1} \left(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots\right) \\ &=\frac{1}{q+1} \left(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots\right) \\ &<\frac{1}{q+1}\left(1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^{2}}+\cdots\right) \\ &=\frac{1}{q+1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^{n}} \\ &=\frac{1}{q+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}}\right) \\ &=\frac{1}{q}\end{aligned}$$

Так як це неможливо, зробимо висновок, що таких чисел немає$p$ і$q$ існує. $\quad$Q.E.D.

Визначення

Ми називаємо дійсне число, яке не є раціональним числом, ірраціональним числом.

Приклад$\PageIndex{2}$

Ми бачили, що$\sqrt{2}$ і$e$ є ірраціональними числами.

Пропозиція$\PageIndex{6}$

Припустимо$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і є нескінченними рядами, для яких існує ціле$N$ і дійсне число$M>0$ таке, що$0 \leq a_{i} \leq M b_{i}$ всякий раз, коли$i \geq N .$ If$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$ сходиться, то$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ сходиться.

Доказ

Оскільки$\sum_{i=k}^{\infty} M b_{i}$ сходиться, коли$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$ це відбувається, результат випливає з тесту порівняння. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ розходиться. Покажіть, що$\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}$ розходиться для будь-якого дійсного числа$\beta \neq 0$.

Пропозиція$\PageIndex{7}$

Припустимо$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і є нескінченними рядами, для яких існує ціле$N$ і дійсне число$M>0$ таке, що$0 \leq a_{i} \leq M b_{i}$ всякий раз, коли$i \geq N .$ If$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ розходиться, то$\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}$ розходиться.

Доказ

За тестом порівняння,$\sum_{i=m}^{\infty} M b_{i}$ розходиться. Значить, за попередньою вправою$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$ теж розходиться.

Результати наступних двох вправ, які є прямими наслідками останніх двох суджень, ми називаємо тестом на порівняння граничних значень.

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустимо$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і є нескінченними рядами,$b_{i}>0$ для яких$a_{i} \geq 0$ і для всіх$i \geq m .$ Показати, що якщо$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$ сходиться і

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{a_{i}}{b_{i}}<+\infty ,$$

потім$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ сходиться.

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$,$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ і є нескінченними серіями,$b_{i}>0$ для яких$a_{i} \geq 0$ і для всіх$i \geq m .$ Покажіть, що якщо$\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}$ розходиться і

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{a_{i}}{b_{i}}<+\infty ,$$

потім$\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}$ розходиться.

Вправа$\PageIndex{9}$

Покажіть, що

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}$$

сходиться.

Вправа$\PageIndex{10}$

Покажіть, що

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}$$

сходиться для будь-якого дійсного числа$x \geq 0$.

Вправа$\PageIndex{11}$

$S$Дозволяти множина всіх скінченних сум чисел у множині,$\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\right\},$ де$a_{i} \geq 0$ для$i=1,2,3, \dots$ Це

$$S=\left\{\sum_{i \in J} a_{i}: J \subset\{1,2,3, \ldots, n\} \text { for some } n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}.$$

Показати, що$\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}$ сходиться, якщо і тільки якщо$\sup S<\infty,$ в цьому випадку

$$\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}=\sup S.$$

Одним з наслідків попередньої вправи є те, що сума послідовності невід'ємних чисел залежить тільки від числа, які починають додаватися, а не від порядку їх додавання. Тобто, якщо$\varphi: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ один до одного і на,$\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}$ сходиться тоді і тільки тоді, коли$\sum_{i=1}^{\infty} a_{\varphi(i)}$ сходиться, і, в такому випадку,

$$\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}=\sum_{i=1}^{\infty} a_{\varphi(i)}.$$