2.2: Нескінченна серія
- Page ID
- 62378
Задано послідовність\(\left\{a_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},\) let\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) є послідовністю, визначеною
\[s_{n}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}.\]
Ми називаємо послідовність\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) нескінченним рядом. Якщо\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) сходиться, називаємо
\[s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}\]
сума рядів. Для будь-якого цілого числа\(n \geq m,\)\(s_{n}\) називаємо часткову суму ряду.
Будемо використовувати позначення
\[\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}\]
позначити або\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty},\) нескінченний ряд, або\(s\), суму нескінченного ряду. Звичайно, якщо\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) розходиться, то ми говоримо\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) розходиться.
Припустимо,\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) сходиться і\(\beta \in \mathbb{R} .\) Показати, що\(\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}\) також сходиться і
\[\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}=\beta \sum_{i=m}^{\infty} a_{i}.\]
Припустимо, обидва\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) сходяться. Покажіть, що\(\sum_{i=m}^{\infty}\left(a_{i}+b_{i}\right)\) сходиться і
\[\sum_{i=m}^{\infty}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}+\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}.\]
Задано нескінченний ряд\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і ціле\(k \geq m,\) шоу, яке\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) сходиться, якщо і тільки тоді, коли\(\sum_{i=k}^{\infty} a_{i}\) сходиться.
Припустимо,\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) сходиться. Потім\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0\).
- Доказ
-
Нехай\(s_{n}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}\) і\(s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} .\) з тих пір у\(a_{n}=s_{n}-s_{n-1},\) нас є\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_{n}-s_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}-\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n-1}=s-s=0\). Q.E.D.
\(s=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{n} .\)Зауважимо, що
\[s=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}=1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}=1-s, \]
з чого випливає, що\(s=\frac{1}{2} .\) Чи правильно це?
Показати, що для будь-якого дійсного числа\(x \neq 1\),
\[s_{n}=\sum_{i=0}^{n} x^{i}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} .\]
(Підказка: Зверніть увагу, що\(\left.x^{n+1}=s_{n+1}-s_{n}=1+x s_{n}-s_{n} .\right)\)
Для будь-якого дійсного числа\(x\) з\(|x|<1\),
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.\]
- Доказ
-
Якщо\(s_{n}=\sum_{i=0}^{n} x^{i},\) потім, за попередньою вправою,
\[s_{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.\]
Звідси
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}.\]
2.2.1 Порівняльні тести
Наступні дві пропозиції разом називаються тестом порівняння.
Припустимо\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\),\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і є нескінченними рядами, для яких існує ціле число\(N\) таке, що\(0 \leq a_{i} \leq b_{i}\) всякий раз, коли\(i \geq N .\)\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) If сходиться, то\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) сходиться.
- Доказ
-
За вправою 2.2 .3 нам потрібно лише показати, що\(\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}\) сходиться. Нехай\(s_{n}\) буде n-а часткова сума\(\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}\) і нехай\(t_{n}\) буде n-а часткова сума\(\sum_{i=N}^{\infty} b_{i} .\) Now
\[s_{n+1}-s_{n}=a_{n+1} \geq 0\]
для кожного\(n \geq N,\) так\(\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}\) це незменшується послідовність. Більш того,
\[s_{n} \leq t_{n} \leq \sum_{i=N}^{\infty} b_{i}<+\infty\]
для кожного\(n \geq N .\) Таким чином\(\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}\) є незменшується, обмежена послідовність, і так сходиться.
Припустимо\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) є нескінченними рядами, для яких існує ціле число\(N\) таке, що\(0 \leq a_{i} \leq b_{i}\) всякий раз, коли\(i \geq N .\) If\(\sum_{i=k}^{\infty} a_{i}\) розходиться, то\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) розходиться.
- Доказ
-
За вправою 2.2 .3 нам потрібно лише показати, що\(\sum_{i=N}^{\infty} b_{i}\) розходиться. \(s_{n}\)Дозволяти бути n-а часткова сума\(\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}\) і нехай\(t_{n}\) буде n-я часткова сума\(\sum_{i=N}^{\infty} b_{i} .\) Now\(\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}, N\) є неспадаючою послідовність, яка розходиться, і тому ми повинні мати\(\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=+\infty .\) Таким чином, задано будь-яке дійсне число\(M\) існує ціле число\(L\) таке, що
\[M<s_{n} \leq t_{n}\]
всякий раз\(n>L .\) звідси\(\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}=+\infty\) і\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) розходиться. (\ quad\) Q.E.D.
Розглянемо нескінченний ряд
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\cdots .\]
Тепер у\(n=1,2,3, \dots,\) нас є
\[0<\frac{1}{n !} \leq \frac{1}{2^{n-1}}.\]
Так як
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}\]
сходиться, випливає, що
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\]
сходиться. Більш того,
\[2<\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}<1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3.\]
Ми пускаємо
\[e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}.\]
\(e \notin \mathbb{Q}\).
- Доказ
-
Припустимо\(e=\frac{p}{q}\), де\(p, q \in \mathbb{Z}^{+} .\) нехай
\[a=q !\left(e-\sum_{i=0}^{q} \frac{1}{n !}\right).\]
Тоді\(a \in \mathbb{Z}^{+}\) з тих пір\(q! e=(q-1) ! p\) і\(n !\) ділить\(q !\) коли\(n \leq q .\) В той же час
\[\begin{aligned} a &=q ! \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}-\sum_{i=0}^{q} \frac{1}{n !}\right) \\ &=q ! \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n !} \\ &=\left(\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots \right) \\ &= \frac{1}{q+1} \left(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots\right) \\ &=\frac{1}{q+1} \left(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots\right) \\ &<\frac{1}{q+1}\left(1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^{2}}+\cdots\right) \\ &=\frac{1}{q+1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^{n}} \\ &=\frac{1}{q+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}}\right) \\ &=\frac{1}{q}\end{aligned}\]
Так як це неможливо, зробимо висновок, що таких чисел немає\(p\) і\(q\) існує. \(\quad\)Q.E.D.
Ми називаємо дійсне число, яке не є раціональним числом, ірраціональним числом.
Ми бачили, що\(\sqrt{2}\) і\(e\) є ірраціональними числами.
Припустимо\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\),\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і є нескінченними рядами, для яких існує ціле\(N\) і дійсне число\(M>0\) таке, що\(0 \leq a_{i} \leq M b_{i}\) всякий раз, коли\(i \geq N .\) If\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) сходиться, то\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) сходиться.
- Доказ
-
Оскільки\(\sum_{i=k}^{\infty} M b_{i}\) сходиться, коли\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) це відбувається, результат випливає з тесту порівняння. \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо,\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) розходиться. Покажіть, що\(\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}\) розходиться для будь-якого дійсного числа\(\beta \neq 0\).
Припустимо\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\),\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і є нескінченними рядами, для яких існує ціле\(N\) і дійсне число\(M>0\) таке, що\(0 \leq a_{i} \leq M b_{i}\) всякий раз, коли\(i \geq N .\) If\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) розходиться, то\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) розходиться.
- Доказ
-
За тестом порівняння,\(\sum_{i=m}^{\infty} M b_{i}\) розходиться. Значить, за попередньою вправою\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) теж розходиться.
Результати наступних двох вправ, які є прямими наслідками останніх двох суджень, ми називаємо тестом на порівняння граничних значень.
Припустимо\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\),\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і є нескінченними рядами,\(b_{i}>0\) для яких\(a_{i} \geq 0\) і для всіх\(i \geq m .\) Показати, що якщо\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) сходиться і
\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{a_{i}}{b_{i}}<+\infty ,\]
потім\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) сходиться.
Припустимо\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\),\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) і є нескінченними серіями,\(b_{i}>0\) для яких\(a_{i} \geq 0\) і для всіх\(i \geq m .\) Покажіть, що якщо\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) розходиться і
\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{a_{i}}{b_{i}}<+\infty ,\]
потім\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) розходиться.
Покажіть, що
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}\]
сходиться.
Покажіть, що
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\]
сходиться для будь-якого дійсного числа\(x \geq 0\).
\(S\)Дозволяти множина всіх скінченних сум чисел у множині,\(\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\right\},\) де\(a_{i} \geq 0\) для\(i=1,2,3, \dots\) Це
\[S=\left\{\sum_{i \in J} a_{i}: J \subset\{1,2,3, \ldots, n\} \text { for some } n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}.\]
Показати, що\(\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}\) сходиться, якщо і тільки якщо\(\sup S<\infty,\) в цьому випадку
\[\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}=\sup S.\]
Одним з наслідків попередньої вправи є те, що сума послідовності невід'ємних чисел залежить тільки від числа, які починають додаватися, а не від порядку їх додавання. Тобто, якщо\(\varphi: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}\) один до одного і на,\(\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}\) сходиться тоді і тільки тоді, коли\(\sum_{i=1}^{\infty} a_{\varphi(i)}\) сходиться, і, в такому випадку,
\[\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}=\sum_{i=1}^{\infty} a_{\varphi(i)}.\]