8.4: Повнота і компактність
- Page ID
- 62623
Послідовності Коші і повнота
Так само, як і з послідовностями дійсних чисел, ми можемо визначити послідовності Коші.
\((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір. Послідовність\(\{ x_n \}\) в\(X\) - це послідовність Коші, якщо для кожного\(\epsilon > 0\) існує\(M \in {\mathbb{N}}\) така, що для всіх\(n \geq M\) і всіх у\(k \geq M\) нас є\[d(x_n, x_k) < \epsilon .\]
Визначення - це знову просто переклад поняття з дійсних чисел в метричні простори. Таким чином, послідовність дійсних чисел Коші в сенсі якщо і тільки якщо це Коші в сенсі вище, за умови, що ми обладнаємо дійсні числа стандартною метрикою\(d(x,y) = \left\lvert {x-y} \right\rvert\).
\((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір. Ми говоримо, що\(X\) є повним або Коші повним, якщо кожна послідовність Коші\(\{ x_n \}\) в\(X\) сходиться до\(x \in X\).
Простір\({\mathbb{R}}^n\) зі стандартною метрикою - це повний метричний простір.
За\({\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1\) це було доведено в.
Візьміть\(n > 1\). \(\{ x^j \}_{j=1}^\infty\)Дозволяти бути послідовність Коші в\({\mathbb{R}}^n\), де ми пишемо\(x^j = \bigl(x_1^j,x_2^j,\ldots,x_n^j\bigr) \in {\mathbb{R}}^n\). Оскільки послідовність Коші, дана\(\epsilon > 0\), існує\(M\) така, що для всіх у\(i,j \geq M\) нас є\[d(x^i,x^j) < \epsilon.\]
Виправте деякі\(k=1,2,\ldots,n\),\(i,j \geq M\) бо у нас\(\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty\) є\[\bigl\lvert x_k^i - x_k^j \bigr\rvert = \sqrt{{\bigl(x_k^i - x_k^j\bigr)}^2} \leq \sqrt{\sum_{\ell=1}^n {\bigl(x_\ell^i-x_\ell^j\bigr)}^2} = d(x^i,x^j) < \epsilon .\] Отже послідовність Коші. Як\({\mathbb{R}}\) і повна послідовність сходиться; існує\(x_k \in {\mathbb{R}}\) така, що\(x_k = \lim_{j\to\infty} x_k^j\).
Напишіть\(x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n\). До нас є, що\(\{ x^j \}\) сходиться\(x \in {\mathbb{R}}^n\) і, отже\({\mathbb{R}}^n\), є повним.
Компактність
\((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір і\(K \subset X\). Набір\(K\) встановлюється як компактний, якщо для будь-якої колекції відкритих множин,\(\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I}\) таких, що\[K \subset \bigcup_{\lambda \in I} U_\lambda ,\] існує кінцева підмножина,\(\{ \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_k \} \subset I\) така, що\[K \subset \bigcup_{j=1}^k U_{\lambda_j} .\]
Колекція відкритих наборів\(\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I}\), як зазначено вище, як кажуть, є відкритою кришкою\(K\). Таким чином, спосіб сказати, що\(K\) компактний - це сказати, що кожна відкрита кришка\(K\) має кінцеву підпокриття.
\((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір. Компактний набір\(K \subset X\) закритий і обмежений.
Спочатку доведемо, що компактний набір обмежений. Виправити\(p \in X\). У нас відкрита кришка\[K \subset \bigcup_{n=1}^\infty B(p,n) = X .\] Якщо\(K\) компактна, то існує якийсь набір індексів,\(n_1 < n_2 < \ldots < n_k\)\[K \subset \bigcup_{j=1}^k B(p,n_j) = B(p,n_k) .\] таких\(K\) що As міститься в кулі,\(K\) обмежений.
Далі ми показуємо набір, який не закритий не компактний. Припустимо\(\overline{K} \not= K\), що, тобто є сенс\(x \in \overline{K} \setminus K\). Якщо\(y \not= x\), то для\(n\) з у\(\nicefrac{1}{n} < d(x,y)\) нас є\(y \notin C(x,\nicefrac{1}{n})\). Крім того\(x \notin K\), так\[K \subset \bigcup_{n=1}^\infty C(x,\nicefrac{1}{n})^c .\] як закритий куля закритий,\(C(x,\nicefrac{1}{n})^c\) відкритий, і тому у нас є відкрита кришка. Якщо взяти будь-яку скінченну колекцію індексів\(n_1 < n_2 < \ldots < n_k\), то\[\bigcup_{j=1}^k C(x,\nicefrac{1}{n_j})^c = C(x,\nicefrac{1}{n_k})^c\] як\(x\) знаходиться в закритті, у нас є\(C(x,\nicefrac{1}{n_k}) \cap K \not= \emptyset\), так що немає кінцевого підпокриву і\(K\) не компактний.
Нижче доведено, що у скінченно-вимірному евклідовому просторі кожна замкнута обмежена множина є компактною. Так замкнуті обмежені множини\({\mathbb{R}}^n\) є прикладами компактних множин. Неправда, що в кожному метричному просторі замкнутий і обмежений еквівалентний компактності. Існує багато метричних просторів, де замкнутого та обмеженого недостатньо для надання компактності, див. Наприклад.
Корисна властивість компактних множин у метричному просторі полягає в тому, що кожна послідовність має збіжну підпослідовність. Такі набори іноді називають послідовно компактними. Доведемо, що в контексті метричних просторів множина є компактною тоді і тільки тоді, коли вона послідовно компактна.
[thm:mscompactisseqcpt]\((X,d)\) Дозволяти бути метричним пробілом. Тоді\(K \subset X\) є компактним набором тоді і тільки тоді, коли кожна послідовність в\(K\) має підпослідовність, що сходиться до точки в\(K\).
\(K \subset X\)Дозволяти бути\(\{ x_n \}\) набір і послідовність в\(K\). Припустимо\(x \in K\), що для кожного знайдеться куля\(B(x,\alpha_x)\) для якогось\(\alpha_x > 0\) такого, що\(x_n \in B(x,\alpha_x)\) для тільки скінченно багатьох\(n \in {\mathbb{N}}\). Тоді\[K \subset \bigcup_{x \in K} B(x,\alpha_x) .\] будь-яка кінцева колекція цих куль буде містити лише скінченно багато\(x_n\). При цьому для будь-якої кінцевої колекції таких куль існує такий\(x_n \in K\), який не є в союзі. Тому не\(K\) є компактним.
Так що якщо\(K\) компактний, то існує\(x \in K\) таке, що для будь-якого\(\delta > 0\),\(B(x,\delta)\) містить\(x_k\) для нескінченно багатьох\(k \in {\mathbb{N}}\). \(B(x,1)\)містить деякі\(x_k\) так нехай\(n_1 := k\). Якщо\(n_{j-1}\) визначено, то має існувати\(k > n_{j-1}\) таке\(x_k \in B(x,\nicefrac{1}{j})\), що, так визначте\(n_j := k\). Зауважте, що\(d(x,x_{n_j}) < \nicefrac{1}{j}\). За,\(\lim\, x_{n_j} = x\).
Для іншого напрямку, припустимо, що кожна послідовність в\(K\) має підпослідовність, що сходиться в\(K\). Візьміть\(\{ U_\lambda \}_{\lambda \in I}\) відкриту кришку\(K\). Для кожного\(x \in K\), визначте\[\delta(x) := \sup \{ \delta \in (0,1) : B(x,\delta) \subset U_\lambda \text{ for some } \lambda \in I \} .\] As\(\{ U_\lambda \}\) - це відкрита кришка\(K\),\(\delta(x) > 0\) для кожного\(x \in K\). За конструкцією, для будь-якого\(\epsilon < \delta(x)\) позитиву має існувати\(\lambda \in I\) таке, що\(B(x,\epsilon) \subset U_\lambda\).
Виберіть\(\lambda_0 \in I\) і подивіться на\(U_{\lambda_0}\). Якщо\(K \subset U_{\lambda_0}\), ми зупиняємося, як ми знайшли скінченну підкриття. В іншому випадку повинна бути точка\(x_1 \in K \setminus U_{\lambda_0}\). Повинно існувати\(\lambda_1 \in I\) такі, що\(x_1 \in U_{\lambda_1}\) і по суті\(B\bigl(x_1,\frac{1}{2}\delta({x_1})\bigr) \subset U_{\lambda_1}\). Ми працюємо індуктивно. Припустимо,\(\lambda_{n-1}\) що визначено. Або\(U_{\lambda_0} \cup U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}}\) є кінцевою обкладинкою\(K\), в цьому випадку ми зупиняємося, або там повинна бути точка\(x_n \in K \setminus \bigl( U_{\lambda_1} \cup U_{\lambda_2} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}}\bigr)\). При цьому повинні бути\(\lambda_n \in I\) такі\(x_n \in U_{\lambda_n}\), що, і по суті\[B\bigl(x_n,\tfrac{1}{2}\delta(x_n)\bigr) \subset U_{\lambda_n}.\]
Таким чином, або ми отримали скінченну підкриття або ми отримали нескінченну послідовність\(\{ x_n \}\), як зазначено вище. Для протиріччя припустимо, що не було скінченного підпокриття, і ми маємо послідовність\(\{ x_n \}\). Потім йде підпослідовність\(\{ x_{n_k} \}\), яка сходиться, тобто\(x = \lim \, x_{n_k} \in K\). Беремо\(\lambda \in I\) такі, що\(B\bigl(x,\frac{1}{2}\delta(x)\bigr) \subset U_\lambda\). У міру сходження підпослідовності відбувається\(k\) таке, що\(d(x_{n_k},x) < \frac{1}{8}\delta(x)\). За нерівності трикутника,\(B\bigl(x_{n_k},\frac{3}{8}\delta(x)\bigr) \subset B\bigl(x,\frac{1}{2}\delta(x)\bigr) \subset U_\lambda\). Отже\(\frac{3}{8}\delta(x) < \delta({x_{n_k}})\), що має на увазі\[B\bigl(x_{n_k},\tfrac{3}{16}\delta(x)\bigr) \subset B\bigl(x_{n_k},\tfrac{1}{2}\delta(x_{n_k})\bigr) \subset U_{\lambda_{n_k}}.\] As\(\nicefrac{1}{8} < \nicefrac{3}{16}\), у нас є\(x \in B\bigl(x_{n_k},\frac{3}{16}\delta(x)\bigr)\), або\(x \in U_{\lambda_{n_k}}\). Як\(\lim x_{n_j} = x\), для всіх досить\(j\) великих у нас є\(x_{n_j} \in U_{\lambda_{n_k}}\) повз. Зафіксуємо одну з\(j\) таких, що\(j > k\). Але по\(x_{n_j} \notin U_{\lambda_{n_k}}\) будівництву якщо\(j > k\), що є протиріччям.
За теоремою Больцано-Вейєрштрасса для послідовностей () ми маємо, що будь-яка обмежена послідовність має збіжну підпослідовність. Тому будь-яка послідовність в замкнутому інтервалі\([a,b] \subset {\mathbb{R}}\) має збіжну підпослідовність. Межа також повинна бути в,\([a,b]\) оскільки межі зберігають несуворі нерівності. Отже, замкнутий обмежений інтервал\([a,b] \subset {\mathbb{R}}\) є компактним.
\((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір і нехай\(K \subset X\) бути компактним. Припустимо, що\(E \subset K\) це закритий набір,\(E\) то компактний.
\(\{ x_n \}\)Дозволяти бути послідовність в\(E\). Це також послідовність в\(K\). Тому він має збіжну підпослідовність\(\{ x_{n_j} \}\), яка сходиться до\(x \in K\). Як\(E\) замкнуто межа послідовності в\(E\) також в\(E\) і так\(x \in E\). При цьому\(E\) повинен бути компактним.
[thm:msbw] Закрита обмежена підмножина\(K \subset {\mathbb{R}}^n\) є компактною.
Бо\({\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1\) якщо\(K \subset {\mathbb{R}}\) замкнутий і обмежений, то будь-яка послідовність\(\{ x_n \}\) в\(K\) обмежена, тому вона має збіжну підпослідовність за теоремою Больцано-Вейєрштрасса для послідовностей (). Як\(K\) замкнуто, межа підпослідовності повинна бути елементом\(K\). Так\(K\) виглядає компактно.
Здійснимо доказ для\(n=2\) і залишимо довільне\(n\) як вправу.
Як\(K\) обмежена, існує безліч\(B=[a,b]\times[c,d] \subset {\mathbb{R}}^2\) таких, що\(K \subset B\). Якщо ми можемо показати, що\(B\) компактний, то\(K\), будучи закритою підмножиною компактного\(B\), також компактний.
\(\{ (x_k,y_k) \}_{k=1}^\infty\)Дозволяти бути послідовність в\(B\). Тобто,\(a \leq x_k \leq b\) і\(c \leq y_k \leq d\) для всіх\(k\). Обмежена послідовність має збіжну підпослідовність, тому існує підпослідовність\(\{ x_{k_j} \}_{j=1}^\infty\), яка є збіжною. Підпослідовність також\(\{ y_{k_j} \}_{j=1}^\infty\) є обмеженою послідовністю, тому існує підпослідовність\(\{ y_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty\), яка є збіжною. Підпослідовність збіжної послідовності все ще збіжна, так і\(\{ x_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty\) збіжна. Нехай\[x := \lim_{i\to\infty} x_{k_{j_i}} \qquad \text{and} \qquad y := \lim_{i\to\infty} y_{k_{j_i}} .\] By,\(\bigl\{ (x_{k_{j_i}},y_{k_{j_i}}) \bigr\}_{i=1}^\infty\) сходиться до того\((x,y)\), як\(i\) йде\(\infty\). Крім того, як\(a \leq x_k \leq b\) і\(c \leq y_k \leq d\) для всіх\(k\), ми це знаємо\((x,y) \in B\).
Вправи
\((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір і\(A\) скінченна підмножина\(X\). Покажіть,\(A\) що компактний.
Дозвольте\(A = \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\} \subset {\mathbb{R}}\). а) Показати, що не\(A\) є компактним безпосередньо за допомогою визначення. б) Показати, що\(A \cup \{ 0 \}\) компактний безпосередньо за допомогою визначення.
\((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір з дискретної метрики. а) Довести,\(X\) що повно. б) Довести, що\(X\) компактний, якщо і тільки якщо\(X\) є кінцевою множиною.
а) Покажіть, що об'єднання нескінченно багатьох компактних наборів - це компактний набір. б) Знайдіть приклад, коли об'єднання нескінченно багатьох компактних наборів не є компактним.
Доведіть для довільного виміру. Підказка: Хитрість полягає у використанні правильних позначень.
Показати, що компактний набір\(K\) є повним метричним простором.
\(C([a,b])\)Дозволяти бути метричний простір, як в. Показати, що\(C([a,b])\) є повним метричним простором.
[Вправа: msclbounnotCompt]\(C([0,1])\) Дозволяти бути метричним простором. Нехай\(0\) позначимо нульову функцію. Потім покажіть, що\(C(0,1)\) закритий куля не компактний (навіть якщо він закритий і обмежений). Підказки: Побудувати послідовність різних неперервних функцій,\(\{ f_n \}\) таких як\(d(f_n,0) = 1\) і\(d(f_n,f_k) = 1\) для всіх\(n \not= k\). Покажіть, що набір\(\{ f_n : n \in {\mathbb{N}}\} \subset C(0,1)\) закритий, але не компактний. Дивіться для натхнення.
Показати, що існує метрика\({\mathbb{R}}\), яка\({\mathbb{R}}\) перетворюється в компактний набір.
Припустимо, що\((X,d)\) це повно і припустимо, що у нас є незліченно нескінченна колекція непорожніх компактних множин\(E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset \cdots\) потім довести\(\bigcap_{j=1}^\infty E_j \not= \emptyset\).
\(C([0,1])\)Дозволяти бути метричний простір. \(K\)Дозволяти\(f \in C([0,1])\) множина таких, що\(f\) дорівнює квадратичному многочлену, тобто\(f(x) = a+bx+cx^2\), і такого, що\(\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq 1\) для всіх\(x \in [0,1]\), тобто\(f \in C(0,1)\). Покажіть,\(K\) що компактний.