8.4: Повнота і компактність

Послідовності Коші і повнота

Так само, як і з послідовностями дійсних чисел, ми можемо визначити послідовності Коші.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір. Послідовність$\{ x_n \}$ в$X$ - це послідовність Коші, якщо для кожного$\epsilon > 0$ існує$M \in {\mathbb{N}}$ така, що для всіх$n \geq M$ і всіх у$k \geq M$ нас є $$d(x_n, x_k) < \epsilon .$$

Визначення - це знову просто переклад поняття з дійсних чисел в метричні простори. Таким чином, послідовність дійсних чисел Коші в сенсі якщо і тільки якщо це Коші в сенсі вище, за умови, що ми обладнаємо дійсні числа стандартною метрикою$d(x,y) = \left\lvert {x-y} \right\rvert$.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір. Ми говоримо, що$X$ є повним або Коші повним, якщо кожна послідовність Коші$\{ x_n \}$ в$X$ сходиться до$x \in X$.

Простір${\mathbb{R}}^n$ зі стандартною метрикою - це повний метричний простір.

За${\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1$ це було доведено в.

Візьміть$n > 1$. $\{ x^j \}_{j=1}^\infty$Дозволяти бути послідовність Коші в${\mathbb{R}}^n$, де ми пишемо$x^j = \bigl(x_1^j,x_2^j,\ldots,x_n^j\bigr) \in {\mathbb{R}}^n$. Оскільки послідовність Коші, дана$\epsilon > 0$, існує$M$ така, що для всіх у$i,j \geq M$ нас є $$d(x^i,x^j) < \epsilon.$$

Виправте деякі$k=1,2,\ldots,n$,$i,j \geq M$ бо у нас$\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty$ є $$\bigl\lvert x_k^i - x_k^j \bigr\rvert = \sqrt{{\bigl(x_k^i - x_k^j\bigr)}^2} \leq \sqrt{\sum_{\ell=1}^n {\bigl(x_\ell^i-x_\ell^j\bigr)}^2} = d(x^i,x^j) < \epsilon .$$ Отже послідовність Коші. Як${\mathbb{R}}$ і повна послідовність сходиться; існує$x_k \in {\mathbb{R}}$ така, що$x_k = \lim_{j\to\infty} x_k^j$.

Напишіть$x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n$. До нас є, що$\{ x^j \}$ сходиться$x \in {\mathbb{R}}^n$ і, отже${\mathbb{R}}^n$, є повним.

Компактність

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір і$K \subset X$. Набір$K$ встановлюється як компактний, якщо для будь-якої колекції відкритих множин,$\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I}$ таких, що $$K \subset \bigcup_{\lambda \in I} U_\lambda ,$$ існує кінцева підмножина,$\{ \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_k \} \subset I$ така, що $$K \subset \bigcup_{j=1}^k U_{\lambda_j} .$$

Колекція відкритих наборів$\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I}$, як зазначено вище, як кажуть, є відкритою кришкою$K$. Таким чином, спосіб сказати, що$K$ компактний - це сказати, що кожна відкрита кришка$K$ має кінцеву підпокриття.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір. Компактний набір$K \subset X$ закритий і обмежений.

Спочатку доведемо, що компактний набір обмежений. Виправити$p \in X$. У нас відкрита кришка $$K \subset \bigcup_{n=1}^\infty B(p,n) = X .$$ Якщо$K$ компактна, то існує якийсь набір індексів,$n_1 < n_2 < \ldots < n_k$ $$K \subset \bigcup_{j=1}^k B(p,n_j) = B(p,n_k) .$$ таких$K$ що As міститься в кулі,$K$ обмежений.

Далі ми показуємо набір, який не закритий не компактний. Припустимо$\overline{K} \not= K$, що, тобто є сенс$x \in \overline{K} \setminus K$. Якщо$y \not= x$, то для$n$ з у$\nicefrac{1}{n} < d(x,y)$ нас є$y \notin C(x,\nicefrac{1}{n})$. Крім того$x \notin K$, так $$K \subset \bigcup_{n=1}^\infty C(x,\nicefrac{1}{n})^c .$$ як закритий куля закритий,$C(x,\nicefrac{1}{n})^c$ відкритий, і тому у нас є відкрита кришка. Якщо взяти будь-яку скінченну колекцію індексів$n_1 < n_2 < \ldots < n_k$, то $$\bigcup_{j=1}^k C(x,\nicefrac{1}{n_j})^c = C(x,\nicefrac{1}{n_k})^c$$ як$x$ знаходиться в закритті, у нас є$C(x,\nicefrac{1}{n_k}) \cap K \not= \emptyset$, так що немає кінцевого підпокриву і$K$ не компактний.

Нижче доведено, що у скінченно-вимірному евклідовому просторі кожна замкнута обмежена множина є компактною. Так замкнуті обмежені множини${\mathbb{R}}^n$ є прикладами компактних множин. Неправда, що в кожному метричному просторі замкнутий і обмежений еквівалентний компактності. Існує багато метричних просторів, де замкнутого та обмеженого недостатньо для надання компактності, див. Наприклад.

Корисна властивість компактних множин у метричному просторі полягає в тому, що кожна послідовність має збіжну підпослідовність. Такі набори іноді називають послідовно компактними. Доведемо, що в контексті метричних просторів множина є компактною тоді і тільки тоді, коли вона послідовно компактна.

[thm:mscompactisseqcpt]$(X,d)$ Дозволяти бути метричним пробілом. Тоді$K \subset X$ є компактним набором тоді і тільки тоді, коли кожна послідовність в$K$ має підпослідовність, що сходиться до точки в$K$.

$K \subset X$Дозволяти бути$\{ x_n \}$ набір і послідовність в$K$. Припустимо$x \in K$, що для кожного знайдеться куля$B(x,\alpha_x)$ для якогось$\alpha_x > 0$ такого, що$x_n \in B(x,\alpha_x)$ для тільки скінченно багатьох$n \in {\mathbb{N}}$. Тоді $$K \subset \bigcup_{x \in K} B(x,\alpha_x) .$$ будь-яка кінцева колекція цих куль буде містити лише скінченно багато$x_n$. При цьому для будь-якої кінцевої колекції таких куль існує такий$x_n \in K$, який не є в союзі. Тому не$K$ є компактним.

Так що якщо$K$ компактний, то існує$x \in K$ таке, що для будь-якого$\delta > 0$,$B(x,\delta)$ містить$x_k$ для нескінченно багатьох$k \in {\mathbb{N}}$. $B(x,1)$містить деякі$x_k$ так нехай$n_1 := k$. Якщо$n_{j-1}$ визначено, то має існувати$k > n_{j-1}$ таке$x_k \in B(x,\nicefrac{1}{j})$, що, так визначте$n_j := k$. Зауважте, що$d(x,x_{n_j}) < \nicefrac{1}{j}$. За,$\lim\, x_{n_j} = x$.

Для іншого напрямку, припустимо, що кожна послідовність в$K$ має підпослідовність, що сходиться в$K$. Візьміть$\{ U_\lambda \}_{\lambda \in I}$ відкриту кришку$K$. Для кожного$x \in K$, визначте $$\delta(x) := \sup \{ \delta \in (0,1) : B(x,\delta) \subset U_\lambda \text{ for some } \lambda \in I \} .$$ As$\{ U_\lambda \}$ - це відкрита кришка$K$,$\delta(x) > 0$ для кожного$x \in K$. За конструкцією, для будь-якого$\epsilon < \delta(x)$ позитиву має існувати$\lambda \in I$ таке, що$B(x,\epsilon) \subset U_\lambda$.

Виберіть$\lambda_0 \in I$ і подивіться на$U_{\lambda_0}$. Якщо$K \subset U_{\lambda_0}$, ми зупиняємося, як ми знайшли скінченну підкриття. В іншому випадку повинна бути точка$x_1 \in K \setminus U_{\lambda_0}$. Повинно існувати$\lambda_1 \in I$ такі, що$x_1 \in U_{\lambda_1}$ і по суті$B\bigl(x_1,\frac{1}{2}\delta({x_1})\bigr) \subset U_{\lambda_1}$. Ми працюємо індуктивно. Припустимо,$\lambda_{n-1}$ що визначено. Або$U_{\lambda_0} \cup U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}}$ є кінцевою обкладинкою$K$, в цьому випадку ми зупиняємося, або там повинна бути точка$x_n \in K \setminus \bigl( U_{\lambda_1} \cup U_{\lambda_2} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}}\bigr)$. При цьому повинні бути$\lambda_n \in I$ такі$x_n \in U_{\lambda_n}$, що, і по суті $$B\bigl(x_n,\tfrac{1}{2}\delta(x_n)\bigr) \subset U_{\lambda_n}.$$

Таким чином, або ми отримали скінченну підкриття або ми отримали нескінченну послідовність$\{ x_n \}$, як зазначено вище. Для протиріччя припустимо, що не було скінченного підпокриття, і ми маємо послідовність$\{ x_n \}$. Потім йде підпослідовність$\{ x_{n_k} \}$, яка сходиться, тобто$x = \lim \, x_{n_k} \in K$. Беремо$\lambda \in I$ такі, що$B\bigl(x,\frac{1}{2}\delta(x)\bigr) \subset U_\lambda$. У міру сходження підпослідовності відбувається$k$ таке, що$d(x_{n_k},x) < \frac{1}{8}\delta(x)$. За нерівності трикутника,$B\bigl(x_{n_k},\frac{3}{8}\delta(x)\bigr) \subset B\bigl(x,\frac{1}{2}\delta(x)\bigr) \subset U_\lambda$. Отже$\frac{3}{8}\delta(x) < \delta({x_{n_k}})$, що має на увазі $$B\bigl(x_{n_k},\tfrac{3}{16}\delta(x)\bigr) \subset B\bigl(x_{n_k},\tfrac{1}{2}\delta(x_{n_k})\bigr) \subset U_{\lambda_{n_k}}.$$ As$\nicefrac{1}{8} < \nicefrac{3}{16}$, у нас є$x \in B\bigl(x_{n_k},\frac{3}{16}\delta(x)\bigr)$, або$x \in U_{\lambda_{n_k}}$. Як$\lim x_{n_j} = x$, для всіх досить$j$ великих у нас є$x_{n_j} \in U_{\lambda_{n_k}}$ повз. Зафіксуємо одну з$j$ таких, що$j > k$. Але по$x_{n_j} \notin U_{\lambda_{n_k}}$ будівництву якщо$j > k$, що є протиріччям.

За теоремою Больцано-Вейєрштрасса для послідовностей () ми маємо, що будь-яка обмежена послідовність має збіжну підпослідовність. Тому будь-яка послідовність в замкнутому інтервалі$[a,b] \subset {\mathbb{R}}$ має збіжну підпослідовність. Межа також повинна бути в,$[a,b]$ оскільки межі зберігають несуворі нерівності. Отже, замкнутий обмежений інтервал$[a,b] \subset {\mathbb{R}}$ є компактним.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір і нехай$K \subset X$ бути компактним. Припустимо, що$E \subset K$ це закритий набір,$E$ то компактний.

$\{ x_n \}$Дозволяти бути послідовність в$E$. Це також послідовність в$K$. Тому він має збіжну підпослідовність$\{ x_{n_j} \}$, яка сходиться до$x \in K$. Як$E$ замкнуто межа послідовності в$E$ також в$E$ і так$x \in E$. При цьому$E$ повинен бути компактним.

[thm:msbw] Закрита обмежена підмножина$K \subset {\mathbb{R}}^n$ є компактною.

Бо${\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1$ якщо$K \subset {\mathbb{R}}$ замкнутий і обмежений, то будь-яка послідовність$\{ x_n \}$ в$K$ обмежена, тому вона має збіжну підпослідовність за теоремою Больцано-Вейєрштрасса для послідовностей (). Як$K$ замкнуто, межа підпослідовності повинна бути елементом$K$. Так$K$ виглядає компактно.

Здійснимо доказ для$n=2$ і залишимо довільне$n$ як вправу.

Як$K$ обмежена, існує безліч$B=[a,b]\times[c,d] \subset {\mathbb{R}}^2$ таких, що$K \subset B$. Якщо ми можемо показати, що$B$ компактний, то$K$, будучи закритою підмножиною компактного$B$, також компактний.

$\{ (x_k,y_k) \}_{k=1}^\infty$Дозволяти бути послідовність в$B$. Тобто,$a \leq x_k \leq b$ і$c \leq y_k \leq d$ для всіх$k$. Обмежена послідовність має збіжну підпослідовність, тому існує підпослідовність$\{ x_{k_j} \}_{j=1}^\infty$, яка є збіжною. Підпослідовність також$\{ y_{k_j} \}_{j=1}^\infty$ є обмеженою послідовністю, тому існує підпослідовність$\{ y_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty$, яка є збіжною. Підпослідовність збіжної послідовності все ще збіжна, так і$\{ x_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty$ збіжна. Нехай $$x := \lim_{i\to\infty} x_{k_{j_i}} \qquad \text{and} \qquad y := \lim_{i\to\infty} y_{k_{j_i}} .$$ By,$\bigl\{ (x_{k_{j_i}},y_{k_{j_i}}) \bigr\}_{i=1}^\infty$ сходиться до того$(x,y)$, як$i$ йде$\infty$. Крім того, як$a \leq x_k \leq b$ і$c \leq y_k \leq d$ для всіх$k$, ми це знаємо$(x,y) \in B$.

Вправи

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір і$A$ скінченна підмножина$X$. Покажіть,$A$ що компактний.

Дозвольте$A = \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\} \subset {\mathbb{R}}$. а) Показати, що не$A$ є компактним безпосередньо за допомогою визначення. б) Показати, що$A \cup \{ 0 \}$ компактний безпосередньо за допомогою визначення.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір з дискретної метрики. а) Довести,$X$ що повно. б) Довести, що$X$ компактний, якщо і тільки якщо$X$ є кінцевою множиною.

а) Покажіть, що об'єднання нескінченно багатьох компактних наборів - це компактний набір. б) Знайдіть приклад, коли об'єднання нескінченно багатьох компактних наборів не є компактним.

Доведіть для довільного виміру. Підказка: Хитрість полягає у використанні правильних позначень.

Показати, що компактний набір$K$ є повним метричним простором.

$C([a,b])$Дозволяти бути метричний простір, як в. Показати, що$C([a,b])$ є повним метричним простором.

[Вправа: msclbounnotCompt]$C([0,1])$ Дозволяти бути метричним простором. Нехай$0$ позначимо нульову функцію. Потім покажіть, що$C(0,1)$ закритий куля не компактний (навіть якщо він закритий і обмежений). Підказки: Побудувати послідовність різних неперервних функцій,$\{ f_n \}$ таких як$d(f_n,0) = 1$ і$d(f_n,f_k) = 1$ для всіх$n \not= k$. Покажіть, що набір$\{ f_n : n \in {\mathbb{N}}\} \subset C(0,1)$ закритий, але не компактний. Дивіться для натхнення.

Показати, що існує метрика${\mathbb{R}}$, яка${\mathbb{R}}$ перетворюється в компактний набір.

Припустимо, що$(X,d)$ це повно і припустимо, що у нас є незліченно нескінченна колекція непорожніх компактних множин$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset \cdots$ потім довести$\bigcap_{j=1}^\infty E_j \not= \emptyset$.

$C([0,1])$Дозволяти бути метричний простір. $K$Дозволяти$f \in C([0,1])$ множина таких, що$f$ дорівнює квадратичному многочлену, тобто$f(x) = a+bx+cx^2$, і такого, що$\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq 1$ для всіх$x \in [0,1]$, тобто$f \in C(0,1)$. Покажіть,$K$ що компактний.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribLebl