8.3: Послідовності та збіжність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62641

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Послідовності

Поняття послідовності в метричному просторі дуже схоже на послідовність дійсних чисел.

Послідовність у метричному просторі$(X,d)$ - це функція$x \colon {\mathbb{N}}\to X$. Як і раніше пишемо$x_n$ для$n$ го елемента в послідовності і використовуємо позначення$\{ x_n \}$, а точніше\[\{ x_n \}_{n=1}^\infty .\]

Послідовність$\{ x_n \}$ обмежена, якщо існує точка$p \in X$ і$B \in {\mathbb{R}}$ така, що\[d(p,x_n) \leq B \qquad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$.}\] Іншими словами, послідовність$\{x_n\}$ обмежується щоразу, коли$\{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\}$ множина обмежена.

Якщо$\{ n_j \}_{j=1}^\infty$ послідовність натуральних чисел така, що$n_{j+1} > n_j$ для всіх$j$ тоді послідовність$\{ x_{n_j} \}_{j=1}^\infty$ вважається підпослідовністю$\{x_n \}$.

Аналогічно ми також визначаємо конвергенцію. Знову ж таки, ми будемо трохи обманювати, і ми будемо використовувати певний артикль перед лімітом слів, перш ніж довести, що межа унікальна.

Послідовність$\{ x_n \}$ у$(X,d)$ метричному просторі, як кажуть, сходиться до точки$p \in X$, якщо для кожного$\epsilon > 0$, існує$M \in {\mathbb{N}}$ така, що$d(x_n,p) < \epsilon$ для всіх$n \geq M$. $p$Справа, як кажуть, межа$\{ x_n \}$. пишемо\[\lim_{n\to \infty} x_n := p .\]

Послідовність, яка сходиться, кажуть, що збігається. В іншому випадку послідовність кажуть, що розходиться.

Доведемо, що ліміт унікальний. Зверніть увагу, що доказ майже ідентичний тому ж факту для послідовностей дійсних чисел. Насправді багато результатів, які ми знаємо для послідовностей дійсних чисел, можуть бути доведені в більш загальних налаштуваннях метричних просторів. Ми повинні$\left\lvert {x-y} \right\rvert$ замінити на$d(x,y)$ в доказах і правильно застосувати нерівність трикутника.

[prop:mslimisunique] Конвергентна послідовність у метричному просторі має унікальну межу.

Припустимо, що послідовність$\{ x_n \}$ має межу$x$ і межу$y$. Візьміть довільну$\epsilon > 0$. З визначення знаходимо$M_1$ таке, що для всіх$n \geq M_1$,$d(x_n,x) < \nicefrac{\epsilon}{2}$. Аналогічно ми знаходимо$M_2$ таке, що для всіх у$n \geq M_2$ нас є$d(x_n,y) < \nicefrac{\epsilon}{2}$. Тепер візьміть$n$ таку, що$n \geq M_1$ і також$n \geq M_2$\[\begin{split} d(y,x) & \leq d(y,x_n) + d(x_n,x) \\ & < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split}\] Як$d(y,x) < \epsilon$ для всіх$\epsilon > 0$, то$d(x,y) = 0$ і$y=x$. Звідси межа (якщо вона існує) є унікальною.

Докази наступних пропозицій залишені як вправи.

[prop:msconvbound] Збіжна послідовність у метричному просторі обмежена.

[prop:msconvifa] Послідовність$\{ x_n \}$ у метричному просторі$(X,d)$ сходиться до$p \in X$ if і тільки тоді, коли існує послідовність$\{ a_n \}$ дійсних чисел така, що\[d(x_n,p) \leq a_n \quad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$},\] і\[\lim_{n\to\infty} a_n = 0.\]

Конвергенція в евклідовому просторі

Корисно відзначити, що означає конвергенція в евклідовому просторі${\mathbb{R}}^n$.

[prop:msconveuc]$\{ x^j \}_{j=1}^\infty$ Дозволяти бути послідовність в${\mathbb{R}}^n$, де ми пишемо$x^j = \bigl(x_1^j,x_2^j,\ldots,x_n^j\bigr) \in {\mathbb{R}}^n$. Потім$\{ x^j \}_{j=1}^\infty$ сходиться якщо і тільки якщо$\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty$ сходиться для кожного$k$, і в цьому випадку\[\lim_{j\to\infty} x^j = \Bigl( \lim_{j\to\infty} x_1^j, \lim_{j\to\infty} x_2^j, \ldots, \lim_{j\to\infty} x_n^j \Bigr) .\]

Для результату${\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1$ настає негайний. Так давайте$n > 1$.

$\{ x^j \}_{j=1}^\infty$Дозволяти збіжну послідовність в${\mathbb{R}}^n$, де ми пишемо$x^j = \bigl(x_1^j,x_2^j,\ldots,x_n^j\bigr) \in {\mathbb{R}}^n$. Нехай$x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n$ буде межа. З огляду на$\epsilon > 0$, існує$M$ таке, що для всіх у$j \geq M$ нас є\[d(x,x^j) < \epsilon.\] Fix деякі$k=1,2,\ldots,n$. Бо$j \geq M$ ми маємо\[\bigl\lvert x_k - x_k^j \bigr\rvert = \sqrt{{\bigl(x_k - x_k^j\bigr)}^2} \leq \sqrt{\sum_{\ell=1}^n {\bigl(x_\ell-x_\ell^j\bigr)}^2} = d(x,x^j) < \epsilon .\] Отже послідовність$\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty$ сходиться до$x_k$.

Для іншого напрямку припустимо, що$\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty$ сходиться$x_k$ для кожного$k=1,2,\ldots,n$. Значить$\epsilon > 0$, дано, підібрати такий$M$, що якщо$j \geq M$ то$\bigl\lvert x_k-x_k^j \bigr\rvert < \nicefrac{\epsilon}{\sqrt{n}}$ для всіх$k=1,2,\ldots,n$. Потім\[d(x,x^j) = \sqrt{\sum_{k=1}^n {\bigl(x_k-x_k^j\bigr)}^2} < \sqrt{\sum_{k=1}^n {\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right)}^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n \frac

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/08:_Метричні_простори/8.03:_Послідовності_та_збіжність), /content/body/div[2]/p[5]/span[9]/span, line 1, column 1

{n}} = \epsilon .\] послідовність$\{ x^j \}$ сходиться до$x \in {\mathbb{R}}^n$ і ми закінчили.

Конвергенція і топологія

Топологія, тобто набір відкритих наборів простору кодує, які послідовності сходяться.

[prop:msconvtopo]$(X,d)$ Дозволяти бути метричним$\{x_n\}$ пробілом і послідовністю в$X$. Потім$\{ x_n \}$ сходиться до того,$x \in X$ якщо і тільки якщо для кожного відкритого$U$ сусідства$x$, існує$M \in {\mathbb{N}}$ таке, що для всіх у$n \geq M$ нас є$x_n \in U$.

Спочатку припустимо, що$\{ x_n \}$ сходиться. Нехай$U$ буде відкрите сусідство$x$, тоді існує$\epsilon > 0$ таке, що$B(x,\epsilon) \subset U$. У міру сходження послідовності знайдіть$M \in {\mathbb{N}}$ таку, яка для всіх у$n \geq M$ нас є$d(x,x_n) < \epsilon$ або іншими словами$x_n \in B(x,\epsilon) \subset U$.

Доведемо інший напрямок. $\epsilon > 0$Дано нехай$U := B(x,\epsilon)$ буде сусідство$x$. Тоді є$M \in {\mathbb{N}}$ таке, що для$n \geq M$ нас є$x_n \in U = B(x,\epsilon)$ або іншими словами,$d(x,x_n) < \epsilon$.

Множина закривається, коли вона містить межі своїх збіжних послідовностей.

[prop:msclosedlim]$(X,d)$ Дозволяти бути метричним простором,$E \subset X$ замкнутою$\{ x_n \}$ множиною і послідовністю в$E$ якій збігається з деякими$x \in X$. Потім$x \in E$.

Доведемо контрапозитив. Припустимо,$\{ x_n \}$ це послідовність$X$, яка сходиться до$x \in E^c$. Як$E^c$ відкрито, говорить є$M$ таке, що для всіх$n \geq M$,$x_n \in E^c$. Так$\{ x_n \}$ що не послідовність в$E$.

Коли ми беремо закриття набору$A$, ми дійсно кидаємо в саме ті точки, які є межами послідовностей в$A$.

[prop:msclosureapprseq]$(X,d)$ Дозволяти бути метричним пробілом і$A \subset X$. Якщо$x \in \overline{A}$, то існує$\{ x_n \}$ послідовність елементів в$A$ такому, що$\lim\, x_n = x$.

Нехай$x \in \overline{A}$. Ми знаємо, що за даними$\nicefrac{1}{n}$, існує точка$x_n \in B(x,\nicefrac{1}{n}) \cap A$. Як$d(x,x_n) < \nicefrac{1}{n}$, ми маємо це$\lim\, x_n = x$.

Вправи

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір і нехай$A \subset X$. $E$Дозволяти бути безліч всіх$x \in X$ таких, що існує послідовність$\{ x_n \}$ в$A$ що сходиться до$x$. Покажіть, що$E = \overline{A}$.

a) Показати, що$d(x,y) := \min \{ 1, \left\lvert {x-y} \right\rvert \}$ визначає метрику на${\mathbb{R}}$. b) Показати, що послідовність збігається у тому випадку,$({\mathbb{R}},d)$ якщо і тільки якщо вона збігається у стандартній метриці. c) Знайти обмежену послідовність$({\mathbb{R}},d)$, в якій немає збіжної підпослідовності.

Довести

Припустимо, що$\{x_n\}_{n=1}^\infty$ сходиться до$x$. Припустимо, що$f \colon {\mathbb{N}} \to {\mathbb{N}}$ це функція один-на-один і на. Покажіть, що$\{ x_{f(n)} \}_{n=1}^\infty$ сходиться до$x$.

If$(X,d)$ - метричний простір, де$d$ дискретна метрика. Припустимо, що$\{ x_n \}$ є збіжною послідовністю в$X$. Покажіть, що існує$K \in {\mathbb{N}}$ таке, що для всіх у$n \geq K$ нас є$x_n = x_K$.

Набір$S \subset X$, як кажуть, щільний,$X$ якщо для кожного$x \in X$, існує послідовність$\{ x_n \}$,$S$ яка сходиться до$x$. Доведіть, що${\mathbb{R}}^n$ містить обчислювальну щільну підмножину.

$\{ U_n \}_{n=1}^\infty$Припустимо, що$U_{n+1} \subset U_n$ спадна (для всіх$n$) послідовність відкритих множин в метричному просторі$(X,d)$ така, що$\bigcap_{n=1}^\infty U_n = \{ p \}$ для деяких$p \in X$. Припустимо, що$\{ x_n \}$ це послідовність точок в$X$ такому, що$x_n \in U_n$. Чи$\{ x_n \}$ обов'язково сходиться до$p$? Доведіть або побудуйте контрприклад.

$E \subset X$Дозволяти бути закриті і нехай$\{ x_n \}$ послідовність в$X$ сходженні до$p \in X$. Припустимо$x_n \in E$ для нескінченно багатьох$n \in {\mathbb{N}}$. Показати$p \in E$.

Візьміть${\mathbb{R}}^* = \{ -\infty \} \cup {\mathbb{R}}\cup \{ \infty \}$ за собою розширені реали. Визначте$x, y \in {\mathbb{R}}$,$d(x,y) := \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{1+\left\lvert {x-y} \right\rvert}$ якщо, визначте$d(\infty,x) := d(-\infty,x) = 1$ для всіх$x \in {\mathbb{R}}$, і нехай$d(\infty,-\infty) := 2$. а) Показати, що$({\mathbb{R}}^*,d)$ це метричний простор. б) Припустимо, що$\{ x_n \}$ це послідовність дійсних чисел, така, що$x_n \geq n$ для всіх$n$. Покажіть, що$\lim x_n = \infty$ в$({\mathbb{R}}^*,d)$.

Припустимо, що$\{ V_n \}_{n=1}^\infty$ це колекція відкритих наборів в$(X,d)$ такому, що$V_{n+1} \supset V_n$. $\{ x_n \}$Дозволяти послідовність така, що$x_n \in V_{n+1} \setminus V_n$ і припустимо, що$\{ x_n \}$ сходиться до$p \in X$. Покажіть, що$p \in \partial V$ де$V = \bigcup_{n=1}^\infty V_n$.

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribLebl