8.5: Безперервні функції
- Page ID
- 62630
Безперервність
\((Y,d_Y)\)Дозволяти\((X,d_X)\) і бути метричні пробіли і\(c \in X\). Потім\(f \colon X \to Y\) безперервно в\(c\) якщо для кожного\(\epsilon > 0\) є\(\delta > 0\) таке, що коли\(x \in X\) і\(d_X(x,c) < \delta\), то\(d_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\).
Коли\(f \colon X \to Y\) є безперервним взагалі\(c \in X\), то ми просто говоримо, що\(f\) це безперервна функція.
Визначення узгоджується з визначенням from\(f\) when є дійсною функцією на дійсній лінії, коли ми беремо стандартну метрику далі\({\mathbb{R}}\).
[prop:contiscont] Нехай\((X,d_X)\) і\((Y,d_Y)\) бути метричними пробілами і\(c \in X\). Потім\(f \colon X \to Y\) є безперервним,\(c\) якщо і тільки якщо для кожної послідовності\(\{ x_n \}\) в\(X\) сходженні до\(c\), послідовність\(\{ f(x_n) \}\) сходиться до\(f(c)\).
Припустимо,\(f\) що безперервно в\(c\). \(\{ x_n \}\)Дозволяти послідовність в\(X\) сходженні до\(c\). З огляду на\(\epsilon > 0\), є\(\delta > 0\) таке, що\(d(x,c) < \delta\) має на увазі\(d\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\). Так що візьми\(M\) таке, що для всіх\(n \geq M\), у нас є\(d(x_n,c) < \delta\), тоді\(d\bigl(f(x_n),f(c)\bigr) < \epsilon\). Звідси\(\{ f(x_n) \}\) сходиться до\(f(c)\).
З іншого боку, припустимо, що не\(f\) є безперервним при\(c\). Тоді існує такий\(\epsilon > 0\), що для кожного\(\nicefrac{1}{n}\) існує\(x_n \in X\),\(d(x_n,c) < \nicefrac{1}{n}\) такий, що\(d\bigl(f(x_n),f(c)\bigr) \geq \epsilon\). Тому\(\{ f(x_n) \}\) не сходиться до\(f(c)\).
Компактність і безперервність
Безперервні карти не відображають закриті набори на закриті набори. Наприклад,\(f \colon (0,1) \to {\mathbb{R}}\) визначений\(f(x) := x\) бере набір\((0,1)\), який закритий в\((0,1)\), до набору\((0,1)\), який не закритий в\({\mathbb{R}}\). З іншого боку, безперервні карти зберігають компактні набори.
\((Y,d_Y)\)Дозволяти\((X,d_X)\) і бути метричні простори, і\(f \colon X \to Y\) є безперервною функцією. Якщо\(K \subset X\) це компактний набір, то\(f(K)\) це компактний набір.
\(\{ f(x_n) \}_{n=1}^\infty\)Дозволяти бути послідовність в\(f(K)\), то\(\{ x_n \}_{n=1}^\infty\) є послідовність в\(K\). Множина\(K\) компактна і тому має підпослідовність\(\{ x_{n_i} \}_{i=1}^\infty\), яка сходиться до деякої\(x \in K\). За безперервністю,\[\lim_{i\to\infty} f(x_{n_i}) = f(x) \in f(K) .\] Тому кожна послідовність в\(f(K)\) має підпослідовність, що збігається до точки в\(f(K)\), тому\(f(K)\) компактна по.
Як і раніше,\(f \colon X \to {\mathbb{R}}\) досягає абсолютного мінімуму\(c \in X\) при\[f(x) \geq f(c) \qquad \text{ for all $x \in X$.}\] if З іншого боку,\(f\) досягає абсолютного максимуму при\(c \in X\) якщо\[f(x) \leq f(c) \qquad \text{ for all $x \in X$.}\]
Дозволяти\((X,d)\) і бути компактним метричним простором, і\(f \colon X \to {\mathbb{R}}\) є безперервною функцією. Тоді\(f(X)\) компактний і фактично\(f\) досягає абсолютного мінімуму і абсолютного максимуму на\(X\).
Оскільки\(X\)\(f\) компактний і безперервний, у нас\(f(X) \subset {\mathbb{R}}\) є компактний. Звідси\(f(X)\) є замкнутим і обмеженим. Зокрема,\(\sup f(X) \in f(X)\) і\(\inf f(X) \in f(X)\). Це тому, що як sup, так і inf можуть бути досягнуті послідовностями в\(f(X)\) і\(f(X)\) закриті. Тому є деякі\(x \in X\) такі, що\(f(x) = \sup f(X)\) і деякі\(y \in X\) такі, що\(f(y) = \inf f(X)\).
Безперервність і топологія
Давайте подивимося, як визначити безперервність якраз з точки зору топології, тобто відкритих множин. Ми вже бачили, що топологія визначає, які послідовності сходяться, і тому не дивно, що топологія також визначає безперервність функцій.
[lemma:mstopcontloc] Дозволяти\((X,d_X)\) і\((Y,d_Y)\) бути метричними пробілами. Функція\(f \colon X \to Y\) є неперервною,\(c \in X\) якщо і тільки якщо для кожного відкритого\(U\) сусідства\(f(c)\) in\(Y\)\(f^{-1}(U)\) множина містить відкрите сусідство\(c\) in\(X\).
Припустимо,\(f\) що безперервно в\(c\). Нехай\(U\) буде відкрите сусідство\(f(c)\) в\(Y\), то\(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr) \subset U\) для деяких\(\epsilon > 0\). Як\(f\) безперервно, то існує\(\delta > 0\) таке, що всякий раз, коли\(x\) є таким\(d_X(x,c) < \delta\), що, то\(d_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\). Іншими словами,\[B_X(c,\delta) \subset f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr) .\] і\(B_X(c,\delta)\) є відкритим сусідством\(c\).
Для іншого напрямку, нехай\(\epsilon > 0\) буде дано. Якщо\(f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr)\) містить відкрите сусідство, він містить м'яч, тобто є деякі\(\delta > 0\) такі,\[B_X(c,\delta) \subset f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr) .\] що Це означає, що саме якщо\(d_X(x,c) < \delta\) тоді\(d_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\) і так\(f\) безперервно на\(c\).
[thm:mstopocont]\((Y,d_Y)\) Дозволяти\((X,d_X)\) і бути метричними пробілами. Функція\(f \colon X \to Y\) є безперервною, якщо і тільки якщо для кожного\(f^{-1}(U)\) відкритого\(U \subset Y\), відкрита в\(X\).
Доказ випливає з і залишається як вправа.
Вправи
Розглянемо\({\mathbb{N}}\subset {\mathbb{R}}\) зі стандартною метрикою. \((X,d)\)Дозволяти бути метричний простір і\(f \colon X \to {\mathbb{N}}\) безперервна функція. а) Доведіть, що якщо\(X\) підключений, то\(f\) є постійним (діапазон одиничне значення). б) знайти приклад, де\(X\) відключений і не\(f\) є постійним.\(f\)
\(f \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}}\)Дозволяти визначатися\(f(0,0) := 0\), і\(f(x,y) := \frac{xy}{x^2+y^2}\) якщо\((x,y) \not= (0,0)\). а) Показати, що для будь-якого фіксованого функція\(x\), яка приймає\(y\) до,\(f(x,y)\) є безперервною. Аналогічно для будь-якого фіксованого\(y\), функція, яка приймає\(x\) до,\(f(x,y)\) є безперервною. б) Показати, що не\(f\) є безперервною.
Припустимо, що\(f \colon X \to Y\) є безперервним для метричних просторів\((X,d_X)\) і\((Y,d_Y)\). Дозвольте\(A \subset X\). а) Показати, що\(f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}\). б) Показати, що підмножина може бути правильною.
Доведіть. Підказка: Використовуйте.
[exercise:msconnconn] Припустимо, що\(f \colon X \to Y\) це безперервно для метричних просторів\((X,d_X)\) і\((Y,d_Y)\). Показати, що якщо\(X\) підключений, то\(f(X)\) підключений.
Доведіть наступну версію теореми про проміжні значення. \((X,d)\)Дозволяти бути з'єднаний метричний простір і\(f \colon X \to {\mathbb{R}}\) безперервна функція. Припустимо, що існують\(x_0,x_1 \in X\) і\(y \in {\mathbb{R}}\) такі, що\(f(x_0) < y < f(x_1)\). Тоді доведіть, що існує\(z \in X\) таке, що\(f(z) = y\). Підказка: див.
Безперервна функція\(f \colon X \to Y\) для метричних просторів\((X,d_X)\) і\((Y,d_Y)\) вважається правильною\(K \subset Y\), якщо для кожного компактного набору набір\(f^{-1}(K)\) компактний. Припустимо, що безперервний\(f \colon (0,1) \to (0,1)\) є правильним і\(\{ x_n \}\) є послідовністю в\((0,1)\) що сходиться до\(0\). Показати, що не\(\{ f(x_n) \}\) має підпослідовності, яка сходиться в\((0,1)\).
\((X,d_X)\)\((Y,d_Y)\)Дозволяти і бути метричним простором і\(f \colon X \to Y\) бути один до одного і на безперервну функцію. Припустимо,\(X\) що компактний. Доведіть, що\(f^{-1} \colon Y \to X\) зворотне є безперервним.
Візьміть метричний простір неперервних функцій\(C([0,1])\). \(k \colon [0,1] \times [0,1] \to {\mathbb{R}}\)Дозволяти бути безперервної функції. \(f \in C([0,1])\)Задано визначення\[\varphi_f(x) := \int_0^1 k(x,y) f(y) ~dy .\] a) Показати, що\(T(f) := \varphi_f\) визначає функцію\(T \colon C([0,1]) \to C([0,1])\). b) Показати, що\(T\) є безперервним.