8.1: Метричні простори

Як згадувалося у вступі, основна ідея в аналізі полягає в тому, щоб взяти межі. У нас навчилися приймати межі послідовностей дійсних чисел. І в ми навчилися приймати межі функцій, як реальне число наблизилося до деякого іншого дійсного числа.

Ми хочемо взяти обмеження в більш складних контекстах. Наприклад, ми можемо захотіти мати послідовності точок у тривимірному просторі. Або, можливо, ми хочемо визначити безперервні функції декількох змінних. Ми можемо навіть захотіти визначити функції на просторах, які трохи складніше описати, наприклад, поверхня землі. Ми все ще хочемо поговорити про обмеження там.

Нарешті, ми побачили межу послідовності функцій в. Ми хочемо уніфікувати всі ці поняття, щоб нам не довелося знову і знову докорювати теореми в кожному контексті. Поняття метричного простору є елементарним, але потужним інструментом аналізу. І хоча недостатньо описати кожен тип ліміту, який ми можемо знайти в сучасному аналізі, він дійсно отримує нас дуже далеко.

Визначення: Метричний простір

$X$Дозволяти бути набір і нехай$d \colon X \times X \to {\mathbb{R}}$ функція така, що

1. [метрика:pos]$d(x,y) \geq 0$ для всіх$x, y$ в$X$,
2. [метрика:нуль]$d(x,y) = 0$ якщо і тільки тоді$x = y$,
3. [Метрика:ком]$d(x,y) = d(y,x)$,
4. [metric:triang]$d(x,z) = d(x,y)+ d(y,z)$ (нерівність трикутника).

Тоді пара$(X,d)$ називається метричним простором. Функція$d$ називається метричною або іноді функцією відстані. Іноді ми просто говоримо, що$X$ це метричний простір, якщо метрика зрозуміла з контексту.

Геометрична ідея полягає в$d$ тому, що це відстань між двома точками. Елементи [metric:pos] — [metric:com] мають очевидну геометричну інтерпретацію: відстань завжди невід'ємна, єдина точка, яка$x$ знаходиться на відстані 0,$x$ сама по собі, і, нарешті, відстань від$x$ до$y$ така ж, як відстань від $y$до$x$. Нерівність трикутника [metric:triang] має інтерпретацію, наведену в

Для цілей креслення зручно малювати фігури та схеми в площині і мати метрику стандартної відстані. Однак це лише один конкретний метричний простір. Просто тому, що певний факт здається зрозумілим з малюнка, не означає, що це правда. Ви можете отримати в сторону інтуїції від евклідової геометрії, тоді як концепція метричного простору є набагато більш загальною.

Наведемо кілька прикладів метричних просторів.

Набір дійсних чисел${\mathbb{R}}$ є метричним простором з метрикою $$d(x,y) := \left\lvert {x-y} \right\rvert .$$ Items [metric:pos] — [metric:com] визначення легко перевірити. Нерівність трикутника [metric:triang] випливає відразу зі стандартної нерівності трикутника для дійсних чисел: $$d(x,z) = \left\lvert {x-z} \right\rvert = \left\lvert {x-y+y-z} \right\rvert \leq \left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert = d(x,y)+ d(y,z) .$$ Ця метрика є стандартною метрикою на${\mathbb{R}}$. Якщо говорити про${\mathbb{R}}$ як про метричний простір без згадки конкретної метрики, ми маємо на увазі саме цю метрику.

Ми також можемо поставити іншу метрику на набір дійсних чисел. Наприклад, візьмемо набір дійсних чисел${\mathbb{R}}$ разом з метрикою $$d(x,y) := \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+1} .$$ Items [metric:pos] — [metric:com] знову легко перевірити. Нерівність трикутника [metric:triang] трохи складніше. Зауважте, що$d(x,y) = \varphi(\left\lvert {x-y} \right\rvert)$ де$\varphi(t) = \frac{t}{t+1}$ і зверніть увагу, що$\varphi$ є зростаючою функцією (додатною похідною) отже $$\begin{split} d(x,z) & = \varphi(\left\lvert {x-z} \right\rvert) = \varphi(\left\lvert {x-y+y-z} \right\rvert) \leq \varphi(\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert) \\ & = \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} = \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} + \frac{\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} \\ & \leq \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+1} + \frac{\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} = d(x,y)+ d(y,z) . \end{split}$$ Тут ми маємо приклад нестандартної метрики на${\mathbb{R}}$. За допомогою цієї метрики ми можемо побачити, наприклад, це$d(x,y) < 1$ для всіх$x,y \in {\mathbb{R}}$. Тобто будь-які дві точки знаходяться менше 1 одиниці один від одного.

Важливим метричним простором є$n$ -мірний евклідовий простір${\mathbb{R}}^n = {\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}}\times \cdots \times {\mathbb{R}}$. Використовуємо такі позначення для очок:$x =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n$. Ми також просто пишемо$0 \in {\mathbb{R}}^n$, щоб означати вектор$(0,0,\ldots,0)$. Перш ніж зробити${\mathbb{R}}^n$ метричний простір, доведемо важливу нерівність, так звану нерівність Коші-Шварца.

Візьміть$x =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n$ і$y =(y_1,y_2,\ldots,y_n) \in {\mathbb{R}}^n$. Тоді $${\biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr)}^2 \leq \biggl(\sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl(\sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) .$$

Будь-який квадрат дійсного числа є невід'ємним. Отже, будь-яка сума квадратів невід'ємна: $$\begin{split} 0 & \leq \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (x_j y_k - x_k y_j)^2 \\ & = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \bigl( x_j^2 y_k^2 + x_k^2 y_j^2 - 2 x_j x_k y_j y_k \bigr) \\ & = \biggl( \sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n y_k^2 \biggr) + \biggl( \sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n x_k^2 \biggr) - 2 \biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n x_k y_k \biggr) \end{split}$$ Ми позначимо і ділимо на 2, щоб отримати те $$0 \leq \biggl( \sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) - {\biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr)}^2 ,$$ , що саме те, що ми хотіли.

Побудуємо стандартну метрику для${\mathbb{R}}^n$. Визначте $$d(x,y) := \sqrt{ {(x_1-y_1)}^2 + {(x_2-y_2)}^2 + \cdots + {(x_n-y_n)}^2 } = \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 } .$$ $n=1$ For, реальну лінію, ця метрика узгоджується з тим, що ми зробили вище. Знову ж таки, єдина складна частина визначення для перевірки - нерівність трикутника. Менш безладно працювати з квадратом метрики. Далі зверніть увагу на використання нерівності Коші-Шварца. $$\begin{split} d(x,z)^2 & = \sum_{j=1}^n {(x_j-z_j)}^2 \\ & = \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j+y_j-z_j)}^2 \\ & = \sum_{j=1}^n \Bigl( {(x_j-y_j)}^2+{(y_j-z_j)}^2 + 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \Bigr) \\ & = \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 + \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 + \sum_{j=1}^n 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \\ & \leq \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 + \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 + 2 \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 } \\ & = {\left( \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 } + \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 } \right)}^2 = {\bigl( d(x,y) + d(y,z) \bigr)}^2 . \end{split}$$ Взявши квадратний корінь обох сторін, отримаємо правильну нерівність.

Прикладом, який слід пам'ятати, є так звана дискретна метрика. $X$Дозволяти будь-який набір і визначити $$d(x,y) := \begin{cases} 1 & \text{if $x \not= y$}, \\ 0 & \text{if $x = y$}. \end{cases}$$ Тобто всі точки однаково віддалені один від одного. Коли$X$ є кінцевим набором, ми можемо намалювати діаграму, див. Наприклад. Речі стають тонкими$X$, коли є нескінченний набір, такий як дійсні числа.

Хоча цей конкретний приклад рідко зустрічається на практиці, він дає корисний «тест на запах». Якщо ви робите заяву про метричні простори, спробуйте його з дискретною метрикою. Щоб показати, що$(X,d)$ це дійсно метричний простір залишається як вправа.

[Example:MSC01]$C([a,b])$ Дозволяти бути множиною неперервних дійсних функцій на інтервалі$[a,b]$. Визначте метрику далі$C([a,b])$, як $$d(f,g) := \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert .$$ Давайте перевіримо властивості. По-перше,$d(f,g)$ є кінцевим, як і$\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert$ неперервна функція на замкнутому обмеженому інтервалі$[a,b]$, і так обмежена. Зрозуміло$d(f,g) \geq 0$, що це супремум невід'ємних чисел. Якщо$f = g$ то$\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert = 0$ для всіх$x$ і значить$d(f,g) = 0$. І навпаки якщо$d(f,g) = 0$, то для будь-якого у$x$ нас є$\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert \leq d(f,g) = 0$ і значить$f(x) = g(x)$ для всіх$x$ і$f=g$. $d(f,g) = d(g,f)$Це однаково тривіально. Для показу нерівності трикутника ми використовуємо стандартну нерівність трикутника. $$\begin{split} d(f,h) & = \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert = \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-h(x)+h(x)-g(x)} \right\rvert \\ & \leq \sup_{x \in [a,b]} ( \left\lvert {f(x)-h(x)} \right\rvert+\left\lvert {h(x)-g(x)} \right\rvert ) \\ & \leq \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-h(x)} \right\rvert+ \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {h(x)-g(x)} \right\rvert = d(f,h) + d(h,g) . \end{split}$$ Коли розглядати$C([a,b])$ як метричний простір без згадки метрики, ми маємо на увазі саме цю метрику.

Цей приклад може здатися езотеричним спочатку, але виявляється, що робота з такими просторами, як насправді$C([a,b])$ є м'ясом значної частини сучасного аналізу. Обробка множин функцій як метричних просторів дозволяє нам абстрагуватися від великої кількості грубих деталей і довести потужні результати, такі як теорема Пікара з меншою роботою.

Часто корисно розглядати підмножину більшого метричного простору як метричний простір. Отримуємо наступну пропозицію, яке має банальний доказ.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір і$Y \subset X$, тоді обмеження$d|_{Y \times Y}$ є метрикою на$Y$.

Якщо$(X,d)$ є метричним простором$Y \subset X$, і$d' := d|_{Y \times Y}$,$(Y,d')$ то, як кажуть, підпростір$(X,d)$.

Зазвичай просто писати$d$ для метрики на$Y$, оскільки це обмеження метрики на$X$. Іноді ми скажемо, що$d'$ це підпростір метрика і що$Y$ має топологію підпростору.

Підмножина дійсних чисел обмежується всякий раз, коли всі його елементи знаходяться на максимальній фіксованій відстані від 0. Ми також можемо визначити обмежені множини в метричному просторі. При роботі з довільним метричним простором може не бути якоїсь природної фіксованої точки 0. Для цілей обмеженості це не має значення.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір. Підмножина$S \subset X$, як кажуть, обмежений, якщо існує$p \in X$ і$B \in {\mathbb{R}}$ такий, що $$d(p,x) \leq B \quad \text{for all $x \in S$}.$$ Ми говоримо, що$(X,d)$ обмежена, якщо$X$ сама є обмеженою підмножиною.

Наприклад, набір дійсних чисел зі стандартною метрикою не є обмеженим метричним простором. Неважко помітити, що підмножина дійсних чисел обмежена в сенсі якщо і тільки тоді, коли вона обмежена як підмножина метричного простору дійсних чисел стандартною метрикою.

З іншого боку, якщо взяти дійсні числа з дискретною метрикою, то отримаємо обмежений метричний простір. По суті, будь-яка множина з дискретною метрикою обмежена.

Вправи

Показати, що для будь-якої$X$ множини дискретна метрика ($d(x,y) = 1$якщо$x\not=y$ і$d(x,x) = 0$) дає метричний простір$(X,d)$.

Нехай$X := \{ 0 \}$ буде набір. Чи можете ви зробити це в метричному просторі?

Нехай$X := \{ a, b \}$ буде набір. Чи можете ви зробити це в два різних метричних простори? (визначити дві різні показники на ньому)

Нехай набір$X := \{ A, B, C \}$ представляє 3 будівлі на території кампусу. Припустимо, ми хочемо, щоб наша відстань була часом, необхідним для прогулянки від однієї будівлі до іншої. Це займає 5 хвилин в будь-якому випадку між будівлями$A$ і$B$. Однак будівля$C$ знаходиться на пагорбі, і це займає 10 хвилин від$A$ і 15 хвилин від,$B$ щоб дістатися$C$. З іншого боку, потрібно 5 хвилин, щоб перейти від$C$ до$A$ і 7 хвилин, щоб перейти від$C$ до$B$, як ми йдемо вниз. Чи визначають ці відстані метрику? Якщо так, доведіть це, якщо не скажіть, чому б і ні.

Припустимо, що$(X,d)$ це метричний простір і$\varphi \colon [0,\infty] \to {\mathbb{R}}$ є зростаючою функцією такої, що$\varphi(t) \geq 0$ для всіх$t$ і$\varphi(t) = 0$ якщо і тільки якщо$t=0$. Також припустимо, що$\varphi$ це субдобавка, тобто$\varphi(s+t) \leq \varphi(s)+\varphi(t)$. Показуємо$d'(x,y) := \varphi\bigl(d(x,y)\bigr)$, що з, отримаємо новий метричний простір$(X,d')$.

$(Y,d_Y)$Дозволяти$(X,d_X)$ і бути метричні пробіли.
а) Показати, що$(X \times Y,d)$ with$d\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := d_X(x_1,x_2) + d_Y(y_1,y_2)$ - це метричний простір.
б) Показати, що$(X \times Y,d)$ with$d\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := \max \{ d_X(x_1,x_2) , d_Y(y_1,y_2) \}$ - це метричний простір.

$X$Дозволяти бути набір безперервних функцій на$[0,1]$. Нехай$\varphi \colon [0,1] \to (0,\infty)$ буде безперервним. Визначити « $$d(f,g) := \int_0^1 \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert\varphi(x)~dx .$$ Показати», що$(X,d)$ є метричним простором.

$(X,d)$Дозволяти бути метричний простір. Для непорожніх обмежених підмножин$A$ і$B$ нехай $$d(x,B) := \inf \{ d(x,b) : b \in B \} \qquad \text{and} \qquad d(A,B) := \sup \{ d(a,B) : a \in A \} .$$ Тепер визначте метрику Хаусдорфа як $$d_H(A,B) := \max \{ d(A,B) , d(B,A) \} .$$ Примітка:$d_H$ може бути визначена для довільних непорожніх підмножин, якщо ми дозволимо розширені реали.
а)$Y \subset {\mathcal{P}}(X)$ Дозволяти бути множиною обмежених непорожніх підмножин. Показати, що$(Y,d_H)$ це метричний пробіл. b) Показати на прикладі, що$d$ сам по собі не є метрикою. Тобто, не$d$ завжди симетрична.

Автори та атрибуція

• Template:ContribLebl