Processing math: 82%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.9: Використовуйте комплексну систему числення

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

  • Оцінити квадратний корінь від'ємного числа
  • Додавання та віднімання комплексних чисел
  • Множення комплексних чисел
  • Розділити комплексні числа
  • Спростіть повноваженняi

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

  1. З огляду на цифри4,7,0.¯5,73,3,81, перерахуйте
    1. раціональні числа
    2. ірраціональні числа
    3. реальні числа
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.42.
  2. Помножити:(x3)(2x+5).
    Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.28.
  3. Раціоналізувати знаменник:553
    Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.32.

Оцінити квадратний корінь від'ємного числа

Всякий раз, коли у нас є квадратний корінь негативного числа, ми говоримо, що немає реального числа, яке дорівнює, що квадратний корінь. Наприклад, для спрощення1 шукаємо реальне числоx так, щобx2=1. Оскільки всі дійсні числа в квадраті є додатними числами, не існує реального числа, яке дорівнює1 при квадраті.

Математики часто розширювали свої системи числення за потребою. Вони додали0 до підрахунку чисел, щоб отримати цілі числа. Коли їм потрібні від'ємні залишки, вони додали від'ємні числа, щоб отримати цілі числа. Коли їм потрібно було уявлення про частини цілого, вони додавали дроби і отримали раціональні числа. Додавання ірраціональних чисел дозволено чисел типу5. Все це разом дало нам реальні цифри, і поки що у вашому вивченні математики цього було достатньо.

Але тепер ми розширимо дійсні числа, щоб включити квадратні корені від'ємних чисел. Почнемо з визначення уявної одиниціi як числа, квадрат якого є1.

Визначення8.9.1

Уявна одиницяi - це число, квадрат якого дорівнює1.

i2=1 or i=1

Ми будемо використовувати уявну одиницю для спрощення квадратних коренів від'ємних чисел.

Визначення8.9.2

Квадратний корінь від'ємного числа

Якщоb є додатним дійсним числом, то

b=bi

Ми будемо використовувати це визначення в наступному прикладі. Будьте обережні, щоб було зрозуміло,i що не під радикалом. Іноді ви побачите це написане,b=ib щоб підкреслитиi не під радикалом. Алеb=bi вважається стандартною формою.

Приклад8.9.1

Написати кожен вираз з точки зоруi і спростити можна:

  1. 25
  2. 7
  3. 12

Рішення:

а.

25

Використовуйте визначення квадратного кореня від'ємних чисел.

25i

Спростити.

5i

б.

7

Використовуйте визначення квадратного кореня від'ємних чисел.

7i

Спростити.

Будьте обережні, щоб було зрозуміло,i що не під радикальним знаком.

c.

12

Використовуйте визначення квадратного кореня від'ємних чисел.

12i

Спростити12.

23i

Вправа8.9.1

Напишіть кожен вираз з точки зоруi і спростіть, якщо це можливо:

  1. 81
  2. 5
  3. 18
Відповідь
  1. 9i
  2. 5i
  3. 32i
Вправа8.9.2

Напишіть кожен вираз з точки зоруi і спростіть, якщо це можливо:

  1. 36
  2. 3
  3. 27
Відповідь
  1. 6i
  2. 3i
  3. 33i

Тепер, коли ми знайомі з уявним числомi, ми можемо розширити дійсні числа, включивши уявні числа. Комплексна система числення включає дійсні числа і уявні числа. Комплексне число має виглядa+bi, деa,b дійсні числа. Миa називаємо реальнуb частину і уявну частину.

Визначення8.9.3

Комплексне число має виглядa+bi, деa іb є дійсними числами.

На зображенні показано вираз a плюс b i. Число a позначено “real partâ€, а число b i позначається “imaginary partâ€.
Малюнок 8.8.1

Комплексне число знаходиться в стандартному вигляді, коли пишеться якa+bi, деa іb є дійсними числами.

Якщоb=0, тоa+bi стаєa+0i=a, і є дійсним числом.

Якщоb0, тоa+bi є уявним числом.

Якщоa=0, тоa+bi стає0+bi=bi, і називається чистим уявним числом.

Ми підсумуємо це тут.

  a+bi  
b=0

a+0i

a

Справжнє число
b0 a+bi уявне число
a=0R

0+bi

bi

Чисте уявне число4
Таблиця 8.8.1

Стандартна форма комплексного числа єa+bi, тому це пояснює, чому краща форма - цеb=bi колиb>0.

Діаграма допомагає нам візуалізувати складну систему числення. Він складається як з дійсних чисел, так і уявних чисел.

Таблиця складається з чотирьох рядків і трьох стовпців. Перший рядок є заголовком, а другий запис стовпця a плюс b i У другому рядку b дорівнює нулю, а плюс 0 i, і “Real numberâ€. Третій рядок містить b не дорівнює 0, a плюс b i, і “уявне число â €. Четвертий рядок містить a = 0, 0 плюс b i, і “Чисте уявне число â €.
Малюнок 8.8.2

Додавання або віднімання складних чисел

Тепер ми готові виконувати операції додавання, віднімання, множення та ділення на комплексних числах — так само, як ми робили з дійсними числами.

Додавання та віднімання складних чисел дуже схоже на додавання або віднімання подібних термінів. Ми додаємо або віднімаємо реальні частини, а потім додаємо або віднімаємо уявні частини. Наш кінцевий результат повинен бути в стандартному вигляді.

Приклад8.9.2

Додати:12+27.

Рішення:

12+27

Використовуйте визначення квадратного кореня від'ємних чисел.

12i+27i

Спростити квадратні коріння.

23i+33i

Додати.

53i

Вправа8.9.3

Додати:8+32.

Відповідь

62i

Вправа8.9.4

Додати:27+48

Відповідь

73i

Не забудьте додати як реальні частини, так і уявні частини в наступному прикладі.

Приклад8.9.3

Спростити:

  1. (43i)+(5+6i)
  2. (25i)(52i)

Рішення:

а.

(43i)+(5+6i)

Використовуйте асоціативну властивість, щоб скласти реальні частини та уявні частини разом.

(4+5)+(3i+6i)

Спростити.

9+3i

б.

(25i)(52i)

Розподілити.

25i5+2i

Використовуйте асоціативну властивість, щоб скласти реальні частини та уявні частини разом.

255i+2i

Спростити.

33i

Вправа8.9.5

Спростити:

  1. (2+7i)+(42i)
  2. (84i)(2i)
Відповідь
  1. 6+5i
  2. 63i
Вправа8.9.6

Спростити:

  1. (32i)+(54i)
  2. (4+3i)(26i)
Відповідь
  1. 26i
  2. 2+9i

Множення комплексних чисел

Множення комплексних чисел також багато в чому схоже на множення виразів з коефіцієнтами і змінними. Є лише один особливий випадок, який ми повинні розглянути. Ми розглянемо це після практики в наступних двох прикладах.

Приклад8.9.4

Помножити:2i(75i)

Рішення:

2i(75i)

Розподілити.

14i10i2

Спроститиi2.

14i10(1)

Помножити.

14i+10

Пишіть в стандартній формі.

10+14i

Вправа8.9.7

Помножити:4i(53i).

Відповідь

12+20i

Вправа8.9.8

Помножити:3i(2+4i).

Відповідь

126i

У наступному прикладі ми множимо біноміали за допомогою властивості Distributive або FOIL.

Приклад8.9.5

Помножити:(3+2i)(43i).

Рішення:

(3+2i)(43i)

Використовуйте ФОЛЬГУ.

129i+8i6i2

Спрощуйтеi2 і комбінуйте подібні терміни.

12i6(1)

Помножити.

12i+6

Поєднуйте справжні деталі.

18i

Вправа8.9.9

Множинні:(53i)(12i).

Відповідь

117i

Вправа8.9.10

Множинні:(43i)(2+i).

Відповідь

510i

У наступному прикладі ми могли б використовувати FOIL або візерунок «Продукт біноміальних квадратів».

Приклад8.9.6

Помножити:(3+2i)2

Рішення:

  .
Використовуйте візерунок добутку біноміальних квадратів,(a+b)2=a2+2ab+b2. .
Спростити. .
Спроститиi2. .
Спростити. .
Таблиця 8.8.2
Вправа8.9.11

Множення за допомогою візерунка Біноміальні квадрати:(25i)2.

Відповідь

21+20i

Вправа8.9.12

Множення за допомогою візерунка Біноміальні квадрати:(5+4i)2.

Відповідь

940i

Оскільки квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним числом, ми не можемо використовувати властивість продукту для радикалів. Для того, щоб помножити квадратні корені від'ємних чисел, ми повинні спочатку записати їх як комплексні числа,b=bi використовуючи.Це одне місце, де студенти схильні робити помилки, тому будьте обережні, коли ви бачите множення з негативним квадратним коренем.

Приклад8.9.7

Помножити:364.

Рішення:

Щоб помножити квадратні корені від'ємних чисел, спочатку запишемо їх як комплексні числа.

364

Запишіть як комплексні числа за допомогоюb=bi.

36i4i

Спростити.

6i2i

Помножити.

12i2

Спроститиi2 і примножити.

12

Вправа8.9.13

Помножити:494.

Відповідь

14

Вправа8.9.14

Помножити:3681.

Відповідь

54

У наступному прикладі кожен біном має квадратний корінь від'ємного числа. Перед множенням кожен квадратний корінь від'ємного числа повинен бути записаний як комплексне число.

Приклад8.9.8

Помножити:(312)(5+27).

Рішення:

Щоб помножити квадратні корені від'ємних чисел, спочатку запишемо їх як комплексні числа.

(312)(5+27)

Запишіть як комплексні числа за допомогоюb=bi.

(323i)(5+33i)

Використовуйте ФОЛЬГУ.

15+93i103i63i2

Поєднуйте подібні терміни і спрощуйтеi2.

153i6(3)

Множте і комбінуйте як терміни.

333i

Вправа8.9.15

Помножити:(412)(348).

Відповідь

12223i

Вправа8.9.16

Помножити:(2+8)(318).

Відповідь

6+122i

Ми вперше розглянули спряжені пари, коли вивчали многочлени. Ми сказали, що пара бічленів, кожен з яких має один і той же перший член і той самий останній член, але один - сума, а один - різниця називається сполученою парою і має форму(ab),(a+b).

Складна сполучена пара дуже схожа. Для комплексного числа формиa+bi його сполучений єabi. Зверніть увагу, що вони мають однаковий перший член і той самий останній термін, але один - сума, а один - різниця.

Визначення8.9.4

Складна сполучена пара має виглядa+bi,abi.

Ми помножимо складну сполучену пару в наступному прикладі.

Приклад8.9.9

Помножити:(32i)(3+2i).

Рішення:

(32i)(3+2i)

Використовуйте ФОЛЬГУ

9+6i6i4i2

Поєднуйте подібні терміни і спрощуйтеi2.

94(1)

Множте і комбінуйте як терміни.

13

Вправа8.9.17

Помножити:(43i)(4+3i).

Відповідь

25

Вправа8.9.18

Помножити:(2+5i)(25i).

Відповідь

29

З нашого вивчення многочленів ми знаємо, що добуток кон'югатів завжди(ab)(a+b)=a2b2 має вигляд. Результат називається різницею квадратів. Ми можемо помножити складну сполучену пару, використовуючи цей візерунок.

Останній приклад ми використовували FOIL. Тепер ми будемо використовувати візерунок «Продукт кон'югатів».

Величина a мінус b в дужках разів кількість a плюс b в дужках записується над виразом, що показує добуток 3 мінус 2 i в дужках і 3 плюс 2 i в дужках. У наступному рядку над виразом 3 у квадраті записано квадрат мінус b мінус b у квадраті мінус 2 i в квадраті дужок. Спрощуючи отримуємо 9 мінус 4 i в квадраті. Це дорівнює 9 мінус 4 рази негативний 1. Кінцевий результат - 13.
Малюнок 8.8.8

Зверніть увагу, що це той самий результат, який ми знайшли в прикладі 8.8.9.

Коли ми множимо складні кон'югати, добуток останніх членів завжди матиме теi2, що спрощує1.

(abi)(a+bi)a2(bi)2a2b2i2a2b2(1)a2+b2

Це призводить нас до добутку складного візерунка кон'югатів:(abi)(a+bi)=a2+b2

Визначення8.9.5

Добуток складних кон'югатів

Якщоa іb є дійсними числами, то

(abi)(a+bi)=a2+b2

Приклад8.9.10

Множення за допомогою добутку складних кон'югатів візерунка:(82i)(8+2i).

Рішення:

  .
Використовуйте твір складного візерунка кон'югатів,(abi)(a+bi)=a2+b2. .
Спростити квадрати. .
Додати. .
Таблиця 8.8.3
Вправа8.9.19

Множення за допомогою добутку складних кон'югатів візерунка:(310i)(3+10i).

Відповідь

109

Вправа8.9.20

Множення за допомогою добутку складних кон'югатів візерунка:(5+4i)(54i).

Відповідь

41

Розділити комплексні числа

Ділення комплексних чисел багато в чому схоже на раціоналізацію знаменника. Ми хочемо, щоб наш результат був у стандартній формі без уявних чисел у знаменнику.

Приклад8.9.11 how to divide complex numbers

Розділити:4+3i34i.

Рішення:

Крок 1: Запишіть і чисельник, і знаменник в стандартному вигляді. Вони обидва в стандартному вигляді. 4+3i34i
Крок 2: Помножте чисельник і знаменник на складний сполучений знаменника. Складний сполучений з34i є3+4i. (4+3i)(3+4i)(34i)(3+4i)
Крок 3: Спростити і записати результат в стандартному вигляді.

Використовуйте візерунок(abi)(a+bi)=a2+b2 в знаменнику.

Поєднуйте подібні терміни.

Спростити.

Напишіть результат в стандартному вигляді.

12+16i+9i+12i29+1612+25i122525i25i
Таблиця 8.8.4
Вправа8.9.21

Розділити:2+5i52i.

Відповідь

i

Вправа8.9.22

Розділити:1+6i6i.

Відповідь

i

Ми підсумовуємо кроки тут.

Як розділити комплексні числа

  1. Пишіть і чисельник, і знаменник в стандартному вигляді.
  2. Помножте і чисельник, і знаменник на комплексний сполучений знаменника.
  3. Спростити і написати результат в стандартному вигляді.
Приклад8.9.12

Ділимо, написавши відповіді в стандартній формі:35+2i.

Рішення:

35+2i

Помножте чисельник і знаменник на складний сполучений знаменника.

3(52i)(5+2i)(52i)

Помножте на чисельник і використовуйте добуток складних сполучених візерунків у знаменнику.

15+6i52+22

Спростити.

15+6i29

Пишіть в стандартній формі.

1529+629i

Вправа8.9.23

Ділимо, написавши відповідь в стандартній формі:414i.

Відповідь

417+1617i

Вправа8.9.24

Ділимо, написавши відповідь в стандартній формі:21+2i.

Відповідь

25+45i

Будьте обережні, оскільки знайдете сполучений знаменник.

Приклад8.9.13

Розділити:5+3i4i.

Рішення:

5+3i4i

Напишіть знаменник в стандартному вигляді.

5+3i0+4i

Помножте чисельник і знаменник на складний сполучений знаменника.

(5+3i)(04i)(0+4i)(04i)

Спростити.

(5+3i)(4i)(4i)(4i)

Помножити.

20i12i216i2.

Спроститиi2.

20i+1216

Рерайт в стандартному вигляді.

12162016i

Спрощення дробів.

3454i

Вправа8.9.25

Розділити:\frac{3+3 i}{2 i}.

Відповідь

\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i

Вправа\PageIndex{26}

Розділити:\frac{2+4 i}{5 i}.

Відповідь

\frac{4}{5}-\frac{2}{5} i

Спростити повноваженняi

Повноваженняi зробити цікавий шаблон, який допоможе нам спростити вищі силиi. Давайте оцінимо повноваження,i щоб побачити закономірність.

\begin{array}{ccc}{i^{1}} & {i^{2}} & {i^{3}} & {i^{4}} \\ {i} & {-1} & {i^{2}\cdot i} & {i^{2}\cdot i^{2}}\\ {}&{}&{-1\cdot i}&{(-1)(-1)}\\ {}&{}&{-i}&{1}\end{array}

\begin{array}{cccc}{i^{5}} & {i^{6}} & {i^{7}} & {i^{8}} \\ {i^{4} \cdot i} & {i^{4} \cdot i^{2}} & {i^{4} \cdot i^{3}} & {i^{4} \cdot i^{4}} \\ {1 \cdot i} & {1 \cdot i^{2}} & {1 \cdot i^{3}} & {1 \cdot 1} \\ {i} & {i^{2}} & {i^{3}} & {1} \\ {}&{-1} & {-i}\end{array}

Підсумовуємо це зараз.

\begin{array}{ll}{i^{1}=i} & {i^{5}=i} \\ {i^{2}=-1} & {i^{6}=-1} \\ {i^{3}=-i} & {i^{7}=-i} \\ {i^{4}=1} & {i^{8}=1}\end{array}

Якби ми продовжили, візерунок продовжував би повторюватися в блоках по чотири. Ми можемо використовувати цей шаблон, щоб допомогти нам спростити повноваженняi. Так якi^{4}=1, ми переписуємо кожну владуi^{n}, як продукт, використовуючиi^{4} на владу і іншу силуi.

Ми перепишемо його у форміi^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}, де показникq, - часткаn ділиться на4 і показникr, є залишком від цього ділення. Наприклад, для спрощенняi^{57} ділимо57 на4 і отримуємо14 з залишком1. Іншими словами,57=4⋅14+1. Так ми пишемо,i^{57}=\left(1^{4}\right)^{14} \cdot i^{1} а потім спростити звідти.

.
Малюнок 8.8.13
Приклад\PageIndex{14}

Спростити:i^{86}.

Рішення:

i^{86}

Розділіть86 на4 і перепишітьi^{86} вi^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r} форму.

\left(1^{4}\right)^{21} \cdot i^{2}

.
Малюнок 8.8.14

Спростити.

(1)^{21} \cdot(-1)

Спростити.

-1

Вправа\PageIndex{27}

Спростити:i^{74}.

Відповідь

-1

Вправа\PageIndex{28}

Спростити:i^{92}.

Відповідь

1

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики за допомогою складної системи числення.

  • Висловлення квадратних коренів від'ємних чисел за допомогою i
  • Віднімання та множення комплексних чисел
  • Ділення комплексних чисел
  • Переписування повноважень i

Ключові концепції

  • Квадратний корінь від'ємного числа
    • Якщоb є додатним дійсним числом, то\ (\ sqrt {-b} =\ sqrt {b} i\
  a+bi  
b=0

a+0\cdot i

a

Справжнє число
b\neq 0 a+bi уявне число
a=0

0+bi

bi

Чисте уявне число
Таблиця 8.8.1
    • Комплексне число знаходиться в стандартній формі, коли записано як a + bi, де a, b - дійсні числа.
      Діаграма має прямокутник з мітками «Складні числа» і плюс b i Другий прямокутник має мітки «Реальні числа», a плюс b i, b = 0. Третій прямокутник має мітки «Уявні числа», а плюс b i, b не дорівнює 0. Стрілки йдуть від прямокутника дійсних чисел і прямокутника уявних чисел і вказують на прямокутник комплексних чисел.
      Малюнок 8.8.2
  • Добуток складних кон'югатів
    • Якщоa, b дійсні числа, то
      (a−bi)(a+bi)=a^{2}+b^{2}
  • Як розділити комплексні числа
    1. Пишіть і чисельник, і знаменник в стандартному вигляді.
    2. Помножте чисельник і знаменник на складний сполучений знаменника.
    3. Спростити і написати результат в стандартному вигляді.

Глосарій

складна сполучена пара
Складна сполучена пара має виглядa+bi, a-bi.
комплексне число
Комплексне число має виглядa+bi, деa іb є дійсними числами. Миa називаємо реальнуb частину і уявну частину.
комплексна система числення
Комплексна система числення складається як з дійсних чисел, так і з уявних чисел.
уявна одиниця
Уявна одиницяi - це число, квадрат якого дорівнює–1. i^{2}=-1абоi=\sqrt{−1}.
стандартна форма
Комплексне число знаходиться в стандартному вигляді, коли пишеться якa+bi, деa, b дійсні числа.