6.4: Спеціальні продукти Factor

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Фактор ідеальних квадратних триномів
• Факторні відмінності квадратів
• Факторні суми та відмінності кубів

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спростити:$(3x^2)^3$.
2. Помножити:$(m+4)^2$.
3. Помножити:$(x−3)(x+3)$.

Ми бачили, що деякі біноміали та триноми виникають із спеціальних продуктів - квадратних біноміалів та множення кон'югатів. Якщо ви навчитеся розпізнавати такі види поліномів, ви можете використовувати спеціальні шаблони продуктів, щоб набагато швидше їх враховувати.

Фактор Ідеальні квадратні триноми

Деякі триноми є ідеальними квадратами. Вони виникають в результаті множення біноміальних разів на себе. Ми збудували біном у квадраті, використовуючи візерунок Біноміальні квадрати в попередньому розділі.

Триноміал$9x^2+24x+16$ називають досконалим квадратним тріноміалом. Він являє собою квадрат двочлена$3x+4$.

У цій главі ви почнете з ідеального квадратного триноміала і врахуєте його на прості множники. Ви можете задати цей триноміал за допомогою методів, описаних в останньому розділі, оскільки він має форму$ax^2+bx+c$. Але якщо ви визнаєте, що перший і останній терміни - квадрати, а триноміал відповідає ідеальному шаблону квадратних триномів, ви заощадите собі багато роботи. Ось візерунок - зворотна частина візерунка біноміальних квадратів.

ІДЕАЛЬНИЙ КВАДРАТНИЙ ВІЗЕРУНОК TRINOMIALS

Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\nonumber$$

$$a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\nonumber$$

Щоб скористатися цією схемою, ви повинні визнати, що даний триноміал підходить йому. Перевірте спочатку, щоб побачити, чи провідний коефіцієнт є ідеальним квадратом,$a^2$. Далі перевірте, що останній термін - ідеальний квадрат,$b^2$. Потім перевірте середній термін - це продукт,$2ab$? Якщо все перевірить, можна легко написати фактори.

Приклад$\PageIndex{1}$: How to Factor Perfect Square Trinomials

Фактор:$9x^2+12x+4$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{2}$

Фактор:$4x^2+12x+9$.

Відповідь

$(2x+3)^2$

Приклад$\PageIndex{3}$

Фактор:$9y^2+24y+16$.

Відповідь

$(3y+4)^2$

Знак середнього члена визначає, який візерунок ми будемо використовувати. Коли середній термін негативний, ми використовуємо патерн$a^2−2ab+b^2$, який чинники для$(a−b)^2$.

Кроки підсумовуються тут.

ФАКТОР ІДЕАЛЬНИХ КВАДРАТНИХ ТРИНОМІАЛІВ

$\begin{array} {lllll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the trinomial fit the pattern?} &\quad &\hspace{7mm} a^2+2ab+b^2 &\hspace{7mm} a^2−2ab+b^2 \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} &\quad & &\\ &\text{Write them as squares.} &\quad &\hspace{5mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 &\hspace{6mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 \\ &\text{Check the middle term. Is it }2ab? &\quad &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write the square of the binomial.} &\quad &\hspace{13mm} (a+b)^2 &\hspace{13mm} (a−b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Check by multiplying.} & & & \end{array}$

Ми будемо працювати зараз, де середній термін є негативним.

Приклад$\PageIndex{4}$

Фактор:$81y^2−72y+16$.

Відповідь

Перший і останній члени - квадрати. Подивіться, чи відповідає середній термін візерунку ідеального квадратного трінома. Середній термін негативний, тому біноміальний квадрат буде$(a−b)^2$.

	$81 y^{2}-72 y+16$
Перші та останні терміни ідеальні квадрати?
Перевірте середній термін.
Чи відповідає це$(a−b)^2$? Так.
Пишіть як квадрат двочлена.	$(9 y-4)^{2}$
Перевірте, перемноживши: $$(9y−4)^2\nonumber$$ $$(9y)^2−2·9y·4+4^2\nonumber$$ $$81y^2−72y+16\checkmark\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{5}$

Фактор:$64y^2−80y+25$.

Відповідь

$(8y−5)^2$

Приклад$\PageIndex{6}$

Фактор:$16z^2−72z+81$.

Відповідь

$(4z−9)^2$

Наступним прикладом буде ідеальний квадратний тріноміал з двома змінними.

Приклад$\PageIndex{7}$

Фактор:$36x^2+84xy+49y^2$.

Відповідь

	$36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}$
Перевірте кожен термін, щоб перевірити візерунок.
Фактор.	$(6 x+7 y)^{2}$
Перевірка шляхом множення. $$(6x+7y)^2\nonumber$$ $$(6x)^2+2·6x·7y+(7y)^2\nonumber$$ $$36x^2+84xy+49y^2\checkmark\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{8}$

Фактор:$49x^2+84xy+36y^2$.

Відповідь

$(7x+6y)^2$

Приклад$\PageIndex{9}$

Фактор:$64m^2+112mn+49n^2$.

Відповідь

$(8m+7n)^2$

Пам'ятайте, що перший крок у факторингу полягає в тому, щоб шукати найбільший загальний фактор. Ідеальні квадратні триноми можуть мати GCF у всіх трьох термінів, і це повинно бути враховано в першу чергу. І, іноді, як тільки GCF був врахований, ви визнаєте ідеальний квадратний триноміал.

Приклад$\PageIndex{10}$

Фактор:$100x^2y−80xy+16y$.

Відповідь

	$100 x^{2} y-80 x y+16 y$
Чи є GCF? Так$4y$, так що фактор це.	$4 y\left(25 x^{2}-20 x+4\right)$
Це ідеальний квадратний триноміал?
Перевірте викрійку.
Фактор.	$4 y(5 x-2)^{2}$
Пам'ятайте: зберігайте коефіцієнт 4 y в кінцевому продукті.
Перевірка: $$4y(5x−2)^2\nonumber$$ $$4y[(5x)2−2·5x·2+22]\nonumber$$ $$4y(25x2−20x+4)\nonumber$$ 100x2y−80xy+16y\ галочка\]

Приклад$\PageIndex{11}$

Фактор:$8x^2y−24xy+18y$.

Відповідь

$2y(2x−3)^2$

Приклад$\PageIndex{12}$

Фактор:$27p^2q+90pq+75q$.

Відповідь

$3q(3p+5)^2$

Факторні відмінності квадратів

Іншим спеціальним продуктом, який ви бачили в попередньому розділі, був візерунок «Продукт кон'югатів». Ви використовували це, щоб помножити два двочлени, які були сполученими. Ось приклад:

Різниця квадратів коефіцієнтів на добуток кон'югатів.

РІЗНИЦЯ КВАДРАТІВ ВІЗЕРУНКОМ

Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами,

Пам'ятайте, «різниця» відноситься до віднімання. Отже, щоб використовувати цей візерунок, ви повинні переконатися, що у вас є біноміал, в якому віднімаються два квадрати.

Приклад$\PageIndex{13}$: How to Factor a Trinomial Using the Difference of Squares

Фактор:$64y^2−1$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{14}$

Фактор:$121m^2−1$.

Відповідь

$(11m−1)(11m+1)$

Приклад$\PageIndex{15}$

Фактор:$81y^2−1$.

Відповідь

$(9y−1)(9y+1)$

КОЕФІЦІЄНТ ВІДМІННОСТІ КВАДРАТІВ.

$\begin{array} {llll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the binomial fit the pattern?} &\qquad &\hspace{5mm} a^2−b^2 \\ &\text{Is this a difference?} &\qquad &\hspace{2mm} \text{____−____} \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} & & \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write them as squares.} &\qquad &\hspace{3mm} (a)^2−(b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Write the product of conjugates.} &\qquad &(a−b)(a+b) \\ \textbf{Step 4.} &\text{Check by multiplying.} & & \end{array}$

Важливо пам'ятати, що суми квадратів не враховуються на добуток біноміалів. Не існує біноміальних факторів, які множаться разом, щоб отримати суму квадратів. Після видалення будь-якого GCF вираз$a^2+b^2$ є простим!

Наступний приклад показує змінні в обох термінях.

Приклад$\PageIndex{16}$

Фактор:$144x^2−49y^2$.

Відповідь

$\begin{array} {lll} &\quad &144x^2−49y^2 \\ \text{Is this a difference of squares? Yes.} &\quad &(12x)^2−(7y)^2 \\ \text{Factor as the product of conjugates.} &\quad &(12x−7y)(12x+7y) \\ \text{Check by multiplying.} &\quad &(12x−7y)(12x+7y) \\ \text{Check by multiplying.} &\quad & \\ &\quad & \\ &\quad & \\ \hspace{14mm} (12x−7y)(12x+7y) &\quad & \\ \hspace{21mm} 144x^2−49y^2\checkmark &\quad & \end{array}$

Приклад$\PageIndex{17}$

Фактор:$196m^2−25n^2$.

Відповідь

$(14m−5n)(14m+5n)$

Приклад$\PageIndex{18}$

Фактор:$121p^2−9q^2$.

Відповідь

$(11p−3q)(11p+3q)$

Як завжди, спочатку слід шукати загальний фактор, коли у вас є вираз для фактора. Іноді загальний фактор може «замаскувати» різницю квадратів, і ви не розпізнаєте ідеальні квадрати, поки не вважатимете GCF.

Крім того, щоб повністю врахувати біноміальне в наступному прикладі, ми розглянемо різницю квадратів двічі!

Приклад$\PageIndex{19}$

Фактор:$48x^4y^2−243y^2$.

Відповідь

$\begin{array} {ll} &48x^4y^2−243y^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3y^2\text{—factor it out!} &3y^2(16x^4−81) \\ \text{Is the binomial a difference of squares? Yes.} &3y^2\left((4x^2)^2−(9)^2\right) \\ \text{Factor as a product of conjugates.} &3y^2(4x^2−9)(4x^2+9) \\ \text{Notice the first binomial is also a difference of squares!} &3y^2((2x)^2−(3)^2)(4x^2+9) \\ \text{Factor it as the product of conjugates.} &3y^2(2x−3)(2x+3)(4x^2+9) \end{array}$

Останній множник, сума квадратів, не може бути врахований.

$\begin{array} {l} \text{Check by multiplying:} \\ \hspace{10mm} 3y^2(2x−3)(2x+3)(4x^2+9) \\ \\ \\ \hspace{15mm} 3y^2(4x^2−9)(4x^2+9) \\ \hspace{20mm} 3y^2(16x^4−81) \\ \hspace{19mm} 48x^4y^2−243y^2\checkmark\end{array}$

Приклад$\PageIndex{20}$

Фактор:$2x^4y^2−32y^2$.

Відповідь

$2y^2(x−2)(x+2)(x^2+4)$

Приклад$\PageIndex{21}$

Фактор:$7a^4c^2−7b^4c^2$.

Відповідь

$7c^2(a−b)(a+b)(a^2+b^2)$

Наступний приклад має многочлен з 4 членами. Поки що, коли це сталося, ми групували терміни по два і враховували звідти. Тут ми помітимо, що перші три члени утворюють ідеальний квадратний триноміал.

Приклад$\PageIndex{22}$

Фактор:$x^2−6x+9−y^2$.

Відповідь

Зверніть увагу, що перші три члени утворюють ідеальний квадратний триноміал.

	$x^{2}-6 x+9-y^{2}$
Фактор шляхом групування перших трьох термінів.	$\underbrace{x^{2}-6 x+9} - y^{2}$
Використовуйте ідеальний квадратний тріноміальний візерунок.	$(x-3)^{2}-y^{2}$
Це різниця квадратів? Так.
Так—запишіть їх як квадрати.
Фактор як добуток кон'югатів.
	$(x-3-y)(x-3+y)$

Можливо, ви захочете переписати рішення як$(x−y−3)(x+y−3)$.

Приклад$\PageIndex{23}$

Фактор:$x^2−10x+25−y^2$.

Відповідь

$(x−5−y)(x−5+y)$

Приклад$\PageIndex{24}$

Фактор:$x^2+6x+9−4y^2$.

Відповідь

$(x+3−2y)(x+3+2y)$

Факторні суми та відмінності кубів

Існує ще один спеціальний шаблон факторингу, той, який ми не використовували, коли ми множили многочлени. Це шаблон для суми і різниці кубиків. Ми спочатку напишемо ці формули, а потім перевіримо їх множенням.

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2\nonumber$$

$$a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)\nonumber$$

Перевіримо першу викрійку, а другу залишимо вам.

	$\color{red}(a+b) \color{black} \left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$
Розподілити.	$\color{red}a \color{black}\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)+ \color{red}b \color{black}\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$
Помножити.	$a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}$
Поєднуйте подібні терміни.	$a^{3}+b^{3}$

СУМА І РІЗНИЦЯ ШАБЛОНУ КУБІВ

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2\nonumber$$ $$a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)\nonumber$$

Два візерунки виглядають дуже схожими, чи не так? Але зверніть увагу на ознаки в факторах. Знак біноміального фактора збігається зі знаком в початковому біном. А знак середнього члена триноміального фактора протилежний знаку в початковому біноміальному. Якщо ви розпізнаєте закономірність знаків, це може допомогти вам запам'ятати візерунки.

Триноміальний коефіцієнт у сумі та різниці кубиків не може бути врахований.

Буде дуже корисно, якщо ви навчитеся розпізнавати кубики цілих чисел від 1 до 10, так само, як ви навчилися розпізнавати квадрати. Ми перерахували куби цілих чисел від 1 до 10 в табл.

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$n^3$	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Приклад$\PageIndex{25}$: How to Factor the Sum or Difference of Cubes

Фактор:$x^3+64$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{26}$

Фактор:$x^3+27$.

Відповідь

$(x+3)(x^2−3x+9)$

Приклад$\PageIndex{27}$

Фактор:$y^3+8$.

Відповідь

$(y+2)(y^2−2y+4)$

МНОЖНИК НА СУМУ АБО РІЗНИЦЮ КУБІВ.

1. Чи підходить біноміал до суми чи різниці кубиків?
   Це сума чи різниця?
   Перші та останні терміни ідеальні кубики?
2. Запишіть їх у вигляді кубиків.
3. Використовуйте або суму, або різницю кубиків.
4. Спростити всередині дужок.
5. Перевірте, множивши коефіцієнти.

Приклад$\PageIndex{28}$

Фактор:$27u^3−125v^3$.

Відповідь

	$27 u^{3}-125 v^{3}$
Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики.
Запишіть терміни у вигляді кубиків.
Скористайтеся різницею кубиків візерунком.
Спростити.
Перевірка шляхом множення.	Ми залишимо чек вам.

Приклад$\PageIndex{29}$

Фактор:$8x^3−27y^3$.

Відповідь

$(2x−3y)(4x^2+6xy+9y^2)$

Приклад$\PageIndex{30}$

Фактор:$1000m^3−125n^3$.

Відповідь

$(10m−5n)(100m^2+50mn+25n^2)$

У наступному прикладі ми спочатку враховуємо GCF. Тоді ми можемо розпізнати суму кубів.

Приклад$\PageIndex{31}$

Фактор:$6x^3y+48y^4$.

Відповідь

	$6 x^{3} y+48 y^{4}$
Фактор загальний фактор.	$6 y\left(x^{3}+8 y^{3}\right)$
Цей біноміал є сумою Перший і останній члени - ідеальні кубики.
Запишіть терміни у вигляді кубиків.
Використовуйте шаблон суми кубиків.
Спростити.

Перевірка:

Щоб перевірити, вам може бути простіше спочатку помножити суму коефіцієнтів кубів, а потім помножити цей продукт на 6y.6y. Ми залишимо множення для вас.

Приклад$\PageIndex{32}$

Фактор:$500p^3+4q^3$.

Відповідь

$4(5p+q)(25p^2−5pq+q^2)$

Приклад$\PageIndex{33}$

Фактор:$432c^3+686d^3$.

Відповідь

$2(6c+7d)(36c^2−42cd+49d^2)$

Перший член в наступному прикладі - це біноміальний куб.

Приклад$\PageIndex{34}$

Фактор:$(x+5)^3−64x^3$.

Відповідь

	$(x+5)^{3}-64 x^{3}$
Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики.
Запишіть терміни у вигляді кубиків.
Скористайтеся різницею кубиків візерунком.
Спростити.	$(x+5-4 x)\left(x^{2}+10 x+25+4 x^{2}+20 x+16 x^{2}\right)$
	$(-3 x+5)\left(21 x^{2}+30 x+25\right)$
Перевірка шляхом множення.	Ми залишимо чек вам.

Приклад$\PageIndex{35}$

Фактор:$(y+1)^3−27y^3$.

Відповідь

$(−2y+1)(13y^2+5y+1)$

Приклад$\PageIndex{36}$

Фактор:$(n+3)^3−125n^3$.

Відповідь

$(−4n+3)(31n^2+21n+9)$

Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткової інструкції та практики з факторинговими спеціальними продуктами.

• Факторинг Біноміали Кубики #2

Ключові концепції

• досконалий квадрат тріноми візерунком: якщо а і б є дійсними числами,

  $$\begin{array} {l} a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \\ a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\end{array} \nonumber$$

• Як врахувати ідеальні квадратні триноми.
  $\begin{array} {lllll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the trinomial fit the pattern?} &\quad &\hspace{7mm} a^2+2ab+b^2 &\hspace{7mm} a^2−2ab+b^2 \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} &\quad & &\\ &\text{Write them as squares.} &\quad &\hspace{5mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 &\hspace{6mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 \\ &\text{Check the middle term. Is it }2ab? &\quad &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write the square of the binomial.} &\quad &\hspace{13mm} (a+b)^2 &\hspace{13mm} (a−b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Check by multiplying.} & & & \end{array}$
• Різниця квадратів візерунком: якщо a, ba, b є дійсними числами,
  
• Як врахувати відмінності квадратів.
  $\begin{array} {llll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the binomial fit the pattern?} &\qquad &\hspace{5mm} a^2−b^2 \\ &\text{Is this a difference?} &\qquad &\hspace{2mm} \text{____−____} \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} & & \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write them as squares.} &\qquad &\hspace{3mm} (a)^2−(b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Write the product of conjugates.} &\qquad &(a−b)(a+b) \\ \textbf{Step 4.} &\text{Check by multiplying.} & & \end{array}$
• Сума та різниця кубів
  $\begin{array} {l} a^3+b3=(a+b)(a^2−ab+b^2) \\ a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2) \end{array}$
• Як коефіцієнт суми або різниці кубів.
  1. Чи підходить біноміал до суми чи різниці кубиків?
     Це сума чи різниця?
     Перші та останні терміни ідеальні кубики?
  2. Запишіть їх у вигляді кубиків.
  3. Використовуйте або суму, або різницю кубиків.
  4. Спрощення всередині дужок
  5. Перевірте, множивши коефіцієнти.