3.6: Відносини та функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59457

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Пошук домену та діапазону зв'язку
Визначте, чи є відношення функцією
Знайти значення функції

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Оцініть$3x−5$, коли$x=−2$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
Оцініть$2x^2−x−3$, коли$x=a$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
Спростити:$7x−1−4x+5$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

Пошук домену та діапазону зв'язку

Коли ми йдемо про наше повсякденне життя, у нас є багато елементів даних або величин, які поєднуються з нашими іменами. Наш номер соціального страхування, номер студента, адреса електронної пошти, номер телефону та день народження відповідають нашому імені. Існує взаємозв'язок між нашим ім'ям і кожним з цих пунктів.

Коли ваш професор отримує свій список класів, імена всіх учнів у класі вказані в одному стовпці, а потім номер студентського посвідчення, ймовірно, буде в наступному стовпці. Якщо ми думаємо про відповідність як набір впорядкованих пар, де перший елемент - ім'я студента, а другий елемент - ідентифікаційний номер студента, ми називаємо це відношення.

\[(\text{Student name}, \text{ Student ID #})\nonumber \]

Безліч всіх імен учнів у класі називається доменом відношення, а набір всіх студентських ідентифікаційних номерів в парі з цими учнями - це діапазон відношення.

Існує багато подібних ситуацій, коли одна змінна спарена або збігається з іншою. Набір впорядкованих пар, що записує це відповідність, є співвідношенням.

Визначення: Відносини

Відношення - це будь-який набір впорядкованих пар,$(x,y)$. Всі x -значення в упорядкованих парах разом складають домен. Всі y -значення в упорядкованих парах разом складають діапазон.

Приклад$\PageIndex{1}$

Для відношення${(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)}$:

Знайдіть домен відношення.
Знайти діапазон співвідношення.

Відповідь: \[\begin{array} {ll} {} &{ {\{(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) }\} } \\ {ⓐ\text{ The domain is the set of all x-values of the relation.}} &{ {\{1,2,3,4,5}\} } \\ {ⓑ\text{ The range is the set of all y-values of the relation.}} &{ {\{1,4,9,16,25}\} } \\ \nonumber \end{array}\]

Приклад$\PageIndex{2}$

Для відношення${\{(1,1),(2,8),(3,27),(4,64),(5,125)}\}$:

Знайдіть домен відношення.
Знайти діапазон співвідношення.

Відповідь на: ${\{1,2,3,4,5}\}$
Відповідь б: ${\{1,8,27,64,125}\}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Для відношення${\{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15)}\}$:

Знайдіть домен відношення.
Знайти діапазон співвідношення.

Відповідь на: ${\{1,2,3,4,5}\}$
Відповідь б: ${\{3,6,9,12,15}\}$

КАРТОГРАФІЯ

Відображення іноді використовується для показу відношення. Стрілками показано сполучення елементів домену з елементами діапазону.

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовувати відображення показаного відношення до

перерахувати впорядковані пари відношення,
знайти домен відношення, і
знайти діапазон відношення.

$На цьому малюнку показані дві таблиці, кожна з яких має один стовпець. Таблиця зліва має заголовок «Ім'я» і перераховані назви «Елісон», «Пенелопа», «Джун», «Грегорі», «Джеффрі», «Лорен», «Стівен», «Аліса», «Ліз», «Денні». Таблиця праворуч має заголовок «День народження» і перераховує дати «12 січня», «3 лютого», «25 квітня», «10 травня», «23 травня», «24 липня», «2 серпня», «15 вересня». Для кожного імені в таблиці «Ім'я» є одна стрілка, яка починається з назви і вказує на дату в таблиці Дня народження. Хоча більшість дат мають лише одну стрілку, що вказує на них, є дві стрілки, що вказують на 24 липня: одна від Стівена та одна від Ліз.$

Відповідь

ⓐ Стрілка показує відповідність людини до дня народження. Ми створюємо впорядковані пари з ім'ям людини як значення x і їх день народження як y -значення.

{(Елісон, 25 квітня), (Пенелопа, 23 травня), (Червень, 2 серпня), (Грегорі, 15 вересня), (Джеффрі, 12 січня), (Лорен, 10 травня), (Стівен, 24 липня), (Аліса, 3 лютого), (Ліз, 2 серпня), (Денні, 24 липня)}

ⓑ Домен - це набір всіх x -значень відношення.

{Елісон, Пенелопа, Червень, Грегорі, Джеффрі, Лорен, Стівен, Еліс, Ліз, Денні}

{12 січня, 3 лютого, 25 квітня, 10 травня, 23 травня, 24 липня, 2 серпня, 15 вересня}

Приклад$\PageIndex{5}$

Використовувати відображення показаного відношення до

перелічити впорядковані пари відношення
знайти домен відношення
знайти діапазон відношення.

$На цьому малюнку показані дві таблиці, кожна з яких має один стовпець. У таблиці зліва є заголовок «Ім'я» і перераховані імена «Кхань Нгуєн», «Ебігейл Браун», «Суманта Мішаль» та «Хосе Херн і Ез». Таблиця праворуч має заголовок «Студентський квиток №» та містить коди «a b 56781», «j h 47983», «k n 68413» та «s m 32479». Для кожного імені в таблиці Name є одна стрілка, яка починається з імені та вказує на код у таблиці студентських ідентифікаторів. Перша стрілка йде від Хань Нгуєн до k n 68413. Друга стрілка йде від Ебігейл Браун до a b 56781. Третя стрілка йде від Суманти Мішаль до s m 32479. Четверта стрілка йде від Хосе Херна і ez до j h 47983.$

Відповідь

ⓐ (Хань Нгуєн, kn68413), (Ебігейл Браун, ab56781), (Суманта Мішаль, sm32479), (Хосе Херн і Ез, jh47983)

ⓑ {Хань Нгуєн, Ебігейл Браун, Суманта Мішаль, Хосе Херн та Ез}

Приклад$\PageIndex{6}$

Використовувати відображення показаного відношення до

перелічити впорядковані пари відношення
знайти домен відношення
знайти діапазон відношення.

$На цьому малюнку показані дві таблиці, кожна з яких має один стовпець. У таблиці зліва є заголовок «Ім'я» і перераховані імена «Марія», «Арм і о», «Синтія», «Келлі» та «Рейчел». Таблиця праворуч має заголовок «День народження» і перераховує дати «18 січня», «15 березня», «6 листопада» і «8 грудня». Для кожного імені в таблиці «Ім'я» є одна стрілка, яка починається з назви і вказує на дату в таблиці Дня народження. Перша стрілка йде від Марії до 6 листопада. Друга стрілка йде від Arm і перейти до січня 18. Третя стрілка йде від Синтії до 8 грудня. Четверта стрілка йде від Келлі до 15 березня. П'ята стрілка йде від Рейчел до 6 листопада.$

Відповідь

ⓐ (Марія, 6 листопада), (Арм і о, 18 січня), (Синтія, 8 грудня), (Келлі, 15 березня), (Рейчел, 6 листопада)

ⓑ {Марія, Арм і о, Синтія, Келлі, Рейчел}

Графік - це ще один спосіб, яким можна представити відношення. Безліч впорядкованих пар всіх покладених точок є співвідношенням. Набір всіх x -координат - це область відношення, а набір усіх y -координат - це діапазон. Зазвичай ми пишемо числа у порядку зростання як для домену, так і для діапазону.

Приклад$\PageIndex{7}$

Використовуйте графік відношення до

перелічити впорядковані пари відношення
знайти домен відношення
знайти діапазон відношення.

$На малюнку показаний графік деяких точок на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Точки (негативні 3, 4), (негативні 3, негативні 1), (0, 3), (1, 5), (2, негативні 2), і (4, негативні 2).$

Відповідь

ⓐ Впорядковані пари відношення:\[{\{(1,5),(−3,−1),(4,−2),(0,3),(2,−2),(−3,4)}\}.\nonumber\]

ⓑ Домен - це набір всіх x -значень відношення:$\quad {\{−3,0,1,2,4}\}$.

Зверніть увагу, що поки$−3$ повторюється, він вказаний лише один раз.

Зверніть увагу, що поки$−2$ повторюється, він вказаний лише один раз.

Приклад$\PageIndex{8}$

Використовуйте графік відношення до

перелічити впорядковані пари відношення
знайти домен відношення
знайти діапазон відношення.
$На малюнку показаний графік деяких точок на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Точки (негативні 3, 3), (негативні 2, 2), (негативні 1, 0), (0, негативні 1), (2, негативні 2), і (4, негативні 4).$

Відповідь: ⓐ$(−3,3),(−2,2),(−1,0),$
$(0,−1),(2,−2),(4,−4)$
ⓑ${\{−3,−2,−1,0,2,4}\}$
ⓒ${\{3,2,0,−1,−2,−4}\}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Використовуйте графік відношення до

перелічити впорядковані пари відношення
знайти домен відношення
знайти діапазон відношення.

$На малюнку показаний графік деяких точок на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Точки (негативні 3, 5), (негативні 3, 0), (негативні 3, негативні 6), (негативні 1, негативні 2), (1, 2), і (4, негативні 4).$

Відповідь: ⓐ$(−3,0),(−3,5),(−3,−6),$
$(−1,−2),(1,2),(4,−4)$
ⓑ${\{−3,−1,1,4}\}$
ⓒ${\{−6,0,5,−2,2,−4}\}$

Визначте, чи є Relation функцією

Особливий тип відношення, званий функцією, широко зустрічається в математиці. Функція - це відношення, яке присвоює кожному елементу в своїй області рівно один елемент в діапазоні. Для кожної впорядкованої пари у співвідношенні кожне x -значення збігається лише з одним y -значенням.

Визначення: Функція

Функція - це відношення, яке присвоює кожному елементу в своїй області рівно один елемент в діапазоні.

Приклад дня народження з Example допомагає нам зрозуміти це визначення. У кожної людини є день народження, але ні у кого немає двох днів народження. Це нормально для двох людей, щоб розділити день народження. ^{Це нормально, що Денні та Стівен поділяють 24 ^липня як свій день народження, і що червень і Ліз поділяють 2 серпня.} Оскільки у кожної людини рівно один день народження, відношення в Прикладі - це функція.

Співвідношення, показане графіком у прикладі, включає впорядковані пари$(−3,−1)$ і$(−3,4)$. Це нормально в функції? Ні, оскільки це схоже на одну людину, яка має два різних дні народження.

Приклад$\PageIndex{10}$

Використовуйте набір впорядкованих пар, щоб (i) визначити, чи є відношення функцією (ii) знайти область відношення (iii) знайти діапазон відношення.

${\{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\}$
${\{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}\}$

Відповідь

ⓐ${\{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\}$

(i) Кожне значення x відповідає лише одному y -значенню. Таким чином, це відношення є функцією.

(ii) Домен - це набір всіх x -значень у відношенні.
Домен:${\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}$.

(iii) Діапазон - це набір усіх y -значень у відношенні. Зверніть увагу, що ми не перераховуємо значення діапазону двічі.
Асортимент становить:${\{27,8,1,0}\}$.

ⓑ${\{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}\}$

(i) Значення x 9 збігається з двома y -значеннями, як 3, так і$−3$. Так що це відношення не є функцією.

(ii) Домен - це набір всіх x -значень у відношенні. Зверніть увагу, що ми не перераховуємо значення домену двічі.
Домен:${\{0,1,2,4,9}\}$.

(iii) Діапазон - це набір усіх y -значень у відношенні.
Асортимент становить:${\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}$.

Приклад$\PageIndex{11}$

Використовуйте набір впорядкованих пар, щоб (i) визначити, чи є відношення функцією (ii) знайти область відношення (iii) знайти діапазон функції.

${\{(−3,−6),(−2,−4),(−1,−2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)}\}$
${\{(8,−4),(4,−2),(2,−1),(0,0),(2,1),(4,2),(8,4)}\}$

Відповідь: ⓐ Так;${\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}$;
${\{−6,−4,−2,0,2,4,6}\}$
ⓑ Ні;;${\{0,2,4,8}\}$;
${\{−4,−2,−1,0,1,2,4}\}$

Приклад$\PageIndex{12}$

${\{(27,−3),(8,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)}\}$
${\{(7,−3),(−5,−4),(8,−0),(0,0),(−6,4),(−2,2),(−1,3)}\}$

Відповідь: ⓐ Ні;${\{0,1,8,27}\}$;
${\{−3,−2,−1,0,2,2,3}\}$
ⓑ Так;${\{7,−5,8,0,−6,−2,−1}\}$;
${\{−3,−4,0,4,2,3}\}$

Приклад$\PageIndex{13}$

Скористайтеся відображенням для

визначити, чи є відношення функцією
знайти домен відношення
знайти діапазон відношення.

$clipboard_e358fef1793647353f09157074f4029e0.png$

Відповідь

ⓐ І Лідія, і Марті мають два телефонні номери. Таким чином, кожен х -значення не збігається тільки з одним y -значенням. Так що це відношення не є функцією.

ⓑ Домен - це набір всіх x -значень у співвідношенні. Домен: {Лідія, Євген, Джанет, Рік, Марті}

${\{321-549-3327, 427-658-2314, 321-964-7324, 684-358-7961, 684-369-7231, 798-367-8541}\}$

Приклад$\PageIndex{14}$

Використовуйте відображення, щоб ⓐ визначити, чи є відношення функцією ⓑ знайти область відношення ⓒ знайти діапазон відношення.

$На цьому малюнку показані дві таблиці, кожна з яких має один стовпець. У таблиці зліва є заголовок «Мережа» і перераховані телевізійні станції «NBC», «HGTV» і «HBO». У таблиці праворуч є заголовок «Програма» та перераховані телевізійні шоу «Шоу Еллен Дедженерес», «Закон і порядок», «Сьогоднішнє шоу», «Брати за власністю», «Мисливці за будинками», «Люби це або перерахуй його», «Гра престолів», «Справжній детектив» та «Вулиця Сезам». Є стрілки, які починаються в мережі в першій таблиці і вказують на програму в другій таблиці. Перша стрілка йде від NBC до шоу Еллен Дедженерес. Друга стрілка йде від NBC до Закону і порядку. Третя стрілка йде від NBC до Tonight Show. Четверта стрілка йде від HGTV до Property Brothers. П'ята стрілка йде від HGTV до House Hunters. Шоста стрілка йде від HGTV до Love it або List його. Сьома стрілка йде від HBO до гри престолів. Восьма стрілка йде від HBO до Справжнього детектива. Дев'ята стрілка йде від HBO до вулиці Сезам.$

Відповідь: ⓐ no ⓑ {NBC, HGTV, HBO} ⓒ {Шоу Еллен Дедженерес, Закон і порядок, Сьогоднішнє шоу, Брати власності, Мисливці за будинками, Люби це або перерахуй його, Гра престолів, Справжній детектив, Вулиця Сезам}

Приклад$\PageIndex{15}$

Скористайтеся відображенням для

визначити, чи є відношення функцією
знайти домен відношення
знайти діапазон відношення.

Відповідь: ⓐ Ні ⓑ {Ніл, Кристал, Кельвін, Джордж, Кріста, Майк} ⓒ {123-567-4839 робота, 231-378-5941 клітина, 743-469-9731 клітина, 567-534-2970 робота, 684-369-7231 клітина, 798-367-8541 клітина, 639-847-6971 клітина}

В алгебрі найчастіше функції будуть представлені рівнянням. Найпростіше побачити, чи є рівняння функцією, коли вона вирішується для y. Якщо кожне значення x призводить лише до одного значення y, тоді рівняння визначає функцію.

Приклад$\PageIndex{16}$

Визначте, чи є кожне рівняння функцією.

$2x+y=7$
$y=x^2+1$
$x+y^2=3$

Відповідь

ⓐ$2x+y=7$

Для кожного значення x множимо його на,$−2$ а потім додаємо 7, щоб отримати y -значення

	$.$
Наприклад, якщо$x=3$:	$.$
	$.$

У нас це коли$x=3$, тоді$y=1$. Це буде працювати аналогічно для будь-якого значення x. Оскільки кожне значення x, відповідає лише одному значенню y, рівняння визначає функцію.

ⓑ$y=x^2+1$

Для кожного значення x ми квадратимо його, а потім додаємо 1, щоб отримати y -значення.

	$.$
Наприклад, якщо$x=2$:	$.$
	$.$

У нас це коли$x=2$, тоді$y=5$. Це буде працювати аналогічно для будь-якого значення x. Оскільки кожне значення x, відповідає лише одному значенню y, рівняння визначає функцію.

ⓒ

	$.$
Виділити термін y.	$.$
Давайте підставимо$x=2$.	$.$
	$.$
Це дає нам два значення для y.	$y=1\space y=−1$

Ми показали, що коли$x=2$, то$y=1$ і$y=−1$. Це буде працювати аналогічно для будь-якого значення x. Оскільки кожне значення x не відповідає лише одному значенню y, рівняння не визначає функцію.

Приклад$\PageIndex{17}$

Визначте, чи є кожне рівняння функцією.

$4x+y=−3$
$x+y^2=1$
$y−x^2=2$

Відповідь: ⓐ так ⓑ ні ⓒ так

Приклад$\PageIndex{18}$

Визначте, чи є кожне рівняння функцією.

$x+y^2=4$
$y=x^2−7$
$y=5x−4$

Відповідь: ⓐ ні ⓑ так ⓒ так

Знайти значення функції

Дуже зручно називати функцію і найчастіше ми називаємо її f, g, h, F, G або H. У будь-якій функції для кожного x -значення з домену отримуємо відповідне y -значення в діапазоні. Для функції$f$ запишемо це значення діапазону$y$ як$f(x)$. Це називається позначенням функції і$f$ зчитується$x$ або значення$f$ at$x$. У цьому випадку дужки не вказують на множення.

Визначення: Функція позначення

Для функції$y=f(x)$

\[\begin{array} {l} {f\text{ is the name of the function}} \\{x \text{ is the domain value}} \\ {f(x) \text{ is the range value } y \text{ corresponding to the value } x} \\ \nonumber \end{array}\]

Ми читаємо$f(x)$ як$f$$x$ або значення$f$ at$x$.

Ми називаємо x незалежною змінною, оскільки це може бути будь-яке значення в домені. Ми називаємо y залежну змінну, оскільки її значення залежить від x.

НЕЗАЛЕЖНІ ТА ЗАЛЕЖНІ ЗМІННІ

Для функції$y=f(x)$,

\[\begin{array} {l} {x \text{ is the independent variable as it can be any value in the domain}} \\ {y \text{ the dependent variable as its value depends on } x} \\ \nonumber \end{array}\]

Так само, як коли ви вперше зіткнулися зі змінною x, позначення функції може бути досить тривожним. Це здається дивним, тому що воно нове. Ви будете почувати себе більш комфортно з позначенням під час його використання.

Давайте розглянемо рівняння$y=4x−5$. Щоб знайти значення y$x=2$, коли, ми знаємо$x=2$ підставити в рівняння, а потім спростити.

	$.$
Нехай x = 2.	$.$
	$.$

Значення функції at$x=2$ дорівнює 3.

Ми робимо те ж саме, використовуючи позначення функції, рівняння$y=4x−5$ можна записати як$f(x)=4x−5$. Щоб знайти значення коли$x=2$, пишемо:

	$.$
Нехай x = 2.	$.$
	$.$

Значення функції at$x=2$ дорівнює 3.

Цей процес знаходження значення$f(x)$ для заданого значення x називається оцінкою функції.

Приклад$\PageIndex{19}$

Для функції$f(x)=2x^2+3x−1$ оцініть функцію.

$f(3)$
$f(−2)$
$f(a)$

Відповідь

ⓐ

	$.$
Для оцінки$f(3)$ підставляємо 3 на x.	$.$
Спростити.	$.$
	$.$
	$.$

ⓑ

		$.$
$.$		$.$
Спростити.		$.$
		$.$
		$.$

ⓒ

	$.$
Щоб оцінити f (a), f (a), підставити a на x.	$.$
Спростити.	$.$

Приклад$\PageIndex{20}$

Для функції$f(x)=3x^2−2x+1$ оцініть функцію.

$f(3)$
$f(−1)$
$f(t)$

Приклад$\PageIndex{21}$

Для функції$f(x)=2x^2+4x−3$ оцініть функцію.

$f(2)$
$f(−3)$
$f(h)$

В останньому прикладі ми знайшли$f(x)$ постійне значення x. У наступному прикладі нас просять знайти$g(x)$ зі значеннями x, які є змінними. Ми все ще дотримуємося тієї ж процедури і підставляємо змінні в для x.

Приклад$\PageIndex{22}$

Для функції$g(x)=3x−5$ оцініть функцію.

$g(h^2)$
$g(x+2)$
$g(x)+g(2)$

Відповідь

ⓐ

			$.$
Для оцінки$g(h^2)$$h^2$ підставляємо x.			$.$
			$.$

ⓑ

	$.$
Для оцінки$g(x+2)$$x+2$ підставляємо x.	$.$
Спростити.	$.$
	$.$

ⓒ

		$.$
Щоб оцінити$g(x)+g(2)$, спочатку знайдіть$g(2)$.		$.$
		$.$
$.$		$.$
Спростити.		$.$
		$.$

Зверніть увагу на різницю між частиною ⓑ і ⓒ. Отримуємо$g(x+2)=3x+1$ і$g(x)+g(2)=3x−4$. Таким чином, ми бачимо, що$g(x+2)\neq g(x)+g(2)$.

Приклад$\PageIndex{23}$

Для функції$g(x)=4x−7$ оцініть функцію.

$g(m^2)$
$g(x−3)$
$g(x)−g(3)$

Приклад$\PageIndex{24}$

Для функції$h(x)=2x+1$ оцініть функцію.

$h(k^2)$
$h(x+1)$
$h(x)+h(1)$

Багато повсякденних ситуацій можна змоделювати за допомогою функцій.

Приклад$\PageIndex{25}$

Кількість непрочитаних електронних листів в акаунті Сільвії становить 75. Ця кількість зростає на 10 непрочитаних листів на день. Функція$N(t)=75+10t$ представляє зв'язок між кількістю електронних листів, N, і часом, t, виміряним у днях.

Визначте незалежну і залежну змінну.
Знайти$N(5)$. Поясніть, що означає цей результат.

Відповідь

ⓐ Кількість непрочитаних листів - це функція кількості днів. Кількість непрочитаних листів, N, залежить від кількості днів, т. Отже, змінна N, є залежною змінною, а змінна tt - незалежною змінною.

ⓑ Знайти$N(5)$. Поясніть, що означає цей результат.

	$.$
Замінюємо в t=5.t=5.	$.$
Спростити.	$.$
	$.$

Оскільки 5 - це кількість днів$N(5)$, це кількість непрочитаних листів через 5 днів. Через 5 днів в акаунті залишається 125 непрочитаних листів.

Приклад$\PageIndex{26}$

Кількість непрочитаних листів в акаунті Брайана - 100. Ця кількість зростає на 15 непрочитаних листів на день. Функція$N(t)=100+15t$ представляє зв'язок між кількістю електронних листів, N, і часом, t, виміряним у днях.

Визначте незалежну і залежну змінну.
Знайти$N(7)]$. Поясніть, що означає цей результат.

Відповідь: ⓐ т IND; N DEP ⓑ 205; кількість непрочитаних листів в обліковому записі Брайана на сьомий день.

Приклад$\PageIndex{27}$

Кількість непрочитаних листів в акаунті Ентоні становить 110. Ця кількість зростає на 25 непрочитаних листів на день. Функція$N(t)=110+25t$ представляє зв'язок між кількістю електронних листів, N, і часом, t, виміряним у днях.

Визначте незалежну і залежну змінну.
Знайти$N(14)$. Поясніть, що означає цей результат.

Відповідь: ⓐ т IND; N DEP ⓑ 460; кількість непрочитаних листів в акаунті Ентоні на чотирнадцятий день

Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткових інструкцій та практики з стосунками та функціями.

Вступ до функцій

Ключові концепції

Позначення функції: Для функції$y=f(x)$
- f - назва функції
- x - значення домену
- $f(x)$це значення діапазону y, відповідне значенню x
  Ми читаємо$f(x)$ як f x або значення f при x.
Незалежні та залежні змінні: Для функції$y=f(x)$,
- x є незалежною змінною, оскільки це може бути будь-яке значення в домені
- y - залежна змінна, оскільки її значення залежить від x

Глосарій

домен відношення: Домен відношення - це всі x -значення в упорядкованих парах відношення.

функція: Функція - це відношення, яке присвоює кожному елементу в своїй області рівно один елемент в діапазоні.

картографування: Відображення іноді використовується для показу відношення. Стрілками показано сполучення елементів домену з елементами діапазону.

діапазон відношення: Діапазон відношення - це всі y- значення в упорядкованих парах відношення.

відношення: Відношення - це будь-яка сукупність впорядкованих пар, (x, y). (х, у). Всі x -значення в упорядкованих парах разом складають домен. Всі y -значення в упорядкованих парах разом складають діапазон.

Визначення: Відносини

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

КАРТОГРАФІЯ

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Визначення: Функція

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Приклад\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{15}\)

Приклад\(\PageIndex{16}\)

Приклад\(\PageIndex{17}\)

Приклад\(\PageIndex{18}\)

Визначення: Функція позначення

НЕЗАЛЕЖНІ ТА ЗАЛЕЖНІ ЗМІННІ

Приклад\(\PageIndex{19}\)

Приклад\(\PageIndex{20}\)

Приклад\(\PageIndex{21}\)

Приклад\(\PageIndex{22}\)

Приклад\(\PageIndex{23}\)

Приклад\(\PageIndex{24}\)

Приклад\(\PageIndex{25}\)

Приклад\(\PageIndex{26}\)

Приклад\(\PageIndex{27}\)

	$.$
Виділити термін y.	$.$
Давайте підставимо\(x=2\).	$.$
	$.$
Це дає нам два значення для y.	\(y=1\space y=−1\)

	$.$
Для оцінки\(f(3)\) підставляємо 3 на x.	$.$
Спростити.	$.$
	$.$
	$.$

			$.$
Для оцінки\(g(h^2)\)\(h^2\) підставляємо x.			$.$
			$.$

	$.$
Для оцінки\(g(x+2)\)\(x+2\) підставляємо x.	$.$
Спростити.	$.$
	$.$

		$.$
Щоб оцінити\(g(x)+g(2)\), спочатку знайдіть\(g(2)\).		$.$
		$.$
$.$		$.$
Спростити.		$.$
		$.$