4.4: Нерівності абсолютних значень

В останньому розділі ми розв'язали рівняння абсолютних значень. У цьому розділі ми звернемо увагу на нерівності, пов'язані з абсолютною цінністю.

Рішення |x| < a

Розв'язки $$|x|<a$$ знову залежать від значення та знака числа a. Щоб розв'язати |x| < a графічно, ми повинні визначити, де графік лівої сторони лежить нижче графіка правої частини нерівності |x| < a. Існує три випадки, які слід розглянути.

• Випадок I: a < 0

При цьому графік y = a лежить строго нижче осі х. Як видно на малюнку$\PageIndex{1}$ (a), графік y = |x| ніколи не лежить нижче графіка y = a, отже, нерівність |x| < a не має розв'язків.

• Випадок II: а = 0

При цьому графік y = 0 збігається з віссю x. Як видно на малюнку$\PageIndex{1}$ (b), графік y = |x| ніколи не лежить строго нижче осі х. Отже, нерівність |x| < 0 не має розв'язків.

• Випадок III: а > 0

При цьому графік y = a лежить строго над віссю х. На малюнку$\PageIndex{1}$ (c) графік y = |x| і y = a перетинається при x = −a і x = a. На малюнку$\PageIndex{1}$ (c) ми також бачимо, що графік y = |x| лежить строго нижче графіка y = a, коли x знаходиться між −a і a; тобто коли −a < x < a.

На малюнку$\PageIndex{1}$ (c) ми скинули пунктирні вертикальні лінії від точок перетину двох графіків до осі x. На осі x ми затінювали розв'язок |x| < a, тобто −a < x < a.

Малюнок$\PageIndex{1}$. Розв'язок |x| < a має три випадки.

Це обговорення призводить до наступної властивості ключа.

властивість 1

Розв'язок |x| < a залежить від значення та знака a.

• Випадок I: a < 0

Нерівність |x| < a не має розв'язку.

• Випадок II: а = 0

Нерівність |x| < 0 не має розв'язку.

• Випадок III: а > 0

Нерівність |x| < a має набір розв'язків {x: −a < x < a}.

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розв'яжіть нерівність |x| < −5 для x.

Рішення

Графік лівої частини |x| < −5 є «V» малюнка$\PageIndex{1}$ (a). Графік правої частини |x| < −5 — це горизонтальна лінія, розташована на 5 одиниць нижче осі x. Така ситуація показана на малюнку$\PageIndex{1}$ (а). Тому графік y = |x| ніколи не знаходиться нижче графіка y = −5. Таким чином, нерівність |x| < −5 не має розв'язку.

Альтернативним підходом є врахування того факту, що абсолютне значення x завжди є невід'ємним і ніколи не може бути меншим за −5. Таким чином, нерівність |x| < −5 не має розв'язку.

Приклад$\PageIndex{2}$

Розв'яжіть нерівність |x| < 0 для x.

Рішення

Це той випадок, який зображений на малюнку$\PageIndex{1}$ (б). Графік y = |x| ніколи не знаходиться строго нижче осі x. Таким чином, нерівність |x| < 0 не має розв'язку.

Приклад$\PageIndex{3}$

Розв'яжіть нерівність |x| < 8 для x.

Рішення

Графік лівої частини |x| < 8 - це «V» малюнка$\PageIndex{1}$ (c). Графік правої частини |x| < 8 - це горизонтальна лінія, розташована на 8 одиниць вище осі x. Така ситуація зображена на малюнку$\PageIndex{1}$ (в). Графіки перетинаються в (−8, 8) та (8, 8), а графік y = |x| лежить строго під графіком y = 8 для значень x між −8 і 8. Таким чином, розв'язок |x| < 8 дорівнює −8 < x < 8.

Допомагає інтуїція, якщо перевірити результати останнього прикладу. Зауважте, що числа від −8 до 8, такі як −7.75, −3 та 6.8 задовольняють нерівності,

$$|-7.75|<8 \qquad \text { and } \quad|-3|<8 \quad \text { and } \quad|6.8|<8$$

тоді як значення, які не лежать між −8 і 8, не задовольняють нерівності. Наприклад, жодне з чисел −9.3, 8.2 та 11.7 не знаходиться між −8 і 8, і кожне з наведених нижче твердження є помилковим.

$$|-9.3|<8 \quad \text { and } \qquad|8.2|<8 \qquad \text { and } \qquad|11.7|<8 \quad \text { (all are false) }$$

Якщо ви поміркуєте над цими результатами, вони допоможуть закріпити уявлення про те, що розчином |x| < 8 є усіма значеннями x, що задовольняють −8 < x < 8.

Приклад$\PageIndex{4}$

Розв'яжіть нерівність |5 − 2x| < −3 для x.

Рішення

Якби нерівність була |x| < −3, ми б не вагалися. Це ситуація, зображена на малюнку$\PageIndex{1}$ (a), і нерівність |x| < −3 не має розв'язків. Міркування, застосоване до |x| < −3, однаково добре працює для нерівності |5 − 2x| < −3. Ліва частина цієї нерівності повинна бути невід'ємною, тому її графік повинен лежати на осі x або над нею. Праворуч |5 − 2x| < −3 є горизонтальною лінією, розташованою на 3 одиниці нижче осі x. Отже, графік y = |5 − 2x| ніколи не може лежати нижче графіка y = −3, а нерівність |5 − 2x| < −3 не має розв'язку.

Ми можемо перевірити цей результат за допомогою графічного калькулятора. Завантажте ліву та праву сторони |5 − 2x| < −3 у Y1 та Y2 відповідно, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$ (a). У меню ZOOM виберіть 6:ZStandard, щоб створити зображення, показане на малюнку$\PageIndex{2}$ (b).

Як і передбачалося, графік y = |5 − 2x| ніколи не лежить нижче графіка y = −3, тому нерівність |5 − 2x| < −3 не має розв'язку.

Малюнок$\PageIndex{2}$. Використання графічного калькулятора для розв'язання нерівності |5 − 2x| < −3.

Приклад$\PageIndex{5}$

Розв'яжіть нерівність |5 − 2x| < 0 для x.

Рішення

Відомо, що ліва частина нерівності |5 − 2x| < 0 має форму «V», зазначену на малюнку$\PageIndex{1}$ (b). Графік «торкається» осі x, коли |5 − 2x| = 0, або коли

$$\begin{aligned} 5-2 x &=0 \\-2 x &=-5 \\ x &=\frac{5}{2} \end{aligned}$$

Однак графік y = |5 − 2x| ніколи не опускається нижче осі x, тому нерівність |5 − 2x| < 0 не має розв'язку.

Інтуїтивно має бути зрозуміло, що нерівність |5−2x| < 0 не має розв'язку. Дійсно, ліва сторона цієї нерівності завжди ненегативна, і ніколи не може бути строго менше нуля.

Приклад$\PageIndex{6}$

Розв'яжіть нерівність |5 − 2x| < 3 для x.

Рішення

У цьому прикладі графік правої частини нерівності |5 − 2x| < 3 є горизонтальною лінією, розташованою на 3 одиниці вище осі x. Графік лівої частини нерівності має форму «V», показану на малюнку$\PageIndex{3}$ (b) і (c). Ви можете скористатися утилітою intersect на графічному калькуляторі, щоб знайти точки перетину графіків y = |5 − 2x| і y = 3, як це було зроблено на малюнках$\PageIndex{3}$ (b) та (c). Зверніть увагу, що калькулятор вказує дві точки перетину, одна при x = 1 і друга при x = 4.

Малюнок$\PageIndex{3}$. Використання графічного калькулятора для розв'язання нерівності |5 − 2x| < 3.

Графік y = |5 − 2x| опускається нижче графіка y = 3 для всіх значень x між 1 і 4. Отже, розв'язком нерівності |5 − 2x| < 3 є множиною всіх x, що задовольняють 1 < x < 4; тобто {x: 1 < x < 4}.

Очікування:

Нам потрібен спосіб підсумовування цього графічного калькулятора підхід на нашому домашньому папері. По-перше, намалюйте розумний факсиміле вікна перегляду вашого калькулятора на домашньому папері. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії. Заповніть наступний контрольний список.

• Позначте кожну вісь, в даному випадку з x і y.
• Масштабуйте кожну вісь. Для цього натисніть кнопку WINDOW на вашому калькуляторі, після чого повідомте значення xmin, xmax, ymin та ymax на відповідній осі.
• Позначте кожен граф своїм рівнянням.
• Відкиньте пунктирні вертикальні лінії від точок перетину до осі x. Затіньте та позначте набір розв'язків нерівності на осі x.

Дотримуючись вказівок у наведеному вище контрольному списку, ми отримуємо зображення на малюнку$\PageIndex{4}$.

Малюнок$\PageIndex{4}$. Звітність графічного рішення |5 − 2x| < 3.

Алгебраїчний підхід. Розглянемо алгебраїчний розв'язок нерівності |5 − 2x| < 3. Так само, як |x| < 3 означає, що −3 < x < 3 нерівність

$$|5-2 x|<3$$

вимагає, щоб

$$-3<5-2 x<3$$

Ми можемо відняти 5 з усіх трьох членів цієї останньої нерівності, а потім спростити.

$$\begin{aligned}-3-5 &<5-2 x-5<3-5 \\ &-8<-2 x<-2 \end{aligned}$$

Розділіть усі три члени цієї останньої нерівності на −2, змінюючи символи нерівності, коли ви йдете.

$$4>x>1$$

Ми вважаємо за краще, щоб наші нерівності читалися від «малого до великого», тому ми пишемо

$$1<x<4$$

Ця форма відповідає порядку затіненого рішення на числовому рядку на малюнку$\PageIndex{4}$, який ми знайшли за допомогою графічного калькулятора.

Алгебраїчна техніка цього останнього прикладу призводить нас до наступного властивості.

Нерухомість 8

Якщо a > 0, то нерівність |x| < a еквівалентна нерівності −a < x < a.

Ця властивість надає простий метод розв'язання нерівностей виду |x| < a. Давайте застосуємо цю алгебраїчну техніку в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{7}$

Розв'яжіть нерівність |4x + 5| < 7 для x.

Рішення

Першим кроком є використання Property 8, щоб написати, що $$|4 x+5|<7$$

еквівалентний нерівності

$$-7<4 x+5<7$$

Звідси ми можемо вирішити для x, спочатку віднімаючи 5 з усіх трьох членів, а потім розділивши через 4.

$$\begin{array}{l}{-12<4 x<2} \\ {-3<x<\frac{1}{2}}\end{array}$$

Ми можемо накидати рішення на числовій лінії.

І ми можемо описати рішення як в інтервалі, так і в позначеннях set-builder наступним чином.

$$\left(-3, \frac{1}{2}\right)=\left\{x :-3<x<\frac{1}{2}\right\}$$

Припускаючи, що a > 0, нерівність$|x| \leq a$ вимагає знайти, де абсолютне значення x або «менше» a або «дорівнює» a. Ми знаємо, що |x| < a при −a < x < a і ми знаємо, що |x| = a, коли x = −a або x = a. Таким чином, розв'язком$|x| \leq a$ є «об'єднання» цих двох розв'язків.

Цей аргумент призводить до наступної властивості.

Нерухомість 10

Якщо$a > 0$, то нерівність$|x| \leq a$ еквівалентна нерівності$−a \leq x \leq a$.

Приклад$\PageIndex{8}$

Розв'яжіть нерівність$5 − 3|x − 4| \geq −4$ для x.

Рішення

На перший погляд, нерівність $$5-3|x-4| \geq-4$$ має форму, досить несхожу з тим, що ми зробили до цього часу. Однак давайте віднімемо 5 з обох сторін нерівності.

$$-3|x-4| \geq-9$$

Тепер давайте розділимо обидві сторони цієї останньої нерівності на −3, змінивши знак нерівності.

$$|x-4| \leq 3$$

Ага! Знайомий грунт. Використовуючи властивість 10, ця остання нерівність еквівалентна

$$-3 \leq x-4 \leq 3$$

і коли ми додаємо 4 до всіх трьох членів, ми маємо рішення.

$$1 \leq x \leq 7$$

Ми можемо накидати рішення на числовій лінії

І ми можемо описати рішення з інтервальними і set-builder позначеннями.

$$[1,7]=\{x : 1 \leq x \leq 7\}$$

Рішення |x| > a

Розв'язки |x| > a знову залежать від значення і знака а, щоб розв'язати |x| > a графічно, ми повинні визначити, де граф y = |x| лежить над графіком y = a. знову розглянемо три випадки.

• Випадок I: a < 0

При цьому графік y = a лежить строго нижче осі х. Тому графік y = |x| на малюнку$\PageIndex{5}$ (а) завжди лежить над графіком y = a. отже, всі дійсні числа є розв'язками нерівності |x| > a.

• Випадок II: а = 0

При цьому графік y = 0 збігається з віссю x. Як показано на малюнку$\PageIndex{5}$ (b), графік y = |x| буде лежати строго над графіком y = 0 для всіх значень x за одним винятком, а саме x не може дорівнювати нулю. Отже, кожне дійсне число, крім x = 0, є розв'язком |x| > 0. На малюнку$\PageIndex{5}$ (b) ми затінювали розв'язок |x| > 0, а саме набір всіх дійсних чисел, крім x = 0.

• Випадок III: а > 0

При цьому графік y = a лежить строго над віссю х. На малюнку$\PageIndex{5}$ (c) графік y = |x| перетинає графік y = a при x = −a і x = a. на малюнку$\PageIndex{5}$ (c) ми бачимо, що графік y = |x| лежить строго над графіком y = a, якщо x менше −a або більше a.

На малюнку$\PageIndex{5}$ (c) ми скинули пунктирні вертикальні лінії від точок перетину до осі x. На осі х ми затінювали розв'язок |x| > a, а саме набір всіх дійсних чисел x, таких як x < −a or x > a.

Малюнок$\PageIndex{5}$. Розв'язок |x| > a має три випадки.

Це обговорення призводить до наступного властивості.

Нерухомість 12

Розв'язок |x| > a залежить від значення та знака a.

• Випадок I: a < 0

Усі дійсні числа є розв'язками нерівності |x| > a.

• Випадок II: а = 0

Усі дійсні числа, за винятком x = 0, є розв'язками |x| > 0.

• Випадок III: а > 0

Нерівність |x| > a має набір розв'язків {x: x < −a or x > a}.

Приклад$\PageIndex{9}$

Створіть рішення кожного з наступних нерівностей.

$$\text { a. }|x|>-5 \qquad \text { b. }|x|>0 \qquad \text { c. }|x|>4$$

Рішення

a. Розв'язок |x| > −5 є дійсними числами.

b Розв'язок |x| > 0 є усіма дійсними числами, крім нуля.

c Розв'язок |x| > 4 є множиною всіх дійсних чисел, менших за −4 або більше 4.

Приклад$\PageIndex{10}$

Розв'яжіть нерівність |4 − x| > −5 для x.

Рішення

Ліва частина нерівності |4 − x| > −5 невід'ємна, тому графік y = |4 − x| повинен лежати вище або на осі x. Графік правої частини |4 − x| > −5 — це горизонтальна лінія, розташована на 5 одиниць нижче осі x. Тому графік y = |4 − x| завжди лежить над графіком y = −5. Таким чином, всі дійсні числа є розв'язками нерівності |4 − x| > −5.

Ми можемо перевірити наше мислення за допомогою графічного калькулятора. Завантажте ліву та праву сторони нерівності |4 − x| > −5 у Y1 та Y2 відповідно, як показано на малюнку$\PageIndex{6}$ (a). У меню ZOOM виберіть 6:ZStandard, щоб створити зображення, показане на малюнку$\PageIndex{6}$ (b).

Як і передбачалося, графік y = |4 − x| лежить над графіком y = −5 для всіх дійсних чисел.

Малюнок$\PageIndex{6}$. Використання графічного калькулятора для розв'язання |4 − x| > −5.

Інтуїтивно, абсолютне значення будь-якого числа завжди є невід'ємним, тому |4−x| > −5 для всіх дійсних значень x.

Приклад$\PageIndex{11}$

Розв'яжіть нерівність |4 − x| > 0 для x.

Рішення

Як ми бачили на малюнку$\PageIndex{6}$ (b), графік y = |4 − x| лежить на осі x або над нею для всіх дійсних чисел. Він «торкається» осі х у «вершини» «V», де $$|4-x|=0$$

Це може статися тільки в тому випадку, якщо

$$\begin{aligned} 4-x &=0 \\-x &=-4 \\ x &=4 \end{aligned}$$

Таким чином, графік y = |4 − x| знаходиться строго вище осі x для всіх дійсних чисел, крім x = 4. Тобто, розв'язок |4 − x| > 0 дорівнює {x: x 6= 4}.

Приклад$\PageIndex{12}$

Розв'яжіть нерівність |4 − x| > 5 для x.

Рішення

У цьому прикладі графік правої частини |4 − x| > 5 є горизонтальною лінією, розташованою на 5 одиниць вище осі x. Графік y = |4 − x| має форму «V», показану на малюнку$\PageIndex{6}$ (c). Ви можете скористатися утилітою intersect на графічному калькуляторі для наближення точок перетину графіків y = |4 − x| і y = 5, як ми зробили на малюнку$\PageIndex{7}$ (c) та (d). Калькулятор вказує дві точки перетину: одна при x = −1 і друга при x = 9.

Малюнок$\PageIndex{7}$. Використання графічного калькулятора для розв'язання нерівності |4 − x| > 5.

Графік y = |4 − x| лежить над графіком y = 5 для всіх значень x, які лежать ліворуч від −1 або праворуч від 9. Отже, розв'язок |4 − x| > 5 є множиною {x: x < −1 or x > 9}.

Дотримуючись вказівок, встановлених у прикладі$\PageIndex{6}$, ми створюємо зображення, показане$\PageIndex{8}$ на малюнку на нашому домашньому папері. Зверніть увагу, що ми позначили кожну вісь, масштабували кожну вісь за допомогою xmin, xmax, ymin та ymax, позначили кожен графік своїм рівнянням, а також затінювали та позначили рішення на осі x.

Малюнок$\PageIndex{8}$. Повідомлення про графічне рішення |4 − x| > 5.

Алгебраїчний підхід. Розглянемо алгебраїчний розв'язок |4 − x| > 5. Багато в чому так само, як |x| > 5 призводить до умов x < −5 or x > 5, нерівність

$$|4-x|>5$$

вимагає, щоб

$$4-x<-5 \qquad \text { or } \qquad 4-x>5$$

Ми можемо вирішити кожну з них самостійно, спочатку віднімаючи 4 з кожної сторони нерівності, а потім помноживши обидві сторони кожної нерівності на −1, змінюючи кожну нерівність, як ми робимо це.

$$\begin{array}{rllrrl}{4-x} & {<} & {-5} & {\text { or }} & {4-x} & {>} & {5} \\ {-x} & {<} & {-9} && {-x} & {>} & {1} \\ {x} & {>} & {9} && {x} & {<} & {-1}\end{array}$$

Ми вважаємо за краще писати це рішення в порядку

$$x<-1 \qquad \text { or } \qquad x>9$$

оскільки він відповідає порядку графічного рішення, затіненого на рис$\PageIndex{8}$. Тобто набір розв'язків - {x: x < −1 or x > 9}.

Алгебраїчна техніка цього останнього прикладу призводить до наступної властивості.

Нерухомість 17

Якщо a > 0, то нерівність |x| > a еквівалентна складній нерівності x < −a or x > a.

Ця властивість надає простий алгебраїчний метод розв'язання нерівностей виду |x| > a, коли a > 0. Давайте сконцентруємося на цій техніці в наступних прикладах.

Приклад$\PageIndex{13}$

Розв'яжіть нерівність |4x − 3| > 1 для x.

Рішення

Першим кроком є використання Property 17 для запису, $$|4 x-3|>1$$ що еквівалентно

$$4 x-3<-1 \qquad \text { or } \qquad 4 x-3>1$$

Тепер ми можемо вирішити кожну нерівність самостійно. Починаємо з додавання по 3 до обох сторін кожної нерівності, потім ділимо обидві сторони отриманих нерівностей на 4.

$$\begin{array}{rrlrrl}{4 x-3} & {<} & {-1} & {\text { or }} & {4 x-3} & {>} & {1} \\ {4 x} & {<} & {2} && {4 x} & {>} & {4} \\ {x} & {<} & {\frac{1}{2}} & &{x} & {>} & {1}\end{array}$$

Ми можемо накидати рішення на числовій лінії.

І ми можемо описати рішення за допомогою інтервалу та позначення set-builder.

$$(-\infty, 1 / 2) \cup(1, \infty)=\{x : x<1 / 2 \text { or } x>1\}$$

Знову ж таки, нехай a > 0. Як ми зробили з$|x| \leq a$, ми можемо взяти об'єднання розв'язків |x| = a та |x| > a, щоб знайти рішення$|x| \geq a$. Це призводить до наступного властивості.

Визначення

Якщо a > 0, то нерівність$|x| \geq a$ еквівалентна нерівності$x \leq −a$ або$x \geq a$.

Приклад$\PageIndex{14}$

Розв'яжіть нерівність$3|1 − x| − 4 \geq |1 − x|$ для x.

Рішення

Знову ж таки, на перший погляд, нерівність $$3|1-x|-4 \geq|1-x|$$

виглядає на відміну від будь-якої нерівності, яку ми намагалися до цього моменту. Однак якщо відняти |1 − x| з обох сторін нерівності, то додати 4 до обох сторін нерівності, отримаємо

$$3|1-x|-|1-x| \geq 4$$

Зліва у нас є подібні терміни. Зауважте, що 3|1−x|−|1−x| = 3|1−x|−1|1−x| = 2|1−x|. Таким чином,

$$2|1-x| \geq 4$$

Розділіть обидві сторони останнього нерівності на 2.

$$|1-x| \geq 2$$

Тепер ми можемо використовувати Property 19 для написання

$$1-x \leq-2 \quad \text { or } \qquad 1-x \geq 2$$

Кожне з цих нерівностей ми можемо вирішити самостійно. Спочатку відніміть 1 з обох сторін кожної нерівності, а потім помножте обидві сторони кожної результуючої нерівності на −1, змінюючи кожну нерівність, коли ви йдете.

$$\begin{array}{rllrrl}{1-x } & {\leq} & {-2} & {\text { or }} & {1-x } & {\geq} & { 2} \\ {-x } & {\leq} & {-3} && {-x } & {\geq } & {1} \\ {x} & { \geq } & {3} & &{x} & { \leq} & {-1}\end{array}$$

Ми вважаємо за краще писати це в порядку

$$x \leq-1 \qquad \text { or } \qquad x \geq 3$$

Ми можемо накидати рішення на числовій лінії.

І ми можемо описати рішення за допомогою інтервальних і set-builder позначень.

$$(-\infty,-1] \cup[3, \infty)=\{x : x \leq-1 \text { or } x \geq 3\}$$

Повторне відвідування відстані

Якщо a і b - будь-які числа на дійсній прямій, то відстань між a і b знаходять, взявши абсолютне значення їх різниці. Тобто відстань d між a і b обчислюється з d = |a − b|. Що ще важливіше, ми навчилися вимовляти символіку |a − b| як «відстань між a та b». Ця вимова набагато корисніше, ніж сказати «абсолютне значення a мінус b».

Приклад$\PageIndex{15}$

Розв'яжіть нерівність |x − 3| < 8 для x.

Рішення

Ця нерівність вимовляється «відстань між х і 3 менше 8». Намалюйте цифрову лінію, знайдіть 3 на лінії, потім відзначте дві точки, які знаходяться на відстані 8 одиниць від 3.

Тепер нам потрібно затінювати точки, які менше 8 одиниць з 3.

Отже, розв'язком нерівності |x − 3| < 8 є $$(-5,11)=\{x :-5<x<11\}$$

Приклад$\PageIndex{16}$

Розв'яжіть нерівність |x + 5| > 2 для x.

Рішення

По-перше, запишіть нерівність як різницю.

$$|x-(-5)|>2$$

Ця остання нерівність вимовляється «відстань між x та −5 більша за 2». Намалюйте числову лінію, знайдіть −5 на числовій лінії, потім зверніть увагу на дві точки, які є 2 одиницями від −5.

Тепер нам потрібно затінювати точки, які більші за 2 одиниці від −5.

Отже, розв'язком нерівності |x + 5| > 2 є

$$(-\infty,-7) \cup(-3, \infty)=\{x : x<-7 \quad \text { or } \quad x>-3\}$$

Вправа

Для кожного з нерівностей у вправах 1 - 10 виконайте кожне з наступних завдань.

1. Налаштуйте систему координат на аркуші графічного паперу. Позначте та масштабуйте кожну вісь.
2. Намалюйте графік кожної сторони нерівності без допомоги калькулятора. Позначте кожен граф своїм рівнянням.
3. Затіньте розв'язок нерівності на осі x (якщо така є) у спосіб, показаний на рисунках 4 та 8 в оповіданні. Тобто відкиньте пунктирні лінії від точок перетину до осі, потім затіньте і позначте рішення, встановлене на осі х. Використовуйте set-builder і інтервальні позначення (якщо це можливо) для опису вашого набору рішень.

Вправа$\PageIndex{1}$

|x| > −2

Відповідь

Рішення:$\mathbb{R} = (−\infty, \infty)$

Вправа$\PageIndex{2}$

|x| > 0

Вправа$\PageIndex{3}$

|x| < 3

Відповідь

Розв'язок: (−3, 3) = {x: −3 < x < 3}

Вправа$\PageIndex{4}$

|x| > 2

Вправа$\PageIndex{5}$

|x| > 1

Відповідь

$(−\infty,−1) \cup (1,\infty)$Розв'язок: = {x: x <−1 або x > 1}.

Вправа$\PageIndex{6}$

|x| < 4

Вправа$\PageIndex{7}$

|x| ≤ 0

Відповідь

Рішення: {x: x = 0}

Вправа$\PageIndex{8}$

|x| ≤ −2

Вправа$\PageIndex{9}$

|x| ≤ 2

Відповідь

Розв'язок: [−2, 2] = {x:$−2 \le x \le 2$}.

Вправа$\PageIndex{10}$

|x| ≥ 1

Для кожного з нерівностей у вправах 11 - 22 виконайте кожне з наступних завдань.

1. Завантажте кожну сторону нерівності в меню Y = вашого калькулятора. Налаштуйте вікно перегляду так, щоб у вікні перегляду були видні всі точки перетину двох графіків.
2. Скопіюйте зображення на екрані перегляду на домашній папір. Позначте кожну вісь та масштабуйте кожну вісь за допомогою xmin, xmax, ymin та ymax. Позначте кожен граф своїм рівнянням.
3. Використовуйте утиліту Intersect в меню CALC для визначення точок перетину. Затіньте розв'язок нерівності на осі x (якщо така є) у спосіб, показаний на рисунках 4 та 8 в оповіданні. Тобто відкиньте пунктирні лінії від точок перетину до осі, потім затіньте і позначте рішення, встановлене на осі x. Використовуйте set- builder і інтервальні позначення (якщо це доречно) для опису вашого набору рішень.

Вправа$\PageIndex{11}$

|3−2х| > 5

Відповідь

$(−\infty, −1) \cup (4, \infty)$Розв'язок: = {x: x <−1 або x > 4}.

Вправа$\PageIndex{12}$

|2х+7| < 4

Вправа$\PageIndex{13}$

|4x+5| < 7

Відповідь

Розв'язок: (−3, 0,5) = {x: −3 < x < 0,5}.

Вправа$\PageIndex{14}$

|5x−7| > 8

Вправа$\PageIndex{15}$

|4x+5| > −2

Відповідь

Рішення:$\mathbb{R} = (−\infty, \infty)$

Вправа$\PageIndex{16}$

|3х−5| < −3

Вправа$\PageIndex{17}$

$|2x−9| \ge 6$

Відповідь

Рішення:$(−\infty, 1.5] \cup [7.5, \infty)$ = {x:$x \ le 1.5 or x \ge 7.5$}.

Вправа$\PageIndex{18}$

$|3x+25| \ge 8$

Вправа$\PageIndex{19}$

$|13−2x| \le 7$

Відповідь

Рішення: [3, 10] = {x:$3 \le x \le 10$}.

Вправа$\PageIndex{20}$

$|2x+15| \le 7$

Вправа$\PageIndex{21}$

$|3x−11| > 0$

Відповідь

Рішення: {x:$x \ne \frac{11}{3}$}

Вправа$\PageIndex{22}$

$|4x+19| \le 0$

Для кожного з нерівностей у вправах 23 - 32 надайте чисто алгебраїчне рішення без використання калькулятора. Покажіть всю вашу роботу, яка веде до рішення, затіньте набір рішення на числовому рядку, а потім скористайтеся конструктором наборів та інтервальними позначеннями (якщо можливо), щоб описати свій набір рішень.

Вправа$\PageIndex{23}$

|4x+3| < 8

Відповідь

($−\frac{11}{4}, \frac{5}{4}$) = {x:$−\frac{11}{4} < x < \frac{5}{4}$}

Вправа$\PageIndex{24}$

|3х−5| > 11

Вправа$\PageIndex{25}$

$|2x−3| \le 10$

Відповідь

[$−\frac{7}{2}, \frac{13}{2}$] = {x:$−\frac{7}{2} \le x \le \frac{13}{2}$}

Вправа$\PageIndex{26}$

$|3−5x| \ge 15$

Вправа$\PageIndex{27}$

|3х−4| < 7

Відповідь

(−1,$\frac{11}{3}$) = {x:$−1 < x < \frac{11}{3}$}

Вправа$\PageIndex{28}$

|5−2х| > 10

Вправа$\PageIndex{29}$

$|3−7x| \ge 5$

Відповідь

$(−\infty,−\frac{2}{7}] \cup [\frac{8}{7}, \infty)$= {x:$x \le −\frac{2}{7}$ або$x \ge \frac{8}{7}$}

Вправа$\PageIndex{30}$

$|2−11x| \le 6$

Вправа$\PageIndex{31}$

$|x+2| \ge −3$

Відповідь

$\mathbb{R} = (−\infty, \infty)$

Вправа$\PageIndex{32}$

|x+5| < −4

Для кожного з нерівностей у вправах 33 - 38 виконайте кожне з наступних завдань.

1. Розташуйте кожну з наступних частин на домашньому папері в тому ж місці. Не розміщуйте алгебраїчну роботу на одній сторінці, а графічну роботу на іншій.
2. Дотримуйтесь кожного з вказівок, наведених для вправ 11 - 22, щоб знайти та записати рішення за допомогою графічного калькулятора.
3. Надайте чисто алгебраїчне рішення, показуючи всі етапи вашої роботи. Намалюйте рішення на числовому рядку, а потім використовуйте конструктор наборів та інтервальні позначення для опису вашого набору рішень. Чи вигідно ці рішення відрізняються від тих, які знайшли за допомогою графічного калькулятора в частині (2)? Якщо немає, шукайте помилку у своїй роботі.

Вправа$\PageIndex{33}$

|x−8| < 7

Відповідь

(1, 15) = {x: 1 < х < 15}

Вправа$\PageIndex{34}$

|2x−15| > 5

Вправа$\PageIndex{35}$

$|2x+11| \ge 6$

Відповідь

$(−\infty, −8.5] \cup [−2.5, \infty)$= {x:$x \le −8.5$ або$x \ge −2.5$}

Вправа$\PageIndex{36}$

$|5x−21| \le 7$

Вправа$\PageIndex{37}$

|х−12| > 6

Відповідь

$(−\infty, 6) \cup (18, \infty)$= {x: х < 6 or x > 18}

Вправа$\PageIndex{38}$

|х+11| < 5

Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення кожного з рівнянь у Вправи 39 - 46. Не використовуйте калькулятор. Затіньте набір рішення на числовому рядку та опишіть набір розв'язків, використовуючи як конструктор наборів, так і інтервальну нотацію.

Вправа$\PageIndex{39}$

|x+2|−3> 4

Відповідь

$(−\infty, −9) \cup (5, \infty)$= {x: x < −9 or x > 5}

Вправа$\PageIndex{40}$

3|х+5| < 6

Вправа$\PageIndex{41}$

$−2|3−2x| \le −6$

Відповідь

$(−\infty, 0] \cup [3, \infty)$= {x:$x \le 0$ або$x \ge 3$}

Вправа$\PageIndex{42}$

$|4−x|+5 \ge 12$

Вправа$\PageIndex{43}$

3|х+2|−5 > |х+2|+7

Відповідь

$(−\infty, −8) \cup (4, \infty)$= {x: x < −8 or x > 4}

Вправа$\PageIndex{44}$

4−3|4−x| > 2|4−x|−1

Вправа$\PageIndex{45}$

$|\frac{x}{3}−\frac{1}{4}| \le \frac{1}{12}$

Відповідь

[$\frac{1}{2}$, 1] = {x:$\frac{1}{2} \le x \le 1$}

Вправа$\PageIndex{46}$

$|\frac{x}{4}−\frac{1}{2}| \ge \frac{2}{3}$

Використовуйте техніку відстані на числовій лінії, продемонстровану в прикладах 21 і 22, для розв'язання кожної з нерівностей у вправах 47 - 50. Надайте ескізи числових рядків, як у прикладі 17 в оповіданні. Опишіть набір рішень, використовуючи як set-builder, так і інтервальну нотацію.

Вправа$\PageIndex{47}$

|x−5| < 8

Відповідь

(−3, 13) = {x: −3 < x < 13}

Вправа$\PageIndex{48}$

|x−2| > 4

Вправа$\PageIndex{49}$

$|x+4| \ge 3$

Відповідь

$(−\infty, −7] \cup [−1, \infty)$= {x:$x \le −7$ або$x \ge −1$}

Вправа$\PageIndex{50}$

$|x+2| \le 11$

Скористайтеся інструкціями, наведеними у Вправах 11 - 22, щоб вирішити нерівності у вправах 51 - 52. Опишіть набір рішень, використовуючи як set-builder, так і інтервальну нотацію.

Вправа$\PageIndex{51}$

$|x+2| < \frac{1}{3}x+5$

Відповідь

(−5,25, 4.5) = {x: −5,25 < х < 4,5}

Вправа$\PageIndex{52}$

$|x−3| > 5−\frac{1}{2}x$

У вправах 53 - 54 виконайте кожне з наступних завдань.

1. Налаштуйте систему координат на графічному папері. Позначте та масштабуйте кожну вісь.
2. Без використання калькулятора накидайте графіки лівої і правої сторін заданої нерівності. Позначте кожен граф своїм рівнянням.
3. Затіньте розв'язок нерівності на осі x (якщо така є) у спосіб, показаний на рисунках 4 та 8 в оповіданні. Тобто відкиньте пунктирні лінії від точок перетину до осі, потім затіньте і позначте рішення, встановлене на осі х (доведеться наблизити). Опишіть набір рішень, використовуючи як set-builder, так і інтервальну нотацію.

Вправа$\PageIndex{53}$

$|x−2| > \frac{1}{3}x+2$

Відповідь

$(−\infty, 0) \cup (6, \infty)$= {x: х < 0 or x > 6}

Вправа$\PageIndex{54}$

$|x+4| < \frac{1}{3}x+4$