Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Інтерпретація графа функції

У попередньому розділі ми почали з функції, а потім намалювали графік даної функції. У цьому розділі ми почнемо з графіка функції, а потім зробимо ряд інтерпретацій на основі даного графіка: оцінки функцій, область і діапазон функції, а також розв'язування рівнянь і нерівностей.

Тест вертикальної лінії

Розглянемо графік співвідношення R, показаний на малюнку2.3.1 (а). Нагадаємо, що раніше ми визначали відношення як набір впорядкованих пар. Звичайно, графік, показаний на малюнку2.3.1 (а), являє собою набір впорядкованих пар. Дійсно, це нескінченний набір впорядкованих пар, настільки багато, що графік є суцільною кривою.

На малюнку2.3.1 (b) зверніть увагу, що ми можемо намалювати вертикальну лінію, яка розрізає графік більше одного разу. На малюнку2.3.1 (b) ми намалювали вертикальну лінію, яка розрізає графік у двох місцях, один раз(x,y1), потім знову в(x,y2), як показано на малюнку2.3.1 (c). Це означає, що об'єкт домену x поєднується з двома різними об'єктами діапазону, а самеy1 іy2, тому відношення R не є функцією.

WeChat83298f58b7176cca5780499bcc0ea24c.png

Малюнок2.3.1. Пояснення тесту вертикальної лінії для функцій.

Згадаймо визначення функції.

Визначення

Відношення - це функція тоді і лише тоді, коли кожен об'єкт у своїй області сполучається з одним і тільки одним об'єктом у своєму діапазоні.

Розглянемо діаграму відображення на малюнку2.3.2, де ми використовували стрілки для позначення впорядкованих пар(x,y1) і на(x,y2) малюнку2.3.1 (c). Зверніть увагу, що x, об'єкт у області R, зіставляється з двома об'єктами в діапазоні R, а самеy1 іy2. Отже, відношення R не є функцією.

WeChatf8ca8ada6f54ae32839a9c7634450ac1.png

Малюнок2.3.2. Діаграма відображення, що представляє точки(x,y1) і(x,y2) на малюнку2.3.1 (c).

Це обговорення призводить до наступного результату, який називається тестом вертикальної лінії для функцій.

Тест вертикальної лінії

Якщо будь-яка вертикальна лінія розрізає графік відношення більше одного разу, то відношення НЕ є функцією.

Отже, коло, зображений на малюнку2.3.3 (а), є відношенням, але це не графік функції. Можна вирізати графік кола не один раз вертикальною лінією, як показано на малюнку2.3.3 (а). З іншого боку, парабола, показана на малюнку2.3.3 (b), є графіком функції, оскільки жодна вертикальна лінія не розрізає графік більше одного разу.

WeChatb363224ae1110806bf2f6b9fce825ca3.png

Малюнок2.3.3. Використовуйте тест вертикальної лінії, щоб визначити, чи є графік функції.

Читання графіка для значень функцій

Ми знаємо, що графік f, зображений на малюнку,2.3.4 є графіком функції. Ми знаємо це тому, що жодна вертикальна лінія не буде різати графік f більш ніж один раз.

Ми раніше визначили графік f як сукупність всіх впорядкованих пар(x,f(x)), так що х знаходиться в області f. отже, якщо ми виділимо точку P на графіку f, як на малюнку2.3.4 (a), ми позначаємо точку P (x, f (x)). Однак ми також можемо позначити цей пункт якP(x,y), як показано на малюнку2.3.4 (b). Це призводить до нової інтерпретації f (x) як значення y точки P. Тобто f (x) - це значення y, яке парне з x.

WeChat9c7ca252bc58ace26d67a8b219bdb304.png

Малюнок2.3.4. Читання графіка функції.

Визначення

f (x) - значення y, яке поєднується з x.

Ще два зауваження по порядку. На малюнку2.3.4 (а) вибираємо точку Р на графіку f.

  1. Щоб знайти значення x точки P, ми повинні спроектувати точку P на вісь x.
  2. Щоб знайти f (x), значення y, яке поєднується з x, ми повинні спроектувати точку P на вісь y.

Давайте розглянемо приклад.

Приклад2.3.1

За заданим графіком f на малюнку2.3.5 (a) знайдіть f (4).

WeChat7d2e5d9ef09b88527d9c0ed782222229.png

Малюнок (\ Індекс сторінки {5}\). Знаходження значення f (4).

Рішення

По-перше, зауважте, що графік f представляє функцію. Жодна вертикальна лінія не розрізає графік f більше одного разу.

Оскільки f (4) представляє значення y, яке поєднується зі значенням x 4, ми спочатку знаходимо 4 на осі x, як показано на малюнку (\ pageIndex {5}\) (b). Потім малюємо вертикальну стрілку, поки не перехопимо графік f в точці P (4, f (4)). Нарешті, ми малюємо горизонтальну стрілку з точки Р, поки не перехопимо вісь Y. Проекція точки Р на вісь y - це значення f (4).

Оскільки у нас є сітка, яка показує масштаб на кожній осі, ми можемо наблизити значення f (4). Здавалося б, що значення y точки P дорівнює приблизно 4. Таким чином,f(4)4.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад2.3.2

За заданим графіком f на малюнку (\ pageIndex {6}\) (a) знайдіть f (5).

WeChat47ad53d8e07a2876ef727d1991694e24.png

Малюнок (\ Індекс сторінки {6}\). Знаходження значення f (5).

Рішення

По-перше, зауважте, що графік f представляє функцію. Жодна вертикальна лінія не розрізає графік f більше одного разу.

Оскільки f (5) представляє значення y, яке поєднується зі значенням x 5, ми спочатку знаходимо 5 на осі x, як показано на малюнку (\ pageIndex {6}\) (b). Потім малюємо вертикальну стрілку, поки не перехопимо графік f в точці P (5, f (5)). Нарешті, ми малюємо горизонтальну стрілку з точки Р, поки не перехопимо вісь Y. Проекція точки Р на вісь y - це значення f (5).

Оскільки у нас є сітка, яка показує масштаб на кожній осі, ми можемо наблизити значення f (5). Здавалося б, що значення y точки P дорівнює приблизно 6. Таким чином,f(5)6.

Давайте повернемо тлумачення в іншому прикладі.

Приклад2.3.3

Враховуючи графік f на малюнку (\ pageIndex {7}\) (a), для якого значення x робить f (x) = −4?

Рішення

Знову ж таки, графік на рисунку (\ pageIndex {7}\) проходить тест вертикальної лінії і представляє графік функції.

Цього разу вf(x)=4 рівнянні нам дано значення y, рівне −4. Отже, ми повинні змінити процес, який використовується в Example2.3.1 і Example2.3.2. Спочатку ми знаходимо значення y −4 на осі y, потім намалюємо горизонтальну стрілку, поки не перехопимо

WeChatd1ec47e296b2b9d4ccae38b2263430e3.png

Малюнок (\ Індекс сторінки {7}\). Знайшовши х так, щоf(x)=4.

графік f в P, як показано на малюнку (\ pageIndex {7}\) (b). Нарешті, ми малюємо вертикальну стрілку з точки Р, поки не перехопимо вісь х. Проекція точки Р на вісь х є рішеннямf(x)=4.

Оскільки у нас є сітка, яка показує масштаб на кожній осі, ми можемо наблизити значення x точки P. Здається, щоx5. Таким чином, позначаємо точку Р (5, f (5)), аf(x)=4 розчин приблизноx5.

Це рішення можна легко перевірити, обчисливши f (5). Просто почніть з 5 на осі x, а потім поверніть порядок стрілок, показаних на малюнку (\ pageIndex {7}\) (b). Ви повинні накрутити на −4 на осі y, демонструючи цеf(5)=4.

Домен та діапазон функції

Ми можемо використовувати графік функції для визначення її області та діапазону. Для прикладу розглянемо графік функції, показаний на малюнку (\ pageIndex {8}\) (a).

WeChatc628917f5209e265cad68a74dc718cd9.png

Малюнок (\ Індекс сторінки {8}\). Визначення області функції за її графіком.

Зауважте, що жодна вертикальна лінія не розрізає графік f більше одного разу, тому графік f представляє функцію.

Щоб визначити область, ми повинні зібрати значення x (перші координати) кожної точки на графіку f. На малюнку (\ pageIndex {8}\) (b) ми вибрали точку P на графіку f, яку потім проектуємо на вісь x. Зображення цієї проекції - точка Q, а значення x точки Q - елемент в області f.

Подумайте про проекцію, показану на малюнку (\ pageIndex {8}\) (b) наступним чином. Уявіть собі джерело світла над точкою P. Точка P блокує світло, а його тінь падає на вісь x у точці Q, тобто думайте про точку Q як «тінь», яку точка P створює, коли вона проектується вертикально на вісь x.

Тепер, щоб знайти область функції f, ми повинні спроектувати кожну точку на графіку f на вісь x. Ось питання: якщо ми проектуємо кожну точку на графіку f на вісь x, яка частина осі x буде «лежати в тіні», коли процес завершиться? Відповідь наведено на малюнку (\ pageIndex {8}\) (c).

На рисунку (\ pageIndex {8}\) (c) зауважте, що «тінь», створена проектуванням кожної точки на графіку f на вісь x, затінена червоним кольором (більш товста лінія, якщо ви переглядаєте це чорно-білим кольором). Ця колекція значень x є доменом функції f. Є три критичні точки, які нам потрібно зробити щодо «тіні» на осі x на малюнку (\ pageIndex {8}\) (c).

  1. Всі точки, що лежать міжx=3 ними,x=4 були затінені на осі x червоним кольором.
  2. Ліва кінцева точка графа f - це відкрите коло. Це вказує на те, що в цій кінцевій точці немає точки. Отже, немає сенсу проектувати на вісь x, і це пояснює відкрите коло в лівому кінці нашої «тіні» на осі x.
  3. З іншого боку, права кінцева точка графа f є заповненою кінцевою точкою. Це вказує на те, що це побудована точка і частина графіка f Отже, коли ця точка проектується на вісь x, тінь падає при x = 4. Це пояснює заповнену кінцеву точку в правому кінці нашої «тіні» на осі x.

Ми можемо описати значення x «тіні» на осі x за допомогою нотації set-builder.

 Domain of f={x:3<x4}

Зауважте, що ми не включаємо −3 до цього опису, оскільки лівий кінець тіні на осі x є порожнім колом. Зауважте, що ми включаємо 4 в цей опис, оскільки правий кінець тіні на осі x - це заповнене коло.

Ми також можемо описати значення x «тіні» на осі x за допомогою інтервальних позначень.

 Domain of f=(3,4]

Ми нагадуємо нашим читачам, що дужка зліва означає, що ми не включаємо −3, тоді як дужка праворуч означає, що ми включаємо 4.

Щоб знайти діапазон функції, зобразіть ще раз графік f, показаний на малюнку2.3.9 (а). Продовжуйте аналогічно, тільки на цей раз проект вказує на графік f на вісь y, як показано на малюнках2.3.9 (b) і (c).

WeChat91ace5f61626a0d88a599666a863e262.png

Малюнок2.3.9. Визначення діапазону функції за її графіком.

Зверніть увагу, яка частина осі y «лежить у тіні», коли ми спроектували всі точки на графіку f на вісь y.

  1. Усі точки, що лежать між нимиy=2 таy=4 були затінені на осі y червоним кольором (товстіший стиль лінії, якщо ви переглядаєте це чорно-білим кольором).
  2. Ліва кінцева точка графіка f є порожнім колом, тому немає сенсу проектувати на вісь y. Отже,y=2 на осі y немає «тіні», а точка залишається незаштрихованою (порожнє коло).
  3. Права кінцева точка графа f - це заповнене коло, томуy=4 на осі y є «тінь», і ця точка затінена (заповнене коло).

Тепер ми можемо легко описати діапазон як в set-builder, так і в інтервальному позначенні.

 Range of f=(2,4]={y:2<y4}

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад2.3.4

Використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису області та діапазону функції, представленої графіком на малюнку2.3.10 (a).

WeChat11e1cb781d324cd95715c88bb24c4ebf.png

Малюнок2.3.10. Визначення домену за графом f.

Рішення

Щоб визначити область f, спроектуйте кожну точку на графіку f на вісь x. Ця проекція позначається «тінню» на осі x на малюнку2.3.10 (b). З приводу цієї «тіні» або проекції потрібно зробити два важливих моменти.

1. Ліва кінцева точка графіка f порожня (позначається відкритим колом), тому вона не має проекції на вісь x. На це вказує розімкнуте коло на лівому кінці (вx=4) «тіні» або проекції на вісь x.

2. Стрілка на правому кінці графіка f вказує на те, що графік f триває вниз і вправо нескінченно. Отже, проекція на вісь х - це тінь, яка рухається нескінченно вправо. Це позначається стрілкою в правому кінці «тіні» або проекцією на вісь x.

Отже, область f - це сукупність значень x, представлених «тінню» або проекцією на вісь x. Зауважте, що всі значення x праворуч від нихx=4 затінені на осі x. Отже,

 Domain of f=(4,)={x:x>4}

Щоб знайти діапазон, ми повинні спроектувати кожну точку на графіку f (перемальований на малюнку2.3.11 (a)) на вісь y. Проекція позначається «тінню» або проекцією на вісь y, як показано на малюнку2.3.11 (b). З приводу цієї «тіні» або проекції потрібно зробити два важливих моменти.

WeChat4c1050b952bd4b520bee820ba22c36f2.png

Малюнок2.3.11. Визначення діапазону з графіка f.

  1. Ліва кінцева точка графіка f порожня (позначається відкритим колом), тому вона не має проекції на вісь y. Це позначається відкритим колом у верхньому кінці (aty=3) «тіні» на осі y.
  2. Стрілка на правому кінці графіка f вказує на те, що графік f триває вниз і вправо нескінченно. Отже, проекція графіка f на вісь y - це тінь, яка рухається нескінченно вниз. На малюнку2.3.11 (b) зверніть увагу на те, як проекції точок на графіку f, не видимих у вікні перегляду, заходять з правого нижнього кута і відкидають «тіні» на вісь y.

Отже, діапазон f - це сукупність значень y, затінених на осі y системи координат, показаної на малюнку2.3.11 (b). Зауважте, що всі значення y, нижчіy=3 за, затінені на осі y. Таким чином, діапазон f дорівнює

 Range of f=(,3)={y:y<3}

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад2.3.5

Використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису області та діапазону функції, представленої графіком на малюнку2.3.12 (a).

WeChat080fc1997f33e435e87b404eb741d0d6.png

Малюнок2.3.12. Визначення домену за графом f.

Рішення

Щоб визначити область f, ми повинні спроектувати всі точки на графіку f на вісь x. Ця проекція позначається червоною «тінню» (або більш товстим стилем лінії, якщо ви переглядаєте це чорно-білим кольором), показаним на осі x на малюнку2.3.12 (b). З приводу цієї «тіні» або проекції потрібно зробити два важливих моменти.

  1. Стрілка в кінці лівої половини графіка f на малюнку2.3.12 (а) вказує на те, що ця половина графіка f відкривається нескінченно вліво і вгору. Отже, коли точки на лівій половині графіка f проектуються на вісь x, «тінь» або проекція поширюється на невизначений термін вліво. Зверніть увагу, як точки на графіку, які потрапляють за межі вікна перегляду, потрапляють з лівого верхнього кута і відкидають «тіні» на вісь x.
  2. Стрілка в кінці правої половини графіка f на малюнку2.3.12 (а) вказує на те, що ця половина графіка f відкривається нескінченно вправо і вгору. Отже, коли точки на цій половині графіка f проектуються на вісь x, «тінь» або проекція поширюється на невизначений термін вправо.

Отже, вся вісь x лежить в «тіні», що робить область f бути

 Domain of f=(,)={x:xR}

Щоб визначити діапазон f, ми повинні спроектувати всі точки на графіку f на вісь y. Ця проекція позначається червоною «тінню» (або більш товстою лінією, якщо ви переглядаєте її чорно-білим кольором), показаною на осі y на малюнку2.3.13 (b). Два важливих моменти потрібно зробити з приводу цієї «тіні» або проекції.

WeChatc266aa4f40429c933c110319bf270a40.png

Малюнок2.3.13. Визначення діапазону з графіка f.

  1. Графік f проходить через початок (точка (0, 0)). Це найнижча точка на графіку і, отже, її тінь є кінцевою точкою на нижньому кінці затіненої області на осі y.
  2. Стрілки в кінці кожної половини графіка f вказують на те, що графік відкривається вгору нескінченно довго. Отже, коли точки на графіку f проектуються на вісь y, «тінь» або проекція поширюється вгору на невизначений термін. Про це вказує стрілка на верхньому кінці «тіні» на осі у.

Отже, всі точки на осі Y вище і включаючи точку на початку «лежать в тіні». Таким чином, діапазон f дорівнює

 Range of f=[0,)={y:y0}

Використання графічного калькулятора для визначення домену та діапазону

Ми дізналися, як знайти область і діапазон функції, подивившись на її графік. Тому, якщо ми визначимо функцію за допомогою виразу, наприкладf(x)=4x, то ми повинні мати можливість захопити область і діапазон f з її графіка, за умови, звичайно, що ми можемо намалювати графік f Ми знайдемо графічний калькулятор буде зручним інструментом для цієї вправи.

Приклад2.3.6

Використовуйте set-builder та інтервальне позначення для опису домену та діапазону функції, визначеної правилом

f(x)=4x

Рішення

Завантажте вираз, що визначає f, у меню Y=, як показано на малюнку2.3.14 (a). Виберіть 6:ZStandard у меню ZOOM, щоб створити графік f, показаний на малюнку2.3.14 (b).

WeChatf219f61baac15f6eb54b0f42a5738828.png

Малюнок2.3.14. Начерк графікаf(x)=4x.

Скопіюйте зображення на малюнку2.3.14 (b) на аркуш графічного паперу. Позначте та масштабуйте кожну вісь за допомогою параметрів WINDOW xmin, xmax, ymin та ymax, як показано на малюнку2.3.15 (а).

WeChata042a60ce383182bc9a3ba387405aea2.png

Малюнок2.3.15. Захоплення доменуf(x)=4x з його графа.

Далі спроектуйте кожну точку на графіку f на вісь x, як показано на малюнку2.3.15 (b). Зауважте, що ми зробили два припущення щодо графіка f.

  1. У лівому кінці графіка на рисунках2.3.14 (b) і2.3.15 (b) припускаємо, що графік f триває вгору і вліво до нескінченності. Значить, «тінь» або проекція на вісь x будуть рухатися на невизначений час вліво. Це вказується прикріпленням наконечника стрілки до лівого кінця області, яка «лежить у тіні» на осі x, як показано на малюнку2.3.15 (b).
  2. Також припустимо, що правий кінець графіка закінчується в точці(4,0). Це враховує «заповнену крапку», коли ця точка на графіку f проектується на вісь x.

Зверніть увагу, що «тінь» або проекція на вісь x на малюнку2.3.15 (b) включає всі значення x менше або дорівнює 4. Таким чином, доменом f є Domain of f=(,4]={x:x4}

Ми можемо інтуїтивно зрозуміти цей результат, розглядаючи вираз, що визначає f. тобто розглянути правило або визначення

f(x)=4x

Нагадаємо, що раніше ми визначали область f як набір «допустимих» x-значень. У цьому випадку неможливо взяти квадратний корінь негативного числа, тому ми повинні бути обережними, вибираючи значення x, які ми використовуємо в цьому правилі. Відзначимо,x=4 що допустимо, як

f(0)=44=0=0

Однак цифри більше 4 не можуть бути використані в цьому правилі. Наприклад, розглянемо, що відбувається, коли ми намагаємося використовуватиx=5.

f(x)=45=1

Ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити інші значення х, які менше 4. Вони також дадуть реальні відповіді, коли вони вводяться в правилоf(x)=4x. Зауважте, що це також підтверджує нашу попередню гіпотезу про те, що «тінь» або проекція, показана на малюнку2.3.15 (b), триває нескінченно ліворуч.

Замість того, щоб «гадати і перевіряти», ми можемо прискорити аналіз області,f(x)=4x зазначивши, що вираз під радикалом не повинно бути негативним числом. Отже,4x повинен бути або більше, або дорівнює нулю. Цей аргумент створює нерівність, яка легко вирішується для x.

4x0x4x4

Цей останній результат перевіряє, що область f - це всі значення x, які менше або рівні 4, що повністю узгоджується з «тінню» або проекцією на вісь x, показану на малюнку2.3.15 (b).

Щоб визначити діапазон f, ми повинні спроектувати кожну точку на графіку f на вісь y, як показано на малюнку2.3.16 (b).

Знову зробимо два припущення про графі f.

1. У лівому кінці графіка наf(x)=4x рисунках2.3.14 (b) і2.3.16 (b) ми вважаємо, що графік f триває вгору і вліво до нескінченності. Таким чином, коли точки на графіку f проектуються на вісь y, з'являться проекції, що виходять з верхнього лівого краю від точок на графіку f, які не видно у вікні перегляду, вибраному на малюнку2.3.14 (b). Отже, «тінь» або проекція на осі y, показану на малюнку2.3.16 (b), продовжують вгору нескінченно довго. Це позначається стрілкою у верхньому кінці «тіні» на осі y на малюнку2.3.16 (b).

WeChat3b4bee6f9abfad00ebae0aa73aaf8b2d.png

Малюнок2.3.16. Визначення діапазонуf(x)=4x за своїм графіком.

2. Знову припускаємо, що правий кінець графіка f закінчується в точці(4,0). Проекція цієї точки на вісь y створює «заповнену» кінцеву точку на початку, показаному на малюнку2.3.16 (b).

Зверніть увагу, що «тінь» або проекція на вісь y на малюнку2.3.16 (b) включає всі значення y, які більше або рівні нулю. Отже,

 Range of f=[0,)={y:y0}