7.5: Загальна стратегія факторингу поліномів

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Розпізнайте та використовуйте відповідний метод для повного множника

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Фактор$y^{2}-2 y-24$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 7.2.19.
2. Фактор$3 t^{2}+17 t+10$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 7.3.28.
3. Фактор$36 p^{2}-60 p+25$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 7.4.1.
4. Фактор$5 x^{2}-80$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 7.4.31.

Розпізнайте та використовуйте відповідний метод для повного фактору полінома

Ви зараз ознайомилися з усіма методами факторингу, які вам знадобляться в даному курсі. (У наступному курсі алгебри до вашого репертуару буде додано більше методів.) На малюнку нижче узагальнено всі методи факторингу, які ми розглянули. Рисунок$\PageIndex{1}$ окреслює стратегію, яку слід використовувати при факторингу поліномів.

Малюнок$\PageIndex{1}$

ФАКТОРНІ МНОГОЧЛЕНИ.

1. Чи існує найбільший загальний фактор?
   • Фактор це поза.
2. Поліном є біноміальним, триноміальним, або існує більше трьох членів?
   • Якщо це біном:
     це сума?
     • З квадратів? Суми квадратів не коефіцієнт.
     • З кубиків? Використовуйте шаблон суми кубиків.
     Це різниця?
     • З квадратів? Фактор як добуток кон'югатів.
     • З кубиків? Використовуйте різницю кубиків візерунка.
   • Якщо це триноміал:
     це форма$x^{2}+b x+c ?$? Скасувати фольгу.
     Це форми$a x^{2}+b x+c$?
     • Якщо aa та cc є квадратами, перевірте, чи відповідає він шаблону триноміального квадрата.
     • Використовуйте метод проб і помилок або «ac».
   • Якщо він містить більше трьох термінів:
     скористайтеся методом групування.
3. Перевірте.
   • Чи повністю це враховується?
   • Чи множиться множник до початкового многочлена?

Пам'ятайте, поліном повністю враховується, якщо, крім мономів, його фактори прості!

Вправа$\PageIndex{1}$

Фактор повністю:$4 x^{5}+12 x^{4}$

Відповідь

\ (\ begin {масив} {lll}\ text {Чи є GCF? } &\ text {Так,} 4 x^ {4} & 4 x^ {5} +12 x^ {4}\\ text {Фактор з GCF.} & &4 x^ {4} (x+3)\\ text {У дужках це біноміал, a} &\\ text {триноміальний, або існує більше трьох термінів? } &\ text {Біноміальний.} &\\ quad\ text {Це сума? } &\ text {Так.}\\ quad\ text {З квадратів? З кубиків? } &\ text {No.}\\ text {Перевірте.}
\\\ quad\ text {Чи повністю враховано вираз? } &\ текст {Так.}\\ quad\ текст {Множення.}\\\ почати {масив} {l} {4 x^ {4} (x+3)}\\ {4 x^ {4}\ cdot x+4 x^ {4}\ cdot 3}\\ {4 x^ {5} +12 x^ {4}}\ галочка\ кінець {масив}}\)

Вправа$\PageIndex{2}$

Фактор повністю:$3 a^{4}+18 a^{3}$

Відповідь

3$a^{3}(a+6)$

Вправа$\PageIndex{3}$

Фактор повністю:$45 b^{6}+27 b^{5}$

Відповідь

9$b^{5}(5 b+3)$

Вправа$\PageIndex{4}$

Фактор повністю:$12 x^{2}-11 x+2$

Відповідь

Чи є GCF?	Ні.
Це біноміальний, триноміальний, або існує більше трьох термінів?	Тримінал.
Чи ідеальні квадрати a і c?	Ні, а = 12, не ідеальний квадрат.
Використовуйте метод проб і помилок або метод «ac». Тут ми будемо використовувати метод проб і помилок.

Перевірте. $\begin{array}{l}{(3 x-2)(4 x-1)} \\ {12 x^{2}-3 x-8 x+2} \\ {12 x^{2}-11 x+2 }\checkmark \end{array}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Фактор повністю:$10 a^{2}-17 a+6$

Відповідь

$(5 a-6)(2 a-1)$

Вправа$\PageIndex{6}$

Фактор повністю:$8 x^{2}-18 x+9$

Відповідь

$(2 x-3)(4 x-3)$

Вправа$\PageIndex{7}$

Фактор повністю:$g^{3}+25 g$

Відповідь

$\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, g.} &g^{3}+25 g \\\text { Factor out the GCF. } & &g\left(g^{2}+25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \quad \text { Is it a sum? Of squares? } & \text { Yes. } & \text { Sums of squares are prime. } \\\text { Check. } \\ \\ \quad \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } \\ \quad \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{g\left(g^{2}+25\right)} \\ {g^{3}+25 g }\checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Фактор повністю:$x^{3}+36 x$

Відповідь

$x\left(x^{2}+36\right)$

Вправа$\PageIndex{9}$

Фактор повністю:$27 y^{2}+48$

Відповідь

3$\left(9 y^{2}+16\right)$

Вправа$\PageIndex{10}$

Фактор повністю:$12 y^{2}-75$

Відповідь

$\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &12 y^{2}-75 \\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(4 y^{2}-25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \text { Is it a sum?} & \text { No. } & \\ \text { Is it a difference? Of squares or cubes? } &\text { Yes, squares. } & 3\left((2 y)^{2}-(5)^{2}\right) \\ \text { Write as a product of conjugates. } & &3(2 y-5)(2 y+5)\\\text { Check. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? } & \text{ Yes.}& \\ \text { Neither binomial is a difference of } \\ \text { squares. } \\ \text{ Multiply.} \\ \quad \begin{array}{l}{3(2 y-5)(2 y+5)} \\ {3\left(4 y^{2}-25\right)} \\ {12 y^{2}-75}\checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{11}$

Фактор повністю:$16 x^{3}-36 x$

Відповідь

4$x(2 x-3)(2 x+3)$

Вправа$\PageIndex{12}$

Фактор повністю:$27 y^{2}-48$

Відповідь

3$(3 y-4)(3 y+4)$

Вправа$\PageIndex{13}$

Фактор повністю:$4 a^{2}-12 a b+9 b^{2}$

Відповідь

Чи є GCF?	Ні.
Це біноміальне, триноміальне, чи є більше термінів?
Триноміал с$a\neq 1$. Але перший термін - це ідеальний квадрат.
Останній термін - ідеальний квадрат?	Так.
Чи підходить він до візерунка,$a^{2}-2 a b+b^{2}$?	Так.
Напишіть його у вигляді квадрата.
Перевірте свою відповідь.
Чи повністю врахований вираз?
Так.
Біноміал - це не різниця квадратів.
Помножити.
$(2 a-3 b)^{2}$
$(2 a)^{2}-2 \cdot 2 a \cdot 3 b+(3 b)^{2}$
$4 a^{2}-12 a b+9 b^{2} \checkmark$

Вправа$\PageIndex{14}$

Фактор повністю:$4 x^{2}+20 x y+25 y^{2}$

Відповідь

$(2 x+5 y)^{2}$

Вправа$\PageIndex{15}$

Фактор повністю:$9 m^{2}+42 m n+49 n^{2}$

Відповідь

$(3 m+7 n)^{2}$

Вправа$\PageIndex{16}$

Фактор повністю:$6 y^{2}-18 y-60$

Відповідь

$\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 6.} &6 y^{2}-18 y-60 \\\text { Factor out the GCF. } & \text { Trinomial with leading coefficient } 1&6\left(y^{2}-3 y-10\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more terms? } & & \\ \text { "Undo' FOIL. } & 6(y\qquad )(y\qquad ) &6(y+2)(y-5) \\ \text { Check your answer. } \\ \text { Is the expression factored completely? } & & \text{ Yes.} \\ \text { Neither binomial is a difference of squares. } \\ \text { Multiply. } \\ \\\qquad \begin{array}{l}{6(y+2)(y-5)} \\ {6\left(y^{2}-5 y+2 y-10\right)} \\ {6\left(y^{2}-3 y-10\right)} \\ {6 y^{2}-18 y-60} \checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{17}$

Фактор повністю:$8 y^{2}+16 y-24$

Відповідь

8$(y-1)(y+3)$

Вправа$\PageIndex{18}$

Фактор повністю:$5 u^{2}-15 u-270$

Відповідь

5$(u-9)(u+6)$

Вправа$\PageIndex{19}$

Фактор повністю:$24 x^{3}+81$

Відповідь

Чи є GCF?	Так, 3.	$24 x^{3}+81$
Фактор це поза.		3$\left(8 x^{3}+27\right)$
У дужках це біноміальне, триноміальне, чи є більше трьох членів?	Біноміальний.
Це сума чи різниця?	Сума.
З квадратів або кубиків?	Сума кубів.
Напишіть його, використовуючи шаблон суми кубиків.
Чи повністю враховано вираз?	Так.	3$(2 x+3)\left(4 x^{2}-6 x+9\right)$
Перевірка шляхом множення.		Ми залишаємо чек вам.

Вправа$\PageIndex{20}$

Фактор повністю:$250 m^{3}+432$

Відповідь

2$(5 m+6)\left(25 m^{2}-30 m+36\right)$

Вправа$\PageIndex{21}$

Фактор повністю:$81 q^{3}+192$

Відповідь

$3(3q+4)\left(9q^{2}-12 q+16\right)$

Вправа$\PageIndex{22}$

Фактор повністю:$2 x^{4}-32$

Відповідь

$\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &2 x^{4}-32 \\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(x^{4}-16\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } & \text { Binomial. }& \\ \text { Is it a sum or difference? } &\text { Yes. }& \\\text { Of squares or cubes? } & \text { Difference of squares. } & 2\left(\left(x^{2}\right)^{2}-(4)^{2}\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { The first binomial is again a difference of squares. } & & 2\left((x)^{2}-(2)^{2}\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } & \\ \\ \text { None of these binomials is a difference of squares. } \\ \text { Check your answer. } \\ \text{ Multiply. }\\ \\ \qquad \qquad \begin{array}{l}{2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-10)} \\ {2 x^{4}-32} \checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{23}$

Фактор повністю:$4 a^{4}-64$

Відповідь

4$\left(a^{2}+4\right)(a-2)(a+2)$

Вправа$\PageIndex{24}$

Фактор повністю:$7 y^{4}-7$

Відповідь

7$\left(y^{2}+1\right)(y-1)(y+1)$

Вправа$\PageIndex{25}$

Фактор повністю:$3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b$

Відповідь

$\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b\\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(x^{2}+2 b x-a x-2 a b\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { More than } 3 & \\ \text { or are there more terms? } &\text { terms. } & \\ \text { Use grouping. } & & \begin{array}{c}{3[x(x+2 b)-a(x+2 b)]} \\ {3(x+2 b)(x-a)}\end{array} \\ \text { Check your answer. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? Yes. } \\ \text { Multiply. } \\\qquad \qquad \begin{array}{l}{3(x+2 b)(x-a)} \\ {3\left(x^{2}-a x+2 b x-2 a b\right)} \\ {3 x^{2}-3 a x+6 b x-6 a b} \checkmark \end{array}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{26}$

Фактор повністю:$6 x^{2}-12 x c+6 b x-12 b c$

Відповідь

6$(x+b)(x-2 c)$

Вправа$\PageIndex{27}$

Фактор повністю:$16 x^{2}+24 x y-4 x-6 y$

Відповідь

2$(4 x-1)(x+3 y)$

Вправа$\PageIndex{28}$

Фактор повністю:$10 x^{2}-34 x-24$

Відповідь

$\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &10 x^{2}-34 x-24\\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { Trinomial with } & \\ \text { or are there more than three terms? } &\space a \neq 1 & \\ \text { Use trial and error or the "ac" method. } & & 2\left(5 x^{2}-17 x-12\right) \\ & & 2(5 x+3)(x-4) \\ \text { Check your answer. Is the expression factored } \\\text { completely? Yes. }\\ \\ \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{2(5 x+3)(x-4)} \\ {2\left(5 x^{2}-20 x+3 x-12\right)} \\ {2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)} \\ {10 x^{2}-34 x-24}\checkmark \end{array}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{29}$

Фактор повністю:$4 p^{2}-16 p+12$

Відповідь

4$(p-1)(p-3)$

Вправа$\PageIndex{30}$

Фактор повністю:$6 q^{2}-9 q-6$

Відповідь

3$(q-2)(2 q+1)$

Ключові концепції

• Загальна стратегія факторингу поліномів див$\PageIndex{1}$. Рис.
• Як зробити множинні поліноми
  1. Чи існує найбільший загальний фактор? Фактор це поза.
  2. Поліном є біноміальним, триноміальним, або існує більше трьох членів?
     • Якщо це біном:
       це сума?
       • З квадратів? Суми квадратів не коефіцієнт.
       • З кубиків? Використовуйте шаблон суми кубиків.
       Це різниця?
       • З квадратів? Фактор як добуток кон'югатів.
       • З кубиків? Використовуйте різницю кубиків візерунка.
     • Якщо це триноміал:
       це форма$x^{2}+b x+c$? Скасувати фольгу.
       Це форми$a x^{2}+b x+c$?
       • Якщо 'a' і 'c' є квадратами, перевірте, чи відповідає він триноміальному квадратному шаблону.
       • Використовуйте метод проб і помилок або «ac».
     • Якщо він містить більше трьох термінів:
       скористайтеся методом групування.
  3. Перевірте. Чи повністю це враховується? Чи множиться множник до початкового многочлена?