Глава 5 Огляд вправ

Глава 5 Огляд вправ

Розв'язуйте системи рівнянь за допомогою графіків

Визначте, чи є впорядкована пара розв'язком системи рівнянь.

У наступних вправах визначте, чи є наступні пункти розв'язками заданої системи рівнянь.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\left\{\begin{array}{l}{x+3 y=-9} \\ {2 x-4 y=12}\end{array}\right.$

1. (−3, −2)
2. (0, −3)

Відповідь

1. ні
2. так

Вправа$\PageIndex{2}$

$\left\{\begin{array}{l}{x+y=8} \\ {y=x-4}\end{array}\right.$

1. (6,2)
2. (9, −1)

Розв'язуйте систему лінійних рівнянь шляхом графікування

У наступних вправах розв'яжіть наступні системи рівнянь шляхом побудови графіків.

Вправа$\PageIndex{3}$

$\left\{\begin{array}{l}{3 x+y=6} \\ {x+3 y=-6}\end{array}\right.$

Відповідь

(3, −3)

Вправа$\PageIndex{4}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2} \\ {y=-2 x-2}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\left\{\begin{array}{l}{2 x-y=6} \\ {y=4}\end{array}\right.$

Відповідь

(5,4)

Вправа$\PageIndex{6}$

$\left\{\begin{array}{l}{x+4 y=-1} \\ {x=3}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\left\{\begin{array}{l}{2 x-y=5} \\ {4 x-2 y=10}\end{array}\right.$

Відповідь

збігаються лінії

Вправа$\PageIndex{8}$

$\left\{\begin{array}{l}{-x+2 y=4} \\ {y=\frac{1}{2} x-3}\end{array}\right.$

Визначте кількість розв'язків лінійної системи

У наступних вправах без графіків визначають кількість розв'язків, а потім класифікують систему рівнянь.

Вправа$\PageIndex{9}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{5} x+2} \\ {-2 x+5 y=10}\end{array}\right.$

Відповідь

нескінченно багато розв'язків, послідовна система, залежні рівняння

Вправа$\PageIndex{10}$

$\left\{\begin{array}{l}{3 x+2 y=6} \\ {y=-3 x+4}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{11}$

$\left\{\begin{array}{l}{5 x-4 y=0} \\ {y=\frac{5}{4} x-5}\end{array}\right.$

Відповідь

відсутність розв'язків, непослідовна система, незалежні рівняння

Вправа$\PageIndex{12}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4} x+1} \\ {6 x+8 y=8}\end{array}\right.$

Розв'язування застосувань систем рівнянь методом графування

Вправа$\PageIndex{13}$

LaVelle робить глечик з кафе мокко. На кожну унцію шоколадного сиропу вона використовує п'ять унцій кави. Скільки унцій шоколадного сиропу і скільки унцій кави їй потрібно, щоб зробити 48 унцій кави мокко?

Відповідь

LaVelle потрібно 8 унцій шоколадного сиропу і 40 унцій кави.

Вправа$\PageIndex{14}$

Елі робить партійний мікс, який містить кренделі та шекс. На кожну чашку кренделі він використовує три чашки шексу. Скільки чашок кренделів і скільки чашок шекс йому потрібно, щоб зробити 12 чашок партійної суміші?

Розв'язування систем рівнянь шляхом заміщення

Розв'язувати систему рівнянь шляхом заміщення

У наступних вправах розв'яжіть системи рівнянь шляхом підстановки.

Вправа$\PageIndex{15}$

$\left\{\begin{array}{l}{3 x-y=-5} \\ {y=2 x+4}\end{array}\right.$

Відповідь

(−1,2)

Вправа$\PageIndex{16}$

$\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=2} \\ {y=\frac{1}{2} x+3}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0} \\ {2 x+5 y=-14}\end{array}\right.$

Відповідь

(−2, −2)

Вправа$\PageIndex{18}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+7} \\ {y=\frac{2}{3} x-1}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-5 x} \\ {5 x+y=6}\end{array}\right.$

Відповідь

немає рішення

Вправа$\PageIndex{20}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3} x+2} \\ {x+3 y=6}\end{array}\right.$

Розв'язування застосувань систем рівнянь заміщенням

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{21}$

Сума двох чисел дорівнює 55. Одне число на 11 менше іншого. Знайдіть цифри.

Відповідь

Цифри - 22 і 33.

Вправа$\PageIndex{22}$

Периметр прямокутника дорівнює 128. Довжина на 16 більше ширини. Знайдіть довжину і ширину.

Вправа$\PageIndex{23}$

Міра одного з малих кутів прямокутного трикутника в 2 менше, ніж в 3 рази міра іншого малого кута. Знайдіть міру обох кутів.

Відповідь

Заходи - 23 градуси і 67 градусів.

Вправа$\PageIndex{24}$

Габріела працює в страховій компанії, яка виплачує їй зарплату в розмірі 32 000 доларів плюс комісія в розмірі 100 доларів за кожен поліс, який вона продає. Вона розглядає можливість зміни роботи на компанію, яка б заплатила зарплату в розмірі 40 000 доларів плюс комісія в розмірі 80 доларів за кожен проданий поліс. Скільки полісів потрібно було б продати Габріелі, щоб загальна оплата була однаковою?

Розв'язувати системи рівнянь шляхом ліквідації

Розв'яжіть систему рівнянь шляхом усунення У наступних вправах розв'яжіть системи рівнянь шляхом усунення.

Вправа$\PageIndex{25}$

$\left\{\begin{array}{l}{x+y=12} \\ {x-y=-10}\end{array}\right.$

Відповідь

(1,11)

Вправа$\PageIndex{26}$

$\left\{\begin{array}{l}{4 x+2 y=2} \\ {-4 x-3 y=-9}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{27}$

$\left\{\begin{array}{l}{3 x-8 y=20} \\ {x+3 y=1}\end{array}\right.$

Відповідь

(4, −1)

Вправа$\PageIndex{28}$

$\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=6} \\ {4 x+3 y=8}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{29}$

$\left\{\begin{array}{l}{9 x+4 y=2} \\ {5 x+3 y=5}\end{array}\right.$

Відповідь

(−2,5)

Вправа$\PageIndex{30}$

$\left\{\begin{array}{l}{-x+3 y=8} \\ {2 x-6 y=-20}\end{array}\right.$

Розв'язування застосувань систем рівнянь шляхом ліквідації

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{31}$

Сума двох чисел дорівнює −90. Їх відмінність становить 16. Знайдіть цифри.

Відповідь

Числа: −37 та −53.

Вправа$\PageIndex{32}$

Омар щодня зупиняється в магазині пончиків по дорозі на роботу. Минулого тижня у нього було 8 пончиків та 5 капучіно, що дало йому загалом 3000 калорій. Цього тижня у нього було 6 пончиків та 3 капучіно, що загалом склало 2160 калорій. Скільки калорій в одному пончику? Скільки калорій в одному капучино?

Виберіть найбільш зручний метод розв'язання системи лінійних рівнянь

У наступних вправах визначитеся, чи зручніше буде вирішувати систему рівнянь шляхом підстановки або усунення.

Вправа$\PageIndex{33}$

$\left\{\begin{array}{l}{6 x-5 y=27} \\ {3 x+10 y=-24}\end{array}\right.$

Відповідь

усунення

Вправа$\PageIndex{34}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=3 x-9} \\ {4 x-5 y=23}\end{array}\right.$

Розв'язуйте програми з системами рівнянь

Перекласти на систему рівнянь

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь. Чи не вирішуйте систему.

Вправа$\PageIndex{35}$

Сума двох чисел дорівнює −32. Одне число на два менше, ніж удвічі більше іншого. Знайдіть цифри.

Відповідь

$\left\{\begin{array}{l}{x+y=-32} \\ {x=2 y-2}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{36}$

Чотири рази більше числа плюс тричі друге число −9. Двічі перше число плюс друге число - три. Знайдіть цифри.

Вправа$\PageIndex{37}$

Минулого місяця Джим і Деббі заробили $7200. Деббі заробила на 1,600 доларів більше, ніж заробив Джим. Скільки кожен заробив?

Відповідь

$\left\{\begin{array}{l}{j+d=7200} \\ {d=j+1600}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{38}$

Анрі має $24,000 інвестували в акції та облігації. Сума в акціях на 6000 доларів більше, ніж втричі перевищує суму в облігаціях. Скільки коштує кожна інвестиція?

Розв'язуйте програми прямого перекладу

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{39}$

Пем на 3 роки старша за свою сестру, січня, сума їхнього віку становить 99 років. Знайдіть їх вік.

Відповідь

Пем 51 рік, а Яну - 48.

Вправа$\PageIndex{40}$

Моллі хоче посадити 200 цибулин у своєму саду. Вона хоче всіх ірисів і тюльпанів. Вона хоче посадити в три рази більше тюльпанів, ніж ірисів. Скільки ірисів і скільки тюльпанів їй посадити?

Вирішити додатки геометрії

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{41}$

Різниця двох додаткових кутів становить 58 градусів. Знайдіть міри кутів.

Відповідь

Заходи - 119 градусів і 61 градус.

Вправа$\PageIndex{42}$

Два кута взаємодоповнюють один одного. Міра більшого кута в п'ять більше чотирьох разів перевищує міру меншого кута. Знайдіть міри обох кутів.

Вправа$\PageIndex{43}$

Бекка висить квіткову гірлянду 28 футів з двох сторін і зверху перголи, щоб підготуватися до весілля. Висота на чотири фути менше ширини. Знайдіть висоту і ширину перголи.

Відповідь

Пергола має висоту 8 футів і ширину 12 футів.

Вправа$\PageIndex{44}$

Периметр міського прямокутного парку становить 1428 футів. Довжина на 78 футів більше, ніж в два рази більше ширини. Знайдіть довжину і ширину парку.

Вирішити рівномірні програми руху

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{45}$

Шейла і Ленор їхали в будинок своєї бабусі. Ленор пішов через годину після Шейли. Шейла їхала зі швидкістю 45 миль/год, а Ленор їхав зі швидкістю 60 миль/год. Скільки часу знадобиться Ленору, щоб наздогнати Шейлу?

Відповідь

На це піде Леноре 3 години.

Вправа$\PageIndex{46}$

Боб пішов з дому, катаючись на своєму велосипеді зі швидкістю 10 миль на годину, щоб відправитися до озера. Шеріл, його дружина, поїхала через 45 хвилин ($\frac{3}{4}$годину), керуючи своїм автомобілем зі швидкістю 25 миль на годину. Скільки часу знадобиться Шеріл, щоб наздогнати Боба?

Вправа$\PageIndex{47}$

Маркус може проїхати свій човен 36 миль вниз по річці протягом трьох годин, але займає чотири години, щоб повернутися вгору за течією. Знайти швидкість човна в негазованій воді і швидкість течії.

Відповідь

Швидкість катера - 10,5 миль/год. Швидкість течії - 1,5 миль/год.

Вправа$\PageIndex{48}$

Пасажирський літак може пролетіти 804 миль за 2 години з попутним вітром, але лише 776 миль за 2 години в зустрічному вітрі. Знайдіть швидкість струменя в нерухомому повітрі і швидкість вітру.

Розв'язування сумішшних застосувань з системами рівнянь

Вирішити додатки суміші

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{49}$

Лінн заплатила в цілому 2780 доларів за 261 квиток в театр. Студентські квитки коштують 10 доларів, а дорослі - 15 доларів. Скільки студентських квитків і скільки квитків для дорослих купила Лінн?

Відповідь

Лінн купила 227 студентських квитків і 34 дорослі квитки.

Вправа$\PageIndex{50}$

У Priam є копійки і копійки в підстаканнику в своїй машині. Загальна вартість монет становить $4.21. Кількість копійок в три менше, ніж в чотири рази перевищує кількість копійок. Скільки копійок і скільки копійок в чашці?

Вправа$\PageIndex{51}$

Юмі хоче зробити 12 чашок партійної суміші, використовуючи цукерки та горіхи. Її бюджет вимагає, щоб партійна суміш коштувала їй $1,29 за чашку. Цукерки становлять $2,49 за чашку, а горіхи - 0,69 долара за чашку. Скільки чашок цукерок і скільки чашок горіхів вона повинна вживати?

Відповідь

Юмі слід використовувати 4 чашки цукерок і 8 чашок горіхів.

Вправа$\PageIndex{52}$

Вченому потрібно 70 літрів 40% -ного розчину спирту. У нього є 30% і 60% розчин в наявності. Скільки літрів 30% і скільки літрів 60% розчинів він повинен змішувати, щоб вийшов 40% розчин?

Вирішити інтереси додатків

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{53}$

Джек має $12,000, щоб інвестувати і хоче заробляти 7,5% відсотків на рік. Він покладе частину грошей на ощадний рахунок, який заробляє 4% на рік, а решту на рахунок CD, який заробляє 9% на рік. Скільки грошей він повинен покласти на кожен рахунок?

Відповідь

Джек повинен покласти $3600 в економію і $8400 на компакт-диск.

Вправа$\PageIndex{54}$

Коли вона закінчить коледж, Лінда заборгуватиме 43 000 доларів студентських кредитів. Процентна ставка за федеральними кредитами становить 4,5%, а ставка по кредитах приватного банку - 2%. Загальний відсоток, який вона заборгувала за один рік, становив 1585 доларів. Яка сума кожного кредиту?

Графічні системи лінійних нерівностей

Визначити, чи є впорядкована пара розв'язком системи лінійних нерівностей

У наступних вправах визначте, чи є кожна впорядкована пара рішенням системи.

Вправа$\PageIndex{55}$

$\left\{\begin{array}{l}{4 x+y>6} \\ {3 x-y \leq 12}\end{array}\right.$

1. (2, −1)
2. (3, −2)

Відповідь

1. так
2. ні

Вправа$\PageIndex{56}$

$\left\{\begin{array}{l}{y>\frac{1}{3} x+2} \\ {x-\frac{1}{4} y \leq 10}\end{array}\right.$

1. (6,5)
2. (15,8)

Розв'язувати систему лінійних нерівностей за допомогою графіків

У наступних вправах вирішуйте кожну систему за допомогою графіків.

Вправа$\PageIndex{57}$

$\left\{\begin{array}{l}{y<3 x+1} \\ {y \geq-x-2}\end{array}\right.$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{58}$

$\left\{\begin{array}{l}{x-y>-1} \\ {y<\frac{1}{3} x-2}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{59}$

$\left\{\begin{array}{l}{2 x-3 y<6} \\ {3 x+4 y \geq 12}\end{array}\right.$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{60}$

$\left\{\begin{array}{l}{y \leq-\frac{3}{4} x+1} \\ {x \geq-5}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{61}$

$\left\{\begin{array}{l}{x+3 y<5} \\ {y \geq-\frac{1}{3} x+6}\end{array}\right.$

Відповідь

Немає рішення

Вправа$\PageIndex{62}$

$\left\{\begin{array}{l}{y \geq 2 x-5} \\ {-6 x+3 y>-4}\end{array}\right.$

Розв'язування застосувань систем нерівностей

У наступних вправах переведіть на систему нерівностей і вирішуйте.

Вправа$\PageIndex{63}$

Роксана виготовляє браслети та намиста і продає їх на фермерському ринку. Вона продає браслети по 12 доларів кожен, а намиста по 18 доларів кожен. На ринку в наступні вихідні у неї буде місце для демонстрації не більше 40 штук, а їй потрібно продати мінімум $500 вартістю, щоб заробити прибуток.

1. Напишіть систему нерівностей для моделювання цієї ситуації.
2. Графік системи.
3. Чи повинна вона відображати 26 браслетів і 14 намиста?
4. Чи повинна вона відображати 39 браслетів і 1 намисто?

Відповідь

1. $\left\{\begin{array}{l}{b+n \leq 40} \\ {12 b+18 n \geq 500}\end{array}\right.$

3. так
4. ні

Вправа$\PageIndex{64}$

Енні має бюджет у розмірі 600 доларів на придбання книг у м'якій обкладинці та книг у твердій палітурці для її класу. Вона хоче, щоб кількість обкладинки в твердій обкладинці була щонайменше на 5 більше, ніж втричі більше, ніж кількість книг у м'якій обкладинці. Книги в м'якій обкладинці коштують 4 долари, а книги в твердій обкладинці коштують 15 доларів кожна.

1. Напишіть систему нерівностей для моделювання цієї ситуації.
2. Графік системи.
3. Чи може вона придбати 8 книг у м'якій обкладинці та 40 книг у твердій палітурці?
4. Чи може вона придбати 10 книг у м'якій обкладинці та 37 книг у твердій палітурці?

Практика Тест

Вправа$\PageIndex{1}$

$\left\{\begin{array}{l}{x-4 y=-8} \\ {2 x+5 y=10}\end{array}\right.$

1. (0,2)
2. (4,3)

Відповідь

1. так
2. ні

У наступних вправах вирішуйте наступні системи за допомогою графіків.

Вправа$\PageIndex{2}$

$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5} \\ {x+2 y=-4}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\left\{\begin{array}{l}{x-y>-2} \\ {y \leq 3 x+1}\end{array}\right.$

Відповідь

У наступних вправах вирішуйте кожну систему рівнянь. Використовують або заміщення, або усунення.

Вправа$\PageIndex{4}$

$\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=3} \\ {y=2 x-1}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\left\{\begin{array}{l}{x+y=-3} \\ {x-y=11}\end{array}\right.$

Відповідь

(4, −7)

Вправа$\PageIndex{6}$

$\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=7} \\ {5 x-2 y=0}\end{array}\right.$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{5} x+1} \\ {8 x+10 y=10}\end{array}\right.$

Відповідь

нескінченно багато рішень

Вправа$\PageIndex{8}$

$\left\{\begin{array}{l}{2 x+3 y=12} \\ {-4 x+6 y=-16}\end{array}\right.$

У наступних вправах переведіть на систему рівнянь і розв'яжіть.

Вправа$\PageIndex{9}$

Сума двох чисел дорівнює −24. Одне число на 104 менше іншого. Знайдіть цифри.

Відповідь

Цифри 40 і 64

Вправа$\PageIndex{10}$

Рамон хоче посадити огірки і помідори на своєму городі. У нього місце для 16 рослин, і він хоче посадити в три рази більше огірків, ніж помідорів. Скільки огірків і скільки томатів він повинен посадити?

Вправа$\PageIndex{11}$

Два кута взаємодоповнюють один одного. Міра більшого кута в шість більше ніж в два рази перевищує міру меншого кута. Знайдіть міри обох кутів.

Відповідь

Міри кутів - 28 градусів і 62 градуси.

Вправа$\PageIndex{12}$

У понеділок Ленс біг 30 хвилин і плавав 20 хвилин. Його фітнес-додаток сказав йому, що він спалив 610 калорій. У середу фітнес-додаток сказав йому, що він спалив 695 калорій, коли бігав 25 хвилин і плавав 40 хвилин. Скільки калорій він спалив за одну хвилину бігу? Скільки калорій він спалив за одну хвилину плавання?

Вправа$\PageIndex{13}$

Кеті пішла додому, щоб дійти до торгового центру, швидко йшовши зі швидкістю 4 милі на годину. Її сестра Еббі пішла з дому через 15 хвилин і їхала на велосипеді до торгового центру зі швидкістю 10 миль на годину. Скільки часу знадобиться Еббі, щоб наздогнати Кеті?

Відповідь

Це займе$\frac{1}{6}$ у Кеті годину (або 10 хвилин)

Вправа$\PageIndex{14}$

Це займає 5$\frac{1}{2}$ годин для літака, щоб пролетіти 2475 миль з зустрічним вітром від Сан-Хосе, Каліфорнія до Ліху, Гаваї. Зворотний рейс з Ліху в Сан-Хосе з попутним вітром займає 5 годин. Знайдіть швидкість струменя в нерухомому повітрі і швидкість вітру.

Вправа$\PageIndex{15}$

Ліз заплатила 160 доларів за 28 квитків, щоб відвезти військо Брауні до наукового музею. Дитячі квитки коштують 5 доларів, а дорослі - 9 доларів. Скільки дитячих квитків і скільки дорослих квитків купила Ліз?

Відповідь

Ліз купила 23 дитячих квитка і 5 дорослих квитків.

Вправа$\PageIndex{16}$

Фармацевту потрібно 20 літрів 2% сольового розчину. У нього є 1% і 5% розчин в наявності. Скільки літрів 1% і скільки літрів 5% розчинів вона повинна змішувати, щоб вийшов 2% розчин?

Вправа$\PageIndex{1}$

Переведіть на систему нерівностей і вирішуйте.

Енді хоче витратити не більше 50 доларів на частування Хеллоуїна. Вона хоче купити цукерки, які коштують $1 кожен і льодяники, які коштують $0,50 кожен, і вона хоче, щоб кількість льодяників була принаймні втричі більше кількості цукеркових батончиків.

1. Напишіть систему нерівностей для моделювання цієї ситуації.
2. Графік системи.
3. Чи може вона купити 20 батончиків і 70 льодяників?
4. Чи може вона купити 15 батончиків і 65 льодяників?

Відповідь

1. $\left\{\begin{array}{l}{C+0.5 L \leq 50} \\ {L \geq 3 C}\end{array}\right.$

3. №
4. Так