7.5: Пряма та зворотна варіація

Починаємо з визначенням фрази «пропорційно».

Пропорційний

Ми говоримо,$y$ що пропорційно$x$ якщо і тільки тоді,
$$y = kx \nonumber$$
де$k$ константа називається константою пропорційності. Фраза «$y$змінюється безпосередньо як$x$» - це еквівалентний спосіб сказати «$y$пропорційно»$x$.

Ось кілька прикладів, які переводять словосполучення «пропорційно».

• З огляду на$d$ те, що пропорційно$t$, пишемо$d = kt$,$k$ де константа.
• З огляду на$y$ те, що пропорційно кубу$x$, запишемо$y = kx^3$, де$k$ знаходиться константа.
• З огляду на,$s$ що пропорційно квадрату$t$, пишемо$s = kt^2$,$k$ де константа.

Ми не обмежуємося завжди використовувати букву$k$ для нашої константи пропорційності.

Приклад$\PageIndex{1}$

З огляду на,$y$ що пропорційно$x$ і той факт, що$y = 12$ коли$x = 5$, визначають константу пропорційності, то визначають значення$y$ коли$x = 10$.

Рішення

Враховуючи той факт,$y$ що пропорційна$x$, ми відразу знаємо,$k$ що $$y = kx \nonumber$$ де постійна пропорційності. Тому що нам дано, що$y = 12$ коли$x = 5$, ми можемо замінити$y$ і$12$$5$$x$ для визначення$k$.

$$\begin{array}{rl}{y=k x} & \color {Red} {y \text { is proportional to } x} \\ {12=k(5)} & \color {Red} {\text { Substitute } 12 \text { for } y, 5 \text { for } x} \\ {\dfrac{12}{5}=k} & \color {Red} {\text { Divide both sides by } 5}\end{array} \nonumber$$

Далі підставляємо константу пропорційності$12/5$ для$k$ in$y = kx$, потім замінюємо$10$,$x$ щоб визначити,$y$ коли$x = 10$.

$$\begin{array}{ll}{y=\dfrac{12}{5} x} & \color {Red} {\text { Substitute } 12 / 5 \text { for } k} \\ {y=\dfrac{12}{5}(10)} &\color {Red} {\text { Substitute } 10 \text { for } x} \\ {y=24} & \color {Red} {\text { Cancel and simplify. }}\end{array} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Враховуючи,$y$ що пропорційно$x$ і що$y = 21$ коли$x = 9$, визначити значення$y$ коли$x = 27$.

Відповідь

$63$

Приклад$\PageIndex{2}$

З повітряної кулі падає куля, що плаває над поверхнею землі. Відстань,$s$ на яку падає м'яч, пропорційна квадрату часу$t$, який минув з моменту випуску м'яча. Якщо м'яч падає$144$ ногами протягом перших$3$ секунд, як далеко впаде м'яч за$9$ лічені секунди?

Рішення

З огляду на той факт,$s$ що пропорційна квадрату$t$, ми відразу знаємо, що

$$s=k t^{2} \nonumber$$

де$k$ - константа пропорційності. Оскільки нам дано, що м'яч падає$144$ ногами протягом перших$3$ секунд, ми можемо замінити$s$ і$144$$3$$t$ для визначення константи пропорційності.

$$\begin{array}{rl}{s=k t^{2}} & \color {Red} {s \text { is proportional to the square of } t} \\ {144=k(3)^{2}} & \color {Red} {\text { Substitute } 144 \text { for } s, 3 \text { for } t} \\ {144=9 k} & \color {Red} {\text { Simplify: } 3^{2}=9} \\ {16=k} & \color {Red} {\text { Divide both sides by } 9}\end{array} \nonumber$$

Далі підставляємо константу пропорційності$16$ на$k$ in$s = kt^2$, а потім підставляємо$9$$t$ для визначення відстані, що випала при$t = 9$ секундах.

$$\begin{array}{ll}{s=16 t^{2}} & \color {Red} {\text { Substitute } 16 \text { for } k} \\ {s=16(9)^{2}} & \color {Red} {\text { Substitute } 9 \text { for } t} \\ {s=1296} & \color {Red} {\text { Simplify }}\end{array} \nonumber$$

Таким чином, м'яч падає$1,296$ ногами протягом перших$9$ секунд.

Вправа$\PageIndex{2}$

М'яч скидається з краю кліна певній планеті. Відстань,$s$ на яку падає м'яч, пропорційна квадрату часу$t$, який минув з моменту випуску м'яча. Якщо м'яч падає$50$ ногами протягом перших$5$ секунд, як далеко впаде м'яч за$8$ лічені секунди?

Відповідь

$128$ноги

Приклад$\PageIndex{3}$

Тоні і Пол висять гирі на пружині в лабораторії фізики. Кожен раз, коли підвішується вага, вони вимірюють відстань, яку розтягує пружина. Вони виявляють,$y$ що відстань, яку розтягує пружина, пропорційна вазі, підвішеній на пружині (Закон Гука). Якщо вага$0.5$ фунта розтягує пружинні$3$ дюйми, наскільки вага$0.75$ фунта розтягне пружину?

Рішення

Нехай$W$ представляють собою підвішений на пружині гирі. Нехай$y$ представляють відстань, на яку тягнеться пружина. Нам кажуть, що відстань y пружини розтягується пропорційно величині ваги,$W$ підвішеної на пружині. Отже, ми можемо написати:

$$y=k W \quad \color {Red} y \text { is proportional to } W \nonumber$$

$3$$y$Замінюємо,$0.5$ для$W$, потім вирішуємо вилка.

$$\begin{array}{rlrl}{3} & {=k(0.5)} & {} & \color {Red} {\text { Substitute } 3 \text { for } y, 0.5 \text { for } W} \\ {\dfrac{3}{0.5}} & {=k} & {} & \color {Red} {\text { Divide both sides by } 0.5} \\ {k} & {=6} & {} & \color {Red} {\text { Simplify. }}\end{array} \nonumber$$

$6$Замінник$k$$y = kW$ в виробляти:

$$y=6 W \quad \color {Red} \text { Substitute } 6 \text { for } k \text { in } y=k W \nonumber$$

Щоб визначити відстань пружина розтягнеться, коли$0.75$ кілограми будуть висіти на пружину,$0.75$ замінюємо$W$.

$$\begin{array}{ll}{y=6(0.75)} & \color {Red} {\text { Substitute } 0.75 \text { for } W} \\ {y=4.5} & \color {Red} {\text { Simplify. }}\end{array} \nonumber$$

Таким чином, пружина розтягнеться на$4.5$ дюйми.

Вправа$\PageIndex{3}$

Якщо вага$0.75$ фунта тягнеться пружинні$5$ дюйми, наскільки вага$1.2$ фунта розтягне пружину?

Відповідь

$8$дюймів

Обернено пропорційний

У Прикладах$\PageIndex{1}$$\PageIndex{2}$, і$\PageIndex{3}$, де одна кількість була пропорційна другій кількості, ви, можливо, помітили, що коли одна кількість збільшувалася, друга кількість також збільшувалася. Навпаки, коли одна кількість зменшувалася, зменшилася і друга кількість.

Однак не всі реальні ситуації слідують цій схемі. Бувають випадки, коли при збільшенні однієї кількості відповідна кількість зменшується. Наприклад, розглянемо ситуацію, коли ви збільшуєте кількість працівників на роботі, і зверніть увагу, що час на виконання роботи зменшується. Це приклад того, що величина обернено пропорційна другій величині.

Обернено пропорційний

Ми говоримо, що$y$ обернено пропорційна$x$ тоді і тільки тоді, $$y=\dfrac{k}{x} \nonumber$$ коли$k$ константа називається константою пропорційності. Фраза «$y$змінюється обернено, як$x$» - це еквівалентний спосіб сказати «$y$в обернено пропорційно»$x$.

Ось кілька прикладів, які переводять словосполучення «обернено пропорційно».

• З огляду на, що$d$ обернено пропорційно$t$, пишемо$d = k/t$,$k$ де константа.
• З огляду на, що$y$ обернено пропорційний кубу$x$, запишемо$y = k/x^3$, де$k$ знаходиться константа.
• З огляду на, що$s$ обернено пропорційно квадрату$t$, пишемо$s = k/t^2$, де$k$ знаходиться константа.

Ми не обмежуємося завжди використовувати букву$k$ для нашої константи пропорційності.

Приклад$\PageIndex{4}$

З огляду на, що$y$ обернено пропорційно$x$ і той факт, що$y = 4$ коли$x = 2$, визначають константу пропорційності, то визначають значення$y$ коли$x = 4$.

Рішення

З огляду на той факт, що$y$ обернено пропорційна$x$, ми відразу знаємо, що $$y=\dfrac{k}{x} \nonumber$$ де$k$ знаходиться константа пропорційності. Тому що нам дано, що$y = 4$ коли$x = 2$, ми можемо замінити$y$ і$4$$2$$x$ для визначення$k$.

$$\begin{align*} y &= \dfrac{k}{x} \quad \color {Red} y \text { is inversely proportional to } x.\\ 4 &= \dfrac{k}{2} \quad \color {Red} \text {Substitute }4 \text { for } y, 2 \text { for }x.\\ 8 &= k \quad \color {Red} \text {Multiply both sides by } 2. \end{align*} \nonumber$$

$8$$k$Замінюємо в$y = k/x$, а потім$4$ замінюємо,$x$ щоб визначити,$y$ коли$x = 4$.

$$\begin{align*} y &= \dfrac{8}{x} \quad \color {Red} \text {Substitute } 8 \text { for } k.\\ y &= \dfrac{8}{4} \quad \color {Red} \text {Substitute }4 \text { for } x.\\ y &= 2 \quad \color {Red} \text {Reduce.} \end{align*} \nonumber$$

Відзначимо, що$x$ при$2$ збільшенні від до$4$,$y$ зменшується від$4$ до$2$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Враховуючи, що$y$ обернено пропорційно$x$ і що$y = 5$ коли$x = 8$, визначити значення$y$ коли$x = 10$.

Відповідь

$4$

Приклад$\PageIndex{5}$

$I$Інтенсивність світла обернено пропорційна квадрату відстані$d$ від джерела світла. Якщо інтенсивність світла$5$ ніг від джерела світла - це$3$ ножні свічки, яка інтенсивність світла$15$ ніг від джерела світла?

Рішення

З огляду на той факт, що інтенсивність$I$ світла обернено пропорційна квадрату відстані d від джерела світла, ми відразу знаємо, що $$I = \dfrac{k}{d^2} \nonumber$$ де$k$ знаходиться константа пропорційності. Оскільки нам дано, що інтенсивність - це$I = 3$ фут-свічки біля$d = 5$ ніг від джерела світла, ми можемо замінити$I$ і$3$$5$$d$ для визначення$k$.

$$\begin{align*} I &= \dfrac{k}{d^2} \quad \color {Red} I \text { is inversely proportional to } d^2 .\\ 3 &= \dfrac{k}{5^2} \quad \color {Red} \text {Substitute }3 \text { for } I, 5 \text { for } d.\\ 3 &= \dfrac{k}{25} \quad \color {Red} \text {Simplify.}\\ 75 &= k \quad \color {Red} \text {Multiply both sides by } 25. \end{align*} \nonumber$$

$75$$k$Замінюємо в$I = k/d^2$, а потім$15$ замінюємо,$d$ щоб визначити,$I$ коли$d = 15$.

$$\begin{align*} I &= \dfrac{75}{d^2} \quad \color {Red} \text {Substitute }75 \text { for } k.\\ I &= \dfrac{75}{15^2} \quad \color {Red} \text {Substitute }15 \text { for } d.\\ I &= \dfrac{75}{225} \quad \color {Red} \text {Simplify.}\\ I &= \dfrac{1}{3} \quad \color {Red} \text {Reduce.} \end{align*} \nonumber$$

Таким чином, інтенсивність світла$15$ ніг від джерела світла становить$1/3$ нога-свічка.

Вправа$\PageIndex{5}$

Якщо інтенсивність світла$4$ ніг від джерела світла - це$2$ ножні свічки, яка інтенсивність світла$8$ ніг від джерела світла?

Відповідь

$1/2$нога-свічка

Приклад$\PageIndex{6}$

Припустимо, що ціна на людину за досвід кемпінгу обернено пропорційна кількості людей, які підписуються на досвід. Якщо$10$ люди підписуються, ціна на людину становить$$350$. Якою буде ціна на людину, якщо$50$ люди зареєструються?

Рішення

Дозвольте$p$ представляти ціну на людину і нехай$N$ буде кількість людей, які підписуються на досвід кемпінгу. Оскільки нам кажуть, що ціна на людину обернено пропорційна кількості людей, які підписуються на досвід кемпінгу, ми можемо написати:

$$p = \dfrac{k}{N} \nonumber$$

де$k$ - константа пропорційності. Тому що нам дають, що ціна на людину - це$$350$ коли$10$ люди підписуються, ми можемо замінити$p$ і$350$$10$$N$ для визначення$k$.

$$\begin{align*} p &= \dfrac{k}{N} \quad \color {Red} p \text { is inversely proportional to }N.\\ 350 &= \dfrac{k}{10} \quad \color {Red} \text {Substitute }350 \text { for } p, 10 \text { for } N.\\ 3500 &= k \quad \color {Red} \text {Multiply both sides by } 10. \end{align*} \nonumber$$

$3500$$k$Замінюємо в$p = k/N$, а потім$50$ замінюємо,$N$ щоб визначити,$p$ коли$N = 50$.

$$\begin{align*} p &= \dfrac{3500}{N} \quad \color {Red} \text {Substitute }3500 \text { for } k.\\ p &= \dfrac{3500}{50} \quad \color {Red} \text {Substitute }50 \text { for } N.\\ p &= 70 \quad \color {Red} \text {Simplify.} \end{align*} \nonumber$$

Таким чином, ціна на людину - це$$70$ якщо$50$ люди підписуються на досвід кемпінгу.

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо, що ціна на людину за тур обернено пропорційна кількості людей, які записуються на тур. Якщо$8$ люди підписуються, ціна на людину становить$$70$. Якою буде ціна на людину, якщо$20$ люди зареєструються?

Відповідь

$$28$