7.2: Наукові позначення

Починаємо цей розділ з вивчення повноважень десяти.

$$\begin{align*} 10^1 &= 10\\ 10^2 &= 10\cdot 10 = 100\\ 10^3 &= 10\cdot 10\cdot 10 = 1,000\\ 10^4 &= 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 10,000 \end{align*} \nonumber$$

Зауважте, що відповідь для$10^3$ є одиницею, за якою слідують три нулі. Відповіддю для$10^4$ є одиниця, за якою слідують чотири нулі. Ви бачите візерунок?

Ненегативні сили десяти

У$10^n$ виразі показник відповідає кількості нулів у відповіді. Отже,$1$ за ним$10^n$ слідуватимуть$n$ нулі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:$10^9$.

Рішення

$10^9$має бути а$1$ потім$9$ нулі. $$10^9 =1 ,000,000,000 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити:$10^6$.

Відповідь

$1,000,000$

Далі розберемо негативні сили десяти.

$$\begin{align*} 10^{-1} &= \dfrac{1}{10} = 0.1\\ 10^{-2} &= \dfrac{1}{100} = 0.01\\ 10^{-3} &= \dfrac{1}{1000} = 0.001\\ 10^{-4} &= \dfrac{1}{10000} = 0.0001 \end{align*} \nonumber$$

Зауважте, що відповідь для$10^{−3}$ має три знака після коми, а відповідь$10^{−4}$ містить чотири знака після коми.

Негативні сили десяти

У$10^{−n}$ виразі показник відповідає кількості десяткових знаків у відповіді. Отже,$10^{−n}$ буде мати n знаків після коми, перший$n−1$ з яких - нулі, а цифра в n-му знаку після коми - a$1$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:$10^{−7}$.

Рішення

$10^{−7}$має мати сім знаків після коми, перші шість з яких - нулі, а цифра в сьомому знаку після коми - a$1$. $$10^{−7} = 0 .0000001 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:$10^{−5}$.

Відповідь

$0.00001$

Множення десяткових чисел на ступені десяти

Давайте$1.234567$ помножимо на$10^3$, або еквівалентно, на$1,000$.

$$\begin{array}{ccc} 1.234567 \\ \;\;\times 1000\\ \hline 1234.567000 \end{array} \nonumber$$

Сума цифр праворуч від десяткової крапки в$1.234567$ і$1000$ є$6$. Тому ставимо десяткову крапку в добутку так, щоб праворуч від десяткової крапки було шість цифр.

Однак кінцеві нулі можуть бути видалені без зміни вартості товару. Тобто$1.234567$ часи$1000$ є$1234.567$. Зверніть увагу, що десяткова крапка у добутку знаходиться на три розряди далі праворуч, ніж у вихідному коефіцієнті. Це спостереження призводить до наступного результату.

Множення на невід'ємне степеня десять

Множення десяткового числа на$10^n$, куди$n = 0, 1, 2, 3, \ldots ,$ буде переміщено$n$ десяткові розряди вправо.

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:$325.6783×10^2$.

Рішення

Множення на$10^2$ призведе до переміщення десяткової крапки на два розряди вправо. Таким чином: $$325.6783×10^2 = 32,567.83 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити:$23.57889×10^3$

Відповідь

$23,578.89$

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:$1.25×10^5$.

Рішення

Множення на$10^5$ призведе до переміщення десяткової крапки на два розряди вправо. У цьому випадку нам потрібно додати нулі в кінці числа, щоб виконати переміщення$5$ знаків після коми вправо. $$1.25×105 = 125,000 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{14}$

Спростити:$2.35×10^4$

Відповідь

$23,500$

Давайте$453.9$ помножимо на$10^{−2}$, або еквівалентно, на$0.01$.

$$\begin{array}{ccc} 453.9 \\ \times 0.01\\ \hline 4.539 \end{array} \nonumber$$

Сума цифр праворуч від десяткової крапки в$453.9$ і$0.01$ є$3$. Тому ставимо десяткову крапку в твір так, щоб праворуч від десяткової крапки були$3$ цифри. Тобто,$453.9×10^{−2} = 4.539$. Зверніть увагу, що десяткова крапка у добутку знаходиться на два розряди далі лівіше, ніж у вихідному коефіцієнті. Це спостереження призводить до наступного результату.

Помноження на негативну силу в десять

Множення десяткового числа на$10^{−n}$, куди$n = 1, 2, 3, \ldots ,$ буде переміщено$n$ десяткові розряди вліво.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:$14,567.8×10^{−3}$.

Рішення

Множення на$10^{−3}$ призведе до переміщення десяткової крапки на три розряди вліво. Таким чином: $$14,567.8×10^{−3} = 14 .5678 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Спростити:$3,854.2×10^{−1}$

Відповідь

$385 .42$

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:$4.3×10^{−4}$.

Рішення

Множення на$10^{−4}$ призведе до переміщення десяткової крапки на чотири розряди вліво. У цьому випадку нам потрібно додати кілька провідних нулів на початку числа, щоб виконати переміщення$4$ знаків після коми вліво. $$4.3×10^{−4} =0.00043\nonumber$$ . Зверніть увагу також на початковий нуль перед десятковою крапкою. Хоча$.00043$ це еквівалентне число, форма$0.00043$ є кращою в математиці та науці.

Вправа$\PageIndex{6}$

Спростити:$2.2×10^{−2}$

Відповідь

$0.022$

Форма наукового позначення

Почнемо з визначення форми числа, яке називається науковим позначенням.

Наукові позначення

Число, що має форму, $$a×10^b \nonumber$$ де$b$ є цілим числом і$1 ≤| a| < 10$, як кажуть, є в науковому позначенні.

Вимога$1 ≤| a| < 10$ говорить про те, що величина а повинна бути мінімум$1$ і менше$10$.

• Число$12.34×10^{−4}$ не в науковому позначенні, тому$|12.34| = 12.34$ що більше, ніж$10$.
• Число$−0.95×10^3$ не в науковому позначенні,$|−0.95|= 0.95$ тому що менше$1$.
• Число$7.58×10^{−12}$ знаходиться в науковому позначенні$|7.58|=7.58$, тому що більше або дорівнює$1$ і менше$10$.
• Число$−1.0×10^{15}$ знаходиться в науковому позначенні$|−1.0|=1.0$, тому що більше або дорівнює$1$ і менше$10$.

Після розгляду цих прикладів випливає, що число в науковому позначенні має мати рівно одну з цифр$1, 2, 3, \ldots , 9$ перед десятковою крапкою. Рівно один, не більше, не менше. Таким чином, кожне з наступних чисел знаходиться в науковому позначенні.

$$4.7×10^8, \quad −3.764×10^{−1}, \quad 3.2×10^0, \quad \text {and} \quad −1.25×10^{−22} \nonumber$$

Розміщення числа в науковому позначенні

Щоб помістити число в наукові позначення, нам потрібно перемістити десяткову крапку так, щоб рівно одна з цифр$1, 2, 3, \ldots , 9$ залишилася ліворуч від десяткової крапки, а потім помножити на відповідну потужність$10$ так, щоб результат був еквівалентний вихідному числу.

Приклад$\PageIndex{7}$

Помістіть число$1,234$ в наукові позначення.

Рішення

Перемістіть десяткову крапку на три розряди вліво так, щоб вона розташовувалася відразу після$1$. Щоб зробити це нове число рівним$1,234$, помножте на$10^3$. Таким чином: $$1,234 = 1.234×10^3 \nonumber$$

Перевірка: Множення на$10^3$ переміщує десяткові три розряди вправо, отже: $$1.234×10^3 =1,234 \nonumber$$ Це початкове число, тому наша форма наукового позначення є правильною.

Вправа$\PageIndex{7}$

Помістіть число$54,321$ в наукові позначення.

Відповідь

$5 .4321×10^4$

Приклад$\PageIndex{8}$

Помістіть число$0.000025$ в наукові позначення.

Рішення

Перемістіть десяткову крапку на п'ять знаків вправо так, щоб вона розташовувалася відразу після$2$. Щоб зробити це нове число рівним$0.000025$, помножте на$10^{−5}$. Таким чином: $$0.000025 = 2.5×10^{−5} \nonumber$$

Перевірка: Множення на$10^{−5}$ пересуває десяткові п'ять знаків ліворуч, отже: $$2.5×10^{−5} = 0 .000025 \nonumber$$ Це початкове число, тому наша форма наукового позначення є правильною.

Вправа$\PageIndex{8}$

Помістіть число$0.0175$ в наукові позначення.

Відповідь

$1.75×10^{−2}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Помістіть число$34.5×10^{−11}$ в наукові позначення.

Рішення

Спочатку перемістіть десяткову крапку на одне місце вліво, щоб вона розташовувалася відразу після трьох. Щоб зробити цю нову форму рівною$34.5$, помножте на$10^1$. $$34.5×10^{−11} = 3.45×10^1×10^{−11} \nonumber$$ Тепер повторіть базу$10$ і додайте експоненти.

$$=3 .45×10^{−10} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{9}$

Помістіть число$756.98×10^{−5}$ в наукові позначення.

Відповідь

$7.5698×10^{−3}$

Приклад$\PageIndex{10}$

Помістіть число$0.00093×10^{12}$ в наукові позначення.

Рішення

Спочатку перемістіть десяткову крапку на чотири розряди вправо, щоб вона розташовувалася відразу після дев'ятки. Щоб зробити цю нову форму рівною$0.00093$, помножте на$10^{−4}$. $$0.00093×10^{12} = 9.3×10^{−4} ×10^{12} \nonumber$$

Тепер повторіть базу$10$ і додайте експоненти. $$=9.3×10^8 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Помістіть число$0.00824×10^8$ в наукові позначення.

Відповідь

$8.24×10^5$

Наукові позначення та графічний калькулятор

Графічний калькулятор TI-84 має спеціальну кнопку для введення чисел в наукові позначення. Знайдіть клавішу «кома» приблизно цифрову клавішу на$7$ клавіатурі калькулятора (див. Малюнок$\PageIndex{1}$). Трохи вище клавіші «кома», надрукованої на корпусі калькулятора, знаходиться символ EE. Він у тому ж кольорі, що ^{і 2-й} ключ, тому вам доведеться використовувати ^2-ю клавішу, щоб отримати доступ до цього символу.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Знайдіть мітку EE над клавішею «кома» на клавіатурі.

Ми це знаємо$2.3 × 10^2 = 230$. Давайте подивимося, чи дає калькулятор таку ж інтерпретацію.

1. Введіть$2.3$.
2. Натискаємо ^2-ю клавішу, потім клавішу коми. Це поставить E на екран перегляду калькулятора.
3. Введіть a$2$.
4. Натисніть клавішу ENTER.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Введення чисел у наукові позначення.

Результат цих кроків показаний на першому зображенні на малюнку$\PageIndex{2}$. Зверніть увагу, що калькулятор інтерпретує$2.3\mathbf{E}2$ як$2.3×10^2$ і дає правильну відповідь,$230$. Ви можете продовжувати вводити цифри в наукові позначення (див. середнє зображення на малюнку$\PageIndex{2}$). Однак в якийсь момент числа стають занадто великими, і калькулятор реагує, виводячи цифри в науковому позначенні. Ви також можете змусити калькулятор відображати цифри у наукових позначеннях у всіх ситуаціях, спочатку натиснувши клавішу MODE, потім вибравши SCI у першому рядку та натиснувши клавішу ENTER (див. третє зображення на малюнку$\PageIndex{2}$). Ви можете повернути калькулятор в «звичайний» режим, вибравши NORMAL і натиснувши клавішу ENTER.

Приклад$\PageIndex{11}$

Скористайтеся калькулятором графіків, щоб спростити: $$(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4}) \nonumber$$

Рішення

По-перше, зауважте, що ми можемо$(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})$ наблизити, взявши добуток$2$$3$ і і додаючи повноваження десяти.

$$\begin{align*} &(2.35\times 10^{-12})(3.25\times 10^{-4}) \\ &\approx (2\times 10^{-12})(3\times 10^{-4}) \quad \color {Red} \text {Approximate: } 2.35\approx 2 \text { and } 3.25\approx 3 \\ &\approx 6\times 10^{-16} \quad \color {Red} 2\cdot 3 = 6 \text { and } 10^{-12}\cdot 10^{-4} = 10^{-16} \end{align*} \nonumber$$

Графічний калькулятор дасть точну відповідь. Введіть$2.35\mathbf{E}-12$, натисніть кнопку «раз», потім введіть 3.25E-4 і натисніть кнопку ENTER. Обов'язково використовуйте кнопку «заперечувати», а не кнопку «відняти» для отримання знака мінус. Результат показаний на малюнку$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Обчислення$(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})$.

Таким чином,$(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})=7 .6375×10^{−16}$. Зверніть увагу, що це досить близько до нашої оцінки$6 ×10^{−16}$.

Вправа$\PageIndex{11}$

Скористайтеся калькулятором графіків, щоб спростити: $$(3.42×10^6)(5.86×10^{−9}) \nonumber$$

Відповідь

$2.00412×10^{−2}$

Повідомлення про вашу відповідь на домашнє завдання

Обчисливши відповідь на приклад$\PageIndex{11}$ на вашому калькуляторі, напишіть на домашнє завдання наступне: $$(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})=7.6375×10^{−16} \nonumber$$ Не пишіть$7.6375\mathbf{E}-16$.

Приклад$\PageIndex{12}$

Скористайтеся калькулятором графіків, щоб спростити: $$\dfrac{6.1\times 10^{-3}}{(2.7\times 10^4)(1.1\times 10^8)} \nonumber$$

Рішення

Знову ж таки, зробити приблизну відповідь нескладно.

$$\begin{align*} &\dfrac{6.1\times 10^{-3}}{(2.7\times 10^4)(1.1\times 10^8)} \\ &\approx \dfrac{6\times 10^{-3}}{(3\times 10^4)(1\times 10^8)} \quad \color {Red} 6.1\approx 6, 2.7\approx 3, \text { and } 1.1\approx 1 \\ &\approx \dfrac{6\times 10^{-3}}{3\times 10^{12}} \quad \color {Red} 3\cdot 1=3 \text { and } 10^{4}\cdot 10^{8} = 10^{12}\\ &\approx \dfrac{6}{3}\cdot \dfrac{10^{-3}}{10^{12}} \quad \color {Red} \dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}\\ &\approx 2\times 10^{-15} \quad \color {Red} \dfrac{6}{3}=2 \text { and } \dfrac{10^{-3}}{10^{12}}=10^{-15} \end{align*} \nonumber$$

Давайте отримаємо точну відповідь за допомогою нашого калькулятора. Введіть чисельник як$6.1\mathbf{E}3$, потім натисніть кнопку «ділення». Пам'ятайте, що ми повинні оточити знаменник дужками. Отже, натисніть клавішу відкритих дужок, а потім введіть$2.7\mathbf{E}4$. Натисніть клавішу «раз», потім введіть$1.1\mathbf{E}8$. Натисніть клавішу закриття дужок і натисніть кнопку ENTER. Результат показаний на малюнку$\PageIndex{4}$.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Обчислення$6.1×10^{−3}/(2.7×10^4 ×1.1×10^8)$.

Таким чином,$6.1×10^{−3}/(2.7×10^4 ×1.1×10^8)=2 .05387205×10^{−15}$. Зверніть увагу, що це досить близько до нашої оцінки$2×10^{−15}$.

Вправа$\PageIndex{12}$

Скористайтеся калькулятором графіків, щоб спростити: $$\dfrac{2.6\times 10^{4}}{(7.1\times 10^{-2})(6.3\times 10^7)} \nonumber$$

Відповідь

$5.8126537×10^{−3}$

Приклад$\PageIndex{13}$

Загальний закон гравітації Ісаака Ньютона визначається формулою, $$F = \dfrac{GmM}{r^2} \nonumber$$ де$F$ сила тяжіння між двома об'єктами, що мають масу$M$,$m$$r$ і відстань між двома об'єктами, і$G$ є гравітаційною константою Ньютона, яка визначається: $$G =6 .67428\times 10^{-11} \text {N(m/kg)}^2 \nonumber$$ З огляду на, що маса Місяця дорівнює$7.3477×10^{22}$ кілограмам (кг), маса землі -$5.9736×10^{24}$ кілограми (кг), а середня відстань між місяцем і землею -$3.84403×10^8$ метри (м), знайдіть силу тяжіння між землею і місяцем (в ньютонах (N)).

Рішення

Підключіть задані числа до універсального закону тяжіння Ньютона.

$$F=\dfrac{GmM}{r^2} \nonumber$$

$$F=\dfrac{(6.673\times 10^{-11})(7.3477\times 10^{22})(5.9736\times 10^{24})}{(3.84403\times 10^8)^2} \nonumber$$

Введіть вираз до калькулятора (див. Рис.$\PageIndex{5}$):

$$(6.673\mathbf{E}-11*7.3477\mathbf{E}22*5.9736\mathbf{E}24)/(3.84403\mathbf{E}8)\wedge 2 \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{5}$: Обчислювальна сила тяжіння між землею і місяцем.

Значить, сила тяжіння між землею і місяцем приблизно дорівнює$1.98×10^{20}$ ньютонам (N).

Вправа$\PageIndex{13}$

Маса Міжнародної космічної станції становить$450,000$ кг, а її середня відстань до центру землі -$387,000$ м Знайдіть силу тяжіння між землею і станцією (в ньютонах (N)).

Відповідь

$≈ 1.20×109 N$

Приклад$\PageIndex{14}$

Найближча зірка до землі - Альфа Центавра,$4.37$ світлових років від землі. Світловий рік - це відстань, яку світло проїде за один рік. Швидкість світла -$186,000$ милі в секунду. У скільки миль від землі знаходиться Альфа Центавра?

Рішення

Оскільки швидкість світла вимірюється в милі в секунду, давайте спочатку обчислимо кількість секунд у$4.37$ роках. Оскільки є$365$ дні в році,$24$ години в день,$60$ хвилини в годину і$60$ секунди в хвилині, ми можемо написати:

$$\begin{aligned} 4.37 \text {yr} &= 4.37\text {yr}\times 365\dfrac{\text {day}}{\text {yr}}\times 24\dfrac{\text {hr}}{\text {day}}\times 60\dfrac{\text {min}}{\text {hr}}\times 60\dfrac{\text {s}}{\text {min}}\\ &= 4.37{\color {Red}\not {\color {Black}\text {yr}}}\times 365\dfrac{\color {Red}\not {\color {Black}\text {day}}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {yr}}}\times 24\dfrac{\color {Red}\not {\color {Black}\text {hr}}}{\color {Red} \not {\color {Black}\text {day}}}\times 60\dfrac{\color {Red}\not {\color {Black}\text {min}}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {hr}}}\times 60\dfrac{\text {s}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {min}}} \end {aligned} \nonumber$$

Зверніть увагу, як одиниці скасовуються, вказуючи, що кінцева відповідь вказана в секундах. З нашим режимом калькулятора встановлено наукові позначення (див. Зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{2}$), ми множимо числа, щоб отримати результат, показаний на малюнку$\PageIndex{6}$. Округлення, кількість секунд в$4.37$ роках приблизно дорівнює$1.38 × 10^8$ секундам.

Далі ми обчислюємо відстань, яку проїжджає світло в$4.37$ роках. Використовуючи той факт, що пройдена відстань дорівнює швидкості, помноженої на пройдений час, ми маємо:

$$\begin{aligned} \text {Distance} &= \text {Speed}\times \text {Time}\\ &= 1.86\times 10^5\dfrac{\text {mi}}{\text {s}}\cdot 1.38\times 10^8\text {s}\\ &= 1.86\times 10^5\dfrac{\text {mi}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {s}}}\cdot 1.38\times 10^8 {\color {Red}\not {\color {Black}\text {s}}} \end {aligned} \nonumber$$

Зверніть увагу, як одиниці скасовуються, вказуючи, що наша відповідь вказана в милі. Знову ж таки, з нашим калькулятором, встановленим в режимі наукових позначень, ми обчислюємо добуток$1.86×10^5$ і$1.38×10^8$. Результат показаний на зображенні праворуч на малюнку$\PageIndex{6}$.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Обчислення відстані до Альфи Центавра в милі.

Таким чином, зірка Альфа Центавра знаходиться приблизно в$2.5668×10^{13}$ милі від землі, або $$2.5668×10^{13} \text {miles} ≈ 25,668,000,000,000 \text {miles} \nonumber$$ вимовляється «двадцять п'ять квадрильйонів, шістсот шістдесят вісім трильйонів миль».

Вправа$\PageIndex{14}$

Зірка Сіріус знаходиться в$8.58$ світлових роках від землі. У скільки миль від землі знаходиться Сіріус?

Відповідь

$≈ 5.2425×10^{13}$миль