7.6: Ймовірність

Якщо монету кинути три рази, яка ймовірність отримати рівно дві голови? хоча б дві голови? немає голів?

Імовірність визначається як кількість способів подія, про яку може відбутися подія, поділена на кількість загальних можливостей. Ми можемо визначити колекцію всіх можливих результатів в експерименті з усіма результатами однаково вірогідним, як вибірковий простір експерименту. Тоді кількість способів може відбутися подія може бути визначена як\(n(E)\) і розмір простору вибірки можна визначити як\(n(S) .\) У цьому позначенні ймовірність події\(P(E)\) визначена нижче:
\ [
P (E) =\ frac {n (E)} {n (S)} =\ frac {\ text {кількість елементів в } E} {\ text {кількість елементів в} S}
\]
Питання при відкритті цього розділу стосується ситуації, в якій монета кидається тричі. Ми можемо використовувати деревоподібну діаграму, щоб вивчити простір вибірки цієї ситуації.
Можливості в цьому експерименті такі:
\(\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THH}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\}\)
оскільки існує вісім можливостей, причому 3 з них мають рівно дві голови, ймовірність\(\frac{3}{8}=0.375\)

того, що ймовірність отримати принаймні дві головки дорівнює\(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) або 0,5
Імовірність отримати не голів є\(\frac{1}{8}=0.125\)
Приклад
П'ятикарткова покерна рука витягується зі стандартної колоди з 52 карт. Яка ймовірність того, що всі п'ять карт - це серця?

Кількість способів витягти п'ять карт з колоди з 52 дорівнює\(_{52} C_{5}\). Це комбінація, оскільки порядок розбирання карт не впливає на результат.
Кількість способів вибору 5 сердець з 13 в колоді\(13 \mathrm{C}_{5}\)
так ймовірність витягнути п'ять сердець з колоди з 52 карт\(\frac{13 C_{5}}{52 C_{5}}=\)\(\frac{1287}{2598960} \approx 0.000495\)
Приклад
Мішок містить 20 тенісних м'ячів, з яких чотири браковані . Якщо дві кульки витягнуті навмання з мішка, яка ймовірність того, що обидва браковані?

Простір зразка - це кількість способів вибору двох кульок з мішка:\(\quad_{20} C_{2}\)
оскільки є 4 дефектних кульки, кількість способів намалювати два з них є\(_{4} C_{2}\)
Таким чином, ймовірність того, що обидві кулі будуть дефектними, є\(\frac{4}{20 C_{2}}=\frac{6}{190} \approx 0.0316\)
Ми також можемо обчислити ймовірність витягування одного бракованого кульки:
\(\frac{_{4} C_{1} *_{16} C_{1}}{_{20} C_{2}}=\frac{64}{190} \approx 0.3368\)

І ймовірність малювання ніяких дефектних кульок:
\(\frac{_{16} C_{2}}{_{20} C_{2}}=\frac{120}{190} \approx 0.6316\)
Зверніть увагу,\(0.0316+0.3368+0.6316=1\) що\(6+64+120=190\) і що Тобто, що ймовірності для всіх можливих подій повинні складати до 1

Це дозволяє нам обчислювати ймовірності на основі ймовірності того, що подія не відбудеться.

Якщо ймовірність події дорівнює,\(P(E),\) то ймовірність того, що подія не відбудеться, є\(1-P(E)\)


Приклад Урна містить 10 червоних кульок і 15 зелених кульок. Якщо шість куль намальовані навмання, яка ймовірність того, що хоча б один з них буде червоним?

Ми можемо обчислити цю ймовірність, знайшовши ймовірність того, що ніякі червоні кулі не намальовані. Кількість способів намалювати шість зелених куль є\(_{15} C_{6} .\) Кількість способів витягнути шість куль з урни є\(_{25} C_{6}\). Отже, ймовірність малювання шести зелених куль така:
\(\frac{_{15} C_{6}}{_{25} C_{6}}=\frac{5005}{177,100} \approx 0.02826\)
Це означає, що ймовірність намалювати хоча б одну червону кульку становить\(1-0.02826=\) 0.97174
Ми також могли б знайти цю відповідь, склавши можливості малювання однієї червоної кулі, двох червоних куль тощо, аж до шість червоних кульок:
\(\frac{_{10} C_{1} *_{15} C_{5}}{_{25} C_{6}}+\frac{10 C_{2} *_{15} C_{4}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{3} *_{15} C_{3}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{4} *_{15} C_{2}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{5} *_{15} C_{1}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{6}}{25 C_{6}}\)
\(=0.1696+0.3468+0.3083+0.1245+0.0213+0.0012=\)
0,9717

Приклад.
З огляду на 100 комп'ютерних компонентів, відомо, що 10 з 100 несправні. Якщо хтось повинен був вибрати 6 з цих компонентів навмання, яка ймовірність того, що:
а) два з них несправні?
б) хоча б 1 з них несправний?
Є\(_{10} C_{2}\) способи вибрати 2 з 10 несправних компонентів і\(_{90} C_{4}\) способи вибору 4 недефектних компонентів. Розмір простору вибірки (кількість способів вибору компонентів 6 з 100)\(_{100} C_{6}\)
Отже, ймовірність для частини (а) буде такою:
\(\frac{_{10} C_{2} *_{90} C_{4}}{_{100} C_{6}} \approx 0.096\)
Імовірність у частині (b) найлегше обчислюється, знайшовши ймовірність того, що відсутні дефектні компоненти вибираються, а потім віднімають це значення з 1
\(1-\frac{_{90} C_{6}}{_{100} C_{6}} \approx 1-0.5223 \approx 0.4777\)

Вправи 7.6
SET I
1)
\(\quad\) а) Якщо монету кинули два рази, опишіть простір зразка.
\(\quad\)б) Знайти ймовірність отримання рівно двох головок.
\(\quad\)в) Знайти ймовірність отримання хоча б однієї голови.
\(\quad\)г) Знайти ймовірність отримання рівно однієї голови.
2)
\(\quad\) а) Якщо монета кидається і одна шестигранна плашка прокатана, опишіть простір зразка.
\(\quad\)б) Знайти ймовірність отримання голів і парного числа.
\(\quad\)в) Знайти ймовірність отримання голів і число більше 4
\(\quad\) г) Знайти ймовірність отримання хвостів і непарного числа.
3) При прокатці одиночної шестигранної матриці знайдіть ймовірність:
\(\quad\) а) прокатки а шість
\(\quad\) б) прокатки парного числа в
\(\quad\)) прокатки числа більше 5
4) При прокатці однієї шестигранної матриці знайдіть ймовірність:
\(\quad\) а) прокатки двійки або трійки
\(\quad\) б) прокатки непарного числа в
\(\quad\)) прокатки числа, ділимого на три
5) Якщо карта витягнута випадковим чином зі стандартної колоди 52 карт, знайдіть ймовірність:
\(\quad\)а) малювання короля
\(\quad\) б) малювання лицьової карти в
\(\quad\)) витягування карти, яка не є лицьовою картою
6) Якщо карта витягнута випадковим чином зі стандартної колоди 52 карт, знайдіть ймовірність:
\(\quad\) а) малювання серця
\(\quad\)б) малювання серця або лопати в
\(\quad\)) малювання карти, яка є серцем, діамантом або лопатою
7) Куля витягується випадковим чином з урни, що містить 8 кульок - п'ять червоних, два білих і один жовтий. Знайдіть ймовірність того, що:
\(\quad\) а) обраний червона куля
\(\quad\) б) жовта куля не обраний в
\(\quad\)) зелений куля вибирається
8, Куля витягується випадковим чином з урни, яка містить 8 кульок - п'ять червоних, два білих і один жовтий. Знайдіть ймовірність того, що:
\(\quad\) а) намальований куля не є ні жовтим, ні білим
\(\quad\) б) намальований куля або білий, жовтий, або червоний
\(\quad\) c) обраний куля не білий
9) Ящик містить 18 шкарпеток, з яких 6 червоні, 4 - білий і 8 - чорний.
\(\quad\)а) Якщо один носок витягнутий навмання з ящика, яка ймовірність того, що він червоний?
\(\quad\)б) Якщо один червоний носок намальований з першим вибором, яка ймовірність того, що наступний носок, намальований, також червоний?
Покерна рука витягується випадковим чином зі стандартної колоди з 52 карт.
10) Знайти ймовірність отримання п'яти сердець.
11) Знайти ймовірність отримання п'яти карт однієї масті.
12) Знайти ймовірність отримання п'яти лицьових карт.
13) Знайдіть ймовірність отримання туза, короля, дами, валета і десятка однієї масті.
14) Для проблеми #14 зверніться до простору зразка в Розділі 4.1 (або створіть свій власний
Якщо пара стандартних шестигранних кубиків згорнута, яка ймовірність:
\(\quad\) а) прокатки a 7
\(\quad\) b) прокатки a 9
\(\quad\) c) прокатка подвоюється (однакова кількість на кожній матриці)
\(\quad\) d) не прокатка подвоюється
\(\quad\) е) прокатка 9 або вище

SET II
Неупереджена монета кидається 5 разів. Знайдіть ймовірність того, що:
15) монета приземляє голови п'ять разів
16) монета приземляється головами рівно один раз
17) монета приземляє голови хоча б раз
18) монета приземляє голови не раз
Дві карти витягуються без заміни зі стандартної колода з 52 карт. Знайти ймовірність того, що:
19) намальована пара
20) пара не намальована
21) намальовані дві чорні карти
22) витягуються дві карти однієї масті
Банка містить три жовтих кульки і п'ять червоних кульок. Якщо чотири кульки намальовані навмання (без заміни), знайдіть ймовірність того, що:
23) два з кульок жовті і два червоні
24) всі кулі червоні
25) рівно три кульки червоні
26) два або три кульки жовті
Припустимо, що ймовірність народження хлопчика така ж, як і ймовірність народження\(a\)
дівчинки. Знайдіть ймовірність того, що сім'я з трьома дітьми матиме:
27) два хлопчика і одну дівчинку
28) хоча б одну дівчинку
29) немає хлопчиків
30) двоє старших дітей - дівчинки
31) Іспит складається з десяти правдивих або помилкових питань. Якщо учень вгадує при кожній відповіді, яка ймовірність того, що він чи вона відповість рівно на шість питань правильно?
32) У юридичній фірмі працюють 14 юристів, 8 з яких є партнерами фірми. Якщо для участі в конференції навмання обрана група з 3 юристів, яка ймовірність того, що будуть обрані 3 партнера?
33) У великій кількості 24 комп'ютерних компонентів є чотири несправні компоненти. Якщо два компоненти обрані навмання, яка ймовірність того, що:
\(\quad\) а) обидва компоненти несправні?
\(\quad\)б) хоча б один з компонентів несправний?
34) Бочка з 60 яблук містить 4 гнилих яблука. Якщо 3 яблука відібрано навмання, яка ймовірність того, що 1 або більше яблук підгнили?
35) Полиця в магазині побутового благоустрою містить 80 лампочок, з яких 6 несправні. Якщо клієнт вибирає навмання 2 лампочки, то яка ймовірність того, що:
\(\quad\) а) обидві несправні?
\(\quad\)б) хоча б один несправний?
36) Деякі компоненти комп'ютера поставляються в коробках по 24. Перш ніж вони відправлені, інспектор контролю якості випадковим чином вибирає 8 компонентів з кожної коробки. Якщо будь-який з 8 обраних компонентів несправний, коробка не поставляється. Яка ймовірність того, що багато, що містить рівно 2 дефектні компоненти, буде доставлено в будь-якому випадку?
37) Бізнес готується вибрати 12 осіб для відрядження з групи 100 співробітників, 60 з яких жінки і 40 з яких чоловіки. Припустимо, що Ед і Мері обидва співробітники і що 12 людей для поїздки будуть обрані випадковим чином.
\(\quad\)а) Яка ймовірність того, що Ед буде обраний?
\(\quad\)б) Яка ймовірність того, що Ед і Мері обидва будуть обрані?
\(\quad\)в) Якщо рівну кількість чоловіків і жінок повинні відправитися в подорож, яка ймовірність того, що Ед буде обраний?
\(\quad\)г) Якщо рівну кількість чоловіків і жінок повинні відправитися в поїздку, яка ймовірність того, що Ед і Мері будуть обрані обидва?
38) Компанія має 50 торгових представників у штаті. Є три продажу дзвінки, які повинні бути зроблені на східній стороні міста і п'ять продажів дзвінки на західній стороні. Якщо торгових представників вибирають випадковим чином для цих восьми торгових дзвінків:
\(\quad\) а) Яка ймовірність того, що окремий торговий представник буде обраний для будь-якого з восьми торгових дзвінків?
\(\quad\)б) Яка ймовірність того, що два торгових представників будуть обрані, щоб зробити свої торгові дзвінки на тій же стороні міста.
39) Студент, який навчається на тест, знає, як виконати 12 з 20 завдань з навчального посібника. Якщо тест містить 10 завдань, вибраних навмання з навчального посібника, яка ймовірність того, що принаймні 8 завдань на тесті - це проблеми, які студент вміє робити?