7.3: Перестановки та комбінації

Ми побачили в останньому розділі, що при роботі з перестановками завжди важливий порядок. Якби ми обирали 3 людини з групи 7 для роботи в комітеті без призначених ролей, характер проблеми змінився б.
Наприклад, якби ми обирали 3 людей з групи 7 для роботи в комітеті в якості президента, віце-президента та скарбника, відповідь була б$_{7} P_{3}=210$ Але - якби ми хотіли вибрати 3 людей з групи 7 без призначення ролей, то деякі з варіантів у перестановці були б те ж саме.
У перестановці:
1-е місце: Аліса 1-е місце: Боб 2-е місце: Боб$\quad$ 2-е місце: Чарлі 3-е місце: Чарлі$\quad$ 3-е місце: Аліса
два варіанти, перераховані вище, будуть розглядатися як різні і будуть зараховані окремо. У «комбінації», в якій порядок відбору не важливий і немає призначених ролей, ми повинні компенсувати ці додаткові варіанти вибору.

Якщо ми вибираємо 3 людей з групи 7 для роботи в комітеті без призначених ролей, то ми повинні враховувати, що будь-який вибір з перестановки, що включає тих самих трьох людей, повинен бути зарахований лише один раз.
Отже, коли ми вибираємо трьох людей, ми повинні розглянути, скільки різних способів їх групувати, а потім видалити ці зайві варіанти. У цьому прикладі ми вибираємо трьох людей. Кожна група з трьох може бути організована шістьма різними способами,$3 !=3 * 2=6,$ тому кожна окрема група з трьох підраховується шість разів.
Для того, щоб знайти фактичну кількість варіантів, візьмемо кількість можливих перестановок і ділимо на 6, щоб отримати фактичну відповідь:
\ [
_ {7} C_ {3} =\ frac {7 P_ {3}} {3!} =\ гідророзриву {7!} {4! * 3!}
\]
У комбінації, в якій порядок не важливий і немає призначених ролей, кількість можливостей визначається так:
\ [
_ {n} C_ {r} =\ frac {n!} {(н-р)! * r!}
\]
Один із способів запам'ятати різницю між перестановкою та комбінацією полягає в тому, що на комбінованій піці це не має ніякої різниці, чи йде ковбаса перед пепероні, чи цибуля покладено першим-так в комбінації, порядок не важливий!

ВПРАВИ 7.3
Знайдіть значення наступних виразів.
1)$\quad _{10} C_{4}$
2)$\quad _{8} C_{3}$
3)$\quad _{10} C_{6}$
4)$\quad _{8} C_{5}$
5)$\quad _{15} C_{12}$
6)$\quad _{18} C_{2}$
7)$\quad _{n} C_{4}$
8)$\quad _{9} C_{r}$
9) Скільки піц з трьома начинками можна зробити, якщо є дванадцять начинки на вибір?
10) Скільки мостових рук з 13 карт можливо з колоди з 52 карт?
11) Скільки покерних рук з 5 карт можливо з колоди з 52 карт?
12) Скільки різних місткових рук з 13 карт можливі, якщо жодна з карт не перевищує 10 (тобто немає лицьових карт)?
13) Скільки різних покерних рук з 5 карт можливі, якщо жодна з карт не вище$8 ?$
14) Якщо людина має 10 різних футболок, скільки способів вибрати 4 взяти в подорож?
15) Якщо група практикувала 15 пісень, скільки способів для них вибрати 4 пісні для відтворення на битві груп? Скільки різних виступів чотирьох пісень можливо?
16) П'ятнадцять хлопчиків і 12 дівчаток знаходяться в поході. Скільки способів може бути відібрана група з семи для збору дров:
$\quad$ а) без умов
$\quad$ б) група містить чотирьох дівчаток і трьох хлопчиків в
$\quad$) група містить не менше чотирьох дівчат
17) Клас з 25 учнів - це складається з 15 дівчаток і 10 хлопчиків. Скільки способів може бути обраний комітет з 8 студентів, якщо:
$\quad$ а) немає обмежень
$\quad$ б) чоловіки не включаються в комітет в
$\quad$) жінки не входять в комітет
$\quad$ г) комітет повинні мати 5 хлопчиків і 3 дівчаток
18) З групи з 12 чоловіків і 12 жінок-тенісистів, два чоловіки і дві жінки будуть обрані для участі в парному матчі чоловіків проти жінок. Скільки різних матчів можливо?
19) У сьомому класі танців навчаються 20 дівчаток і 17 хлопчиків.
$\quad$а) Скільки способів студенти можуть бути в парі, щоб створити танцювальні пари, що складаються з одного хлопчика і однієї дівчини?
$\quad$б) Скільки способів створити групу з 17 пар хлопчиків/дівчат?
$\quad$в) Скільки існує способів створити групу з 18 пар без обмежень?