Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4: Розв'язок раціональних нерівностей за допомогою графіків

  • Page ID
    58756
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У попередньому розділі ми бачили, як розв'язати поліноміальні нерівності за допомогою графіків. У цьому розділі ми будемо використовувати подібні методи для вирішення раціональних нерівностей. Раціональні нерівності передбачають співвідношення многочленів або дробів. Оскільки ці типи задач включають дроби, графіки функцій, з якими ми працюємо, матимуть те, що відомі як асимптоти. Це слово походить від грецького кореня, пов'язаного з двома рядками, які дуже близько один до одного, але ніколи не зустрічаються.

    Вертикальні асимптоти графа з'являться в місцях, де вихідний вираз має нульовий знаменник. Це означає, що функція не визначена в цих\(x\) значеннях, і тому, замість того, щоб мати\(y\) значення в цій точці, графік має асимптоту.

    Приклад
    Нижче наведено графік функції\(y=\frac{x+2}{x-1}\)
    clipboard_e8b5be7579424cdf40d488fe69acc33b2.png
    Замість того, щоб мати\(y\) значення в точці\(x=1\), де пунктирна лінія вказує асимптоту, де функція не визначена. У попередньому розділі ми були зацікавлені в пошуку коренів функції, оскільки це місця, де\(y=0,\) і можуть бути точками поділу між тим, де\(y\) значення більше нуля\((y>0)\) і де\(y\) значення менше нуля\((y<0)\)

    Важливість асимптотів при аналізі раціональних функцій полягає в тому, що, як і коріння, вони представляють\(x\) значення, які можуть бути точками поділу між де\(y>0\) і де\(y<0\)

    Приклад
    Розв'яжіть задану нерівність.
    \(\frac{2}{x-3}>0\)
    Спочатку розглядаємо графік:
    clipboard_e7b47bfaba055a7809f9d294d419ab03a.png

    Зверніть увагу, що асимптота для цього графіка відбувається за значенням,\(x=3,\) оскільки це\(x\) значення, яке створює нульовий знаменник. Також зверніть увагу, що\(y\) значення переходять від негативного до позитивного через асимптоту.

    Для цієї функції немає коренів, оскільки немає\(x\) значень, які роблять\(y=0\) Для дробу нуль чисельник повинен дорівнювати нулю. У цьому прикладі чисельник дорівнює 2 і жодне значення не\(x\) зробить його рівним нулю. Тому єдиною можливою точкою поділу на графіку є\(x=3,\) і рішення нерівності\(x>3\)

    Приклад
    Розв'яжіть задану нерівність.
    \(\frac{x-2}{x-3}>0\)
    clipboard_e4cb4d84afd9db47405f3ee30cf9ebecf.png
    У цій нерівності, є знову асимптота в\(x=3,\) але є також корінь на значення,\(x=2,\) тому що коли\(x=2 . y=\frac{2-2}{2-3}=\frac{0}{-1}=0 .\) Таким чином, ми маємо дві точки ділення, щоб розглянути,\(x=2\) і\(x=3 .\) Ми можемо бачити з графіка, що \(y>0\)для\(x<2\) або\(x>3,\) так, що це рішення даної нерівності.

    Приклад
    Розв'яжіть задану нерівність.
    \(\frac{x^{2}-2}{x-3}>0\)
    У цій задачі ми маємо ту саму асимптоту, що і попередні дві задачі:\(x=\)
    3. Однак в цій нерівності є два корені, тому що є два\(x\) значення, які роблять чисельник рівним нулю.
    \(x^{2}-2=0\)означає, що\(x^{2}=2\) і\(x=\pm \sqrt{2} \approx \pm 1.414\)
    Ми можемо бачити ці корені на графіку.
    clipboard_eb2306569ea50055c456320b49314925d.png
    На графіку вище, ми можемо побачити асимптоту в\(x=3\) і два корені в\(x \approx 1.414,-1.414\)
    \(x\) Значення,\(y>0\) які роблять\(-1.414<x<1.414\) або\(x>3\)

    Приклад
    Розв'яжіть задану нерівність.
    \(\frac{x-2}{x^{2}-3}>0\)
    clipboard_e08e2d260d00d03e93dbc53f8309b1e46.png
    Коріння для цієї функції - це\(x\) значення, які роблять чисельник рівним нулю:
    \(x-2=0,\) отже,\(x=2,\) і ми можемо побачити цей корінь на графіку.

    Асимптотами для функції є\(x\) значення, які роблять знаменник рівним
    нулю:
    \(x^{2}-3=0\) означає, що\(x^{2}=3\) і\(x=\pm \sqrt{3} \approx \pm 1.732\)

    clipboard_e0ba49fcb9c6b107b8ce7bf2168c0702c.png
    Тому розв'язком даної нерівності є:
    \(-1.732<x<1.732\) АБО\(x>2\)
    Приклад
    Розв'яжіть задану нерівність
    \(\frac{5 x+1}{x^{2}+3 x-4}<0\)

    clipboard_e74857b29ddc7c11e98c94557a0591108.png
    Коріння
    \(5 x+1=0\)
    \(5 x=-1\)
    \(x=-0.2=-\frac{1}{5}\)
    асимптотів
    \(x^{2}+3 x-4=0\)
    \((x+4)(x-1)=0\)
    \(x=-4,1\)

    clipboard_e9275738b798e4d03c9e36e3f3614bb96.png
    Якщо ми поєднаємо алгебраїчний аналіз вище з тим, що ми бачимо на графіку, то ми знаємо, що точки поділу, важливі для вирішення цієї нерівності, знаходяться в\(x=-4,-0.2,1 .\) інтервалах, де\(y\) значення менше нуля\(x<-4\)\(\mathrm{OR}-0.2<x<1\)

    Приклад
    \(\frac{x^{2}+2 x-1}{x^{2}+7 x+5} \leq 0\)
    clipboard_e643bedb58045d34286655db276af608a.png
    Коріння

    \ [\ begin {масив} {l}
    x^ {2} +2 x-1 = 0\\
    x\ приблизно 2.414,0.414
    \ end {масив}
    \]
    Асимптоти
    \(x^{2}+7 x+5=0\)
    \ [
    x\ approx-6.193, -0.807
    \]
    Ми бачимо, що точками ділення, важливими для розв'язання нерівності, є Інтервали, де\(y\) значення менше або рівні нулю\(x \approx-6.193,-2.414,-0.807,0.414 .\) \(-6.193 \leq x \leq-2.414\)АБО\(-0.807 \leq x \leq 0.414\)

    Вправи 2.4
    Розв'яжіть кожну нерівність.
    1)\(\quad \frac{x+4}{x^{2}-8 x+12}>0\)
    2)\(\quad \frac{2 x+3}{x^{2}-2 x-35}<0\)
    3)\(\quad \frac{x^{2}-5 x-14}{x^{2}+3 x-10}<0\)
    4)\(\quad \frac{2 x^{2}-x-3}{x^{2}+10 x+16}>0\)
    5)\(\quad \frac{3 x+2}{x^{2}+x-5}<0\)
    6)\(\quad \frac{x^{2}+2 x+5}{x^{2}-3 x-7}>0\)
    7)\(\quad \frac{x^{3}+9}{x^{2}+x-1}>0\)
    8)\(\quad \frac{x^{3}+9}{x^{2}+x+1}>0\)

    Вирішити кожну нерівність.
    9)\(\quad \frac{x^{2}-2 x-9}{3 x+11}>0\)
    10)\(\quad \frac{x^{2}+4 x+3}{2 x+1}<0\)
    11)\(\quad \frac{x^{2}+x-5}{x^{2}-x-6}>0\)
    12)\(\quad \frac{x^{3}+2}{x^{2}-2}>0\)
    13)\(\quad \frac{x^{2}+2 x-7}{x^{2}+3 x-6}<0\)
    14)\(\quad \frac{2 x-x^{2}}{x^{2}-4 x+6}<0\)
    15)\(\quad \frac{x^{2}-7}{x^{2}+5 x-1}<0\)
    16)\(\quad \frac{x-5}{3 x^{2}-2 x-3}>0\)