2.2: Рішення за допомогою графіків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58735

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У попередніх курсах рішення лінійних рівнянь охоплюється, як правило, шляхом поділу змінних та констант на протилежних сторонам рівняння, щоб ізолювати змінну. У попередньому розділі ми розглянули рішення квадратних рівнянь, в яких змінна ізолюється за допомогою методики завершення квадрата. Основна відмінність між цими методами розв'язання полягає в тому, що при розв'язанні квадратних рівнянь ми повинні боротися з декількома різними ступенями змінної, що значно ускладнює виділення змінної. Існують такі формули, як квадратична формула, доступні для вирішення кубічних$\left(x^{3}\right)$ та квартичних$\left(x^{4}\right)$ рівнянь, однак ці формули дещо громіздкі та архаїчні. Основним методом розв'язання рівнянь ступеня вище 2 є розв'язання графіком або алгоритмом.

Рішення за алгоритмом є дуже цікавим процесом, оскільки існує безліч різних алгоритмів. Який алгоритм є найбільш підходящим, часто залежить від типів розв'язуваних рівнянь і технології, доступної для їх вирішення. Два основних типи алгоритмів, які спираються на графічне представлення рівняння, називаються «Подвійне хибне положення» та «Метод Ньютона-Рафсона». Багато загальнодоступних частин технології використовують один з цих методів. оскільки у нас є графічні калькулятори, доступні для нас, ми зосередимося на вирішенні графіків.

Незалежно від того, чи використовуєте графічний калькулятор TI (Texas Instruments) або графічний калькулятор Casio, або програмну утиліту графіку, таку як Graph або Desmos, рішення цих рівнянь фокусується на пошуку$x$ -перехоплення графіка, оскільки саме тут$y$ значення дорівнює 0. Конкретні процеси розв'язання рівнянь з використанням кожного з цих різних інструментів будуть розглянуті в класі.
Приклад
$x$
$x^{3}-3 x^{2}=2 x-7$
Вирішити для Першим кроком є переміщення всіх членів в одну сторону рівняння і встановити їх рівним нулю.
$x^{3}-3 x^{2}-2 x+7=0$

Потім ми графуємо функцію і шукаємо, які$x$ значення зроблять$y$ значення рівним 0
$clipboard_e33fa1feef9e5c0bb076eb8723f099773.png$
У цьому графіку ми можемо побачити три корені, або$x$ -перехоплення, де графік перетинає$x$ вісь -. Це$x$ -значення, які роблять$y$ -value рівним$0 .$ Ми можемо використовувати наявну технологію, щоб знайти ці$x$ -значення.
$clipboard_ec536203a344e401ed59a4b80b17e9690.png$
Отже, ми бачимо, що рішення рівняння$x^{3}-3 x^{2}-2 x+7=0$ є$x \approx-1.491,1.657,2.834.$
Ми можемо перевірити ці відповіді, включивши їх назад у вихідне рівняння.

\ [
\ почати {вирівняний}
(-1.491) ^ {3} -3 * (-1.491) ^ {2} -2 * (-1.491) +7 &=-3.3146-3 * 2.223+2.982+7\\
&=-3.3146-6.669+2.982+7\
&=-0.0016
\ кінець {вирівняний}
\]
Результат не зовсім 0, оскільки наш відповіді мають був округлений до 1000-го місця. Якщо ми хотіли більшої точності, то ми повинні включити більшу точність у значення наших відповідей.
\ [
\ почати {вирівняний}
(1.657) ^ {3} -3 * (1.657) ^ {2} -2 * (1.657) +7 &=4.5495-3 * 2.7456-3.314+7\\
&=4.5495-8.2368-3.314+7\\
&=-0.0013
\ кінець {вирівняний}
\]
і
\ [
\ почати {вирівняний}
(2.834) ^ {3} -3 * (2.834) ^ {2} -2 * (2.834) +7 &=22.7614-3* 8.03155-5.668+7\\
&=22.7614-24.09465-5.668+7\\
&=-0.00125
\ кінець {вирівняний}
\]

Вправи 2.2
Вирішити для$x$
1)$\quad 3 x^{3}-7 x^{2}-x+1=0$
2)$\quad 24 x^{4}+5 x^{2}-13 x+3=0$
3)$\quad 2 x^{3}-2 x^{2}-28 x+51=0$
4)$\quad 2 x^{3}+5 x^{2}-15 x+7=0$
5)$\quad x^{4}-4 x^{3}+x^{2}+6 x+1=0$
6)$\quad x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-x-6=0$
7)$\quad x^{4}-5 x^{3}-3 x^{2}+17 x-9=0$
8)$\quad 2 x^{3}-5 x-3=0$
9)$\quad x^{4}-4 x^{3}-7 x^{2}-36 x-18=0$
10)$\quad 6 x^{3}-25 x^{2}+21 x+10=0$
11)$\quad 2 x^{4}-5 x^{3}+x^{2}+4 x-2=0$
12)$\quad x^{4}+x^{3}-5 x^{2}+x-4=0$