2.5: Пошук факторів від коренів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58751

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Один з методів розв'язання рівнянь передбачає знаходження множників поліноміального виразу в рівнянні і подальше встановлення кожного коефіцієнта рівного нулю.
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +8 x+15=0\\
(x+5) (x+3) = 0\\
x+5 = 0\ quad x+3=0\
x = -5\ quad x = -3
\ end {масив}
\]
У цьому процесі міркування полягає в тому, що якщо\((x+5)\) раз \((x+3)\)дорівнює нулю, тоді один з цих виразів повинен дорівнювати нулю. Встановлюючи їх рівним нулю, знаходимо розв'язки\(x=-5,-3 .\) підключення їх назад до фактованого виразу ми бачимо наступне:
\ [
(-5+5) (-5+3) =0 *-2=0
\]
і
\ [
(-3+5) (-3+3) =2 * 0=0
\]
Цей процес працює і в зворотному напрямку. Іншими словами, якщо ми знаємо корінь функції, ми можемо знайти фактори для виразу.
Приклад
Знайти квадратне рівняння, яке має коріння -2 і +3
\ [
\ begin {масив} {cc} x =
-2 & x=3\
x+2=0 & x-3 = 0\\\
(x+2) (x-3) =0\\
x^ {2} -x-6=0
\ end {масив}
\]

Коріння, які є дробами, трохи складніше, але насправді не складніше:
Приклад
Знайдіть квадратне рівняння, яке має коріння -5 і\(\frac{2}{3}\)
\ [
\ begin {масив} {cc}
x=-5 & x=\ frac {2} {3}\
x+5=0 & 3 x = 2\\\
x+5=0 & 3 x-2 = 0\\
(x+5) (3 х-2) =0\\
3 x^ {2} +13 x-10=0
\ кінець {масив}
\]

Вправи 2.5
Знайдіть квадратне рівняння, яке має зазначені коріння.
1)\(\quad 4,-1\)
2)\(\quad -2,7\)
3)\(\quad \frac{3}{2}, 1\)
4)\(\quad-\frac{1}{5}, \frac{2}{3}\)
5)\(\quad \frac{1}{3}, 3\)
6)\(\quad-4, \frac{2}{5}\)
7)\(\quad \frac{1}{2},-\frac{7}{2}\)
8)\(\quad-1, \frac{3}{5}\)
9)\(\quad-\frac{2}{3},-3\)
10)\(\quad-\frac{2}{3},-\frac{3}{4}\)
11)\(\quad-\frac{5}{2}, 3\)
12)\(\quad-6,-2\)