1.1: Алгебраїчне спрощення

Коли алгебраїчні прийоми представляються як навички ізольовано, їх набагато простіше зрозуміти і практикувати. Однак процес вирішення проблем у будь-якому контексті передбачає вирішення, які навички використовувати, коли. Більшість студентів з алгебри коледжу будуть практикувати завдання у вигляді:
\ [
\ begin {array} {c}
(x+7) (x-2) =? \\
\ текст {або}\\
(2 х+1) ^ {2} =?
\ end {array}
\]
Проблеми в цьому розділі стосуються поєднання цих процесів, які часто зустрічаються як частини більш складних завдань.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спрощення:
\ [
3 (x-1) (2 x+5) - (x+4) ^ {2}\ номер
\]

Рішення

У цьому прикладі спрощення передбачає два вирази:$3(x-1)(2 x+5)$ і$(x+4)^{2} .$ The$(x+4)^{2}$ передує негативний (або віднімання) знак. Цей підручник часто$-x$ розглядатиме і$+(-x)$ як еквівалентні твердження, оскільки віднімання визначається як додавання негативу.

Ми спростимо кожен вираз окремо, а потім подивимося, щоб об'єднати подібні терміни.
\ [
3 (x-1) (2 x+5) - (x+4) ^ {2} =3\ left (2 x^ {2} +3 x-5\ праворуч) -\ left (x^ {2} +8 x+16\ праворуч)\ nonumber
\]
Зверніть увагу, що результати обох множень залишаються всередині дужок. Це тому, що у кожного є щось, що потрібно розподілити.

У випадку з$\left(2 x^{2}+3 x-5\right)$, є 3 які повинні бути розподілені, в результаті чого$6 x^{2}+9 x-15 .$ У випадку$\left(x^{2}+8 x+16\right)$ є негативний знак або -1 який повинен бути розподілений, в результаті$-x^{2}-8 x-16 .$ Важливо в цих ситуаціях, щоб негативний знак був розподілений на всі терміни в дужках.

Так
\ [
\ почати {вирівняний}
3 (x-1) (2 x+5) - (x+4) ^ {2} &=3\ ліворуч (2 x ^ {2} +3 x-5\ праворуч) -\ ліворуч (x^ {2} +8 x+16\ праворуч)\\
&=6 x^ {2} +9 х-15-х^ {2} -8 x-16\
&=5 x ^ {2}} +x-31
\ кінець {вирівняний}
\]

Приклад$\PageIndex{2}$

Спрощення:
\ [
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2)\ номер
\]

Рішення

У цьому прикладі показані деякі з тих самих процесів, що і в попередньому прикладі. Знову є два вирази, які необхідно спростити, кожне з яких має коефіцієнт, який необхідно розподілити. Часто корисно почекати, поки після множення біноміалів перед розподілом коефіцієнта. Однак, як це часто буває в математиці, існує кілька різних підходів, які можуть бути прийняті в спрощенні цієї проблеми.

Якщо хтось вважає за краще спочатку розподілити коефіцієнт перед множенням біноміалів, то коефіцієнт повинен бути розподілений тільки на ОДИН з біноміалів, але не обидва. Наприклад, при множенні ми можемо спочатку помножити$3 * 2 * 5=30$,$2 * 5=10$ а потім$3 * 10=30 .$ кожен коефіцієнт множиться лише один раз.
У наведеному вище прикладі ми можемо діяти так, як ми робили з попереднім прикладом:
\ [
\ begin {вирівняний}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &=2\ ліворуч (x^ {2} +6 x+9\ праворуч) -4\ вліво (3 x^ {2} +5 x-2\ праворуч)\\
&=2 x^ {2} +12 x+18-^ {x-2\ праворуч)\\\ &=2 x^ {2} +12 x+18-^ {2} -20 х+8\\
& amp; =-10 x^ {2} -8 x+26
\ end {вирівняний}
\]
Або ми можемо вибрати розподілити 4 спочатку:
\ [
\ почати {вирівняний}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &= 2\ ліворуч (x^ {2} +6 x+9\ праворуч) - (12 х-4) (x+2)\\
&^ 2 x {2} +12 х+18-\ ліворуч (12 x^ {2} +20 х-8\ праворуч)\\
&=2 x^ {2} +12 х+18-12 x^ {2} -20 x+8\
&=-10 x^ {2} -8 x+26
\ кінець {вирівняний}
\]

Або ми можемо розподілити 4 як негатив. Якщо ми це зробимо, то знак перед дужками буде позитивним:
\ [
\ begin {вирівняний}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &=2\ лівий (x^ {2} +6 x+9\ праворуч) + (-12 x+4) (x+2)\ &=2 x^ {2} +12 x+18+\ left (-12 x+4) (x+2)\
&=2 x^ {2} +12 x+18+\ left (-12 x+4) (x+2)\ &=2 x^ {2} +12 x+18+ ^ {2} -20 х+8\ праворуч)\\
&=-10 x^ {2} -8 x+26
\ end {aligned}

\] Розподіл 2 перед квадратом біном також слід обробляти обережно, якщо ви вирішите це зробити. Якщо ви розподіляєте 2 перед квадратом$(x+3)$, то 2 буде квадрат, а також. Якщо ви вирішите поширювати,$2,$ то$(x+3)^{2}$ повинні бути виписані як$(x+3)(x+3)$

\ [
\ почати {вирівняний}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &=2 (x+3) (x+3) -4 (3 x-1) (x+2)\\
& =( 2 x+6) (x+3) -4\ ліворуч (3 x ^ {2} +5 x-2\ праворуч)\\
&= 2 x^ {2} +12 х+18-12 x {2} -20 х+8\\
&=-10 x^ {2} -8 х+26
\ кінець {вирівняний}
\]

Більшість прикладів у цьому тексті розподілять коефіцієнти як останній крок перед об'єднанням подібних термінів для остаточної відповіді.

Приклад$\PageIndex{3}$

Спрощення:
\ [
3 х [5- (2 х+7)] + (3 х-2) ^ {2} - (x-5) (x+4)\ nonumber
\]

Цей приклад має три вирази, які слід спростити окремо перед об'єднанням подібних термінів. У першому виразі$3 x[5-(2 x+7)],$ ми повинні спростити всередині дужок перед розподілом$3 x$

\ почати {вирівняний}
& 3 x [5- (2 x+7)] + (3 х-2) ^ {2} - (x-5) (x+4)\
=& 3 x [5-2 х-7] + (3 х-2) ^ {2} - (x-5) (x+4)\
=& 3 x [-2 x-2] + (3 х-2) (3 х-2) (3 х-2) -\ вліво (x-2) -\ вліво (x-2) ^ {2} -x-20\ праворуч)\\
=&-6 x^ {2} -6 х+\ ліворуч (9 x^ {2} -12 x+4\ праворуч) -x^ {2} +х+20\\
=&-6 x^ {2} -6 х+9 x^ {2} -12 х+4-х^ {2} +х+20\\
=& 2 x^ {2} -17 х+24
\ кінець {вирівняний}

Вправи$\PageIndex{1}$

Спрощуйте кожен вираз.

1. $\quad (x-2)[2 x-2(3+x)]-(x+5)^{2}$
2. $\quad 3 x^{2}-[7 x-2(2 x-1)(3-x)]$
3. $\quad (a+b)^{2}-(a+b)(a-b)-\left[a(2 b-2)-\left(b^{2}-2 a\right)\right]$
4. $\quad 5 x-3(x-2)(x+7)+3(x-2)^{2}$
5. $\quad (m+3)(m-1)-(m-2)^{2}+4$
6. $\quad (a-1)(a-2)-(a-2)(a-3)+(a-3)(a-4)$
7. $\quad 2 a^{2}-3(a+1)(a-2)-[7-(a-1)]^{2}$
8. $\quad 2(x-5)(3 x+1)-(2 x-1)^{2}$
9. $\quad 6 y+(3 y+1)(y+2)-(y-3)(y-8)$
10. $\quad 6 x-4(x+10)(x-1)+(x+1)^{2}$

Відповіді

1. $\quad -x^{2}-16 x-13$
3. $\quad 3 b^{2}$
5. $\quad 6 m-3$
7. $\quad -2 a^{2}+19 a-58$
9. $\quad 2 y^{2}+24 y-22$