1.6: Операції з дробами

Огляд

• Множення дробів
• Розподіл дробів
• Додавання і віднімання дробів

Множення дробів

Множення дробів

Для множення двох дробів помножте чисельники разом і помножте знаменники разом. Знизити до найнижчих термінів, якщо це можливо.

Приклад$\PageIndex{1}$

Наприклад, помножте$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{6}$:

\ (
\ почати {вирівняні}
&\ почати {вирівняні}\ dfrac {3} {4}\ ddot\ dfrac {1} {6} &=\ dfrac {3\ cdot 1} {4\ cdot 6}\
&=\ dfrac {3} {24}\ квад\ текст {Тепер зменшити.}\\
&=\ dfrac {3\ cdot 1} {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot 3}
\ кінець {вирівняний}\\
&=\ dfrac {\ not {3}\ cdot 1} {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot\ not 3}\\
&\ текст {3 є єдиним загальним фактором.}\\
&=\ dfrac {1} {8}
\ кінець {вирівняний}
\)

Зверніть увагу, що ми так як довелося зменшити, ми майже почали знову з оригінальних двох дробів. Якщо ми спочатку перерахуємо, потім скасуємо, потім множимо, ми заощадимо час і сили і все одно отримаємо правильний продукт.

Набір зразків A

Виконайте наступні множення:

Приклад$\PageIndex{2}$

\ (
\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {1} {4}\ ddot\ dfrac {8} {9} =\ drac {1} {2\ cdot 2}\ ddot 2} {3\ cdot 3}\\ &\ почати {масив} {л}
=\ dfrac {1} {\ not 2\ cdot\ not 2}\ cdot\ dfrac {\ not 2\ cdot\ not 2\ cdot 2} {3\ cdot 3}\ текст {2 є загальним фактором}\\
=\ dfrac {1} {1}\ ddot\ drac {2} {3\ cdot 3}\\
=\ dfrac {1\ cdot 2} {1\ ddot 3}\\
=\ dfrac {2} {9}
\ кінець {масив}\
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад$\PageIndex{3}$

\ (
\ почати {вирівняні}
\ drac {3} {4}\ точка\ drac {8} {9}\ точка\ drac {5} {12} &=\ drac {3} {2\ cdot 2}\ dot\ drac {2\ dot 2} {3\ dot 3}\ dot\ drac {5} {2\ dot 2\ dot 3}\\
&=\ dfrac {\ not {3}} {\ не 2\ dot\ not 2}\ ddot\ drac {\ не 2\ cdot\ not 2} { \ not {3}\ cdot 3}\ ddot\ dfrac {5} {\ not 2\ cdot 2\ dot 3}\ quad 2\ текст {і} 3\ текст {є загальними факторами.}\\\
&=\ dfrac {1\ cdot 1\ cdot 5} {3\ cdot 2\ ddot 3}\
&=\ dfrac {5} {18}
\ end {вирівняний}
\)

Розподіл дробів

Взаємні

Два числа, твір яких дорівнює 1, є взаємними один одному. Наприклад, так як$\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{4}=1, \dfrac{4}{5} \text { and } \dfrac{5}{4}$ є взаємними один одного. Деякі інші пари взаємних перелічені нижче.

$\dfrac{2}{7}, \dfrac{7}{2} \quad \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{3} \quad \dfrac{6}{1}, \dfrac{1}{6}$

Взаємні використовуються при діленні дробів.

Розподіл дробів

Щоб розділити перший дріб на другий дріб, помножте перший дріб на зворотний другий. Зменшіть, якщо це можливо.

Цей метод іноді називають методом «інвертувати і множити».

Набір зразків B

Виконайте наступні поділи:

Приклад$\PageIndex{4}$

$\dfrac{1}{3} \div \dfrac{3}{4} . \quad \text{ The divisor is } \dfrac{3}{4} . \text{ Its reciprocal is } \dfrac{4}{3}$
\ (
\ почати {вирівняний}
\ dfrac {1} {3}\ div\ dfrac {3} {4} &=\ dfrac {1} {3}\ dfrac {4} {3}\ &=\ dfrac {1\ cdot 4} {3\ cdot 3}\\
&=\ dfrac {4} {9}\ cdot 4} {3\ cdot 3}\
&=\ dfrac {4} {9}
\ кінець}
\)

Приклад$\PageIndex{5}$

\ (
\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {3} {8}\ div\ dfrac {5} {4}. \ quad\ text {Дільник}\ dfrac {5} {4}. \ текст {Його зворотний є}\ dfrac {4} {5}\\
&\ почати {вирівняний}
\ dfrac {3} {8}\ dfrac {5} {4} &=\ dfrac {3} {8}\ cdot\ dfrac {4} {5}\
&=\ dfrac {3} {\ not 2\ cdot\ not 2\ not\ cdot 2}\ ddot\ drac {\ not 2\ dot\ not 2} {5}
\ кінець {вирівняний}\\
& =\ dfrac {3\ точка 1} {2\ точка 5}\\
&=\ dfrac {3} {10}
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад$\PageIndex{6}$

\ (
\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {5} {6}\ div\ dfrac {5} {12}. \ quad\ text {Дільник}\ dfrac {5} {12}. \ текст {Його зворотний є}\ dfrac {12} {5}\\
&\ почати {вирівняний}
\ dfrac {5} {6}\ dfrac {5} {12} &=\ dfrac {5} {6}\ cdot\ dfrac {12} {5}\
&=\ dfrac {5} {2\ cdot 3}\ cdot\ drac {2\ dot 2\ dot 3} {5}\\
&=\ dfrac {\ не 5} {\ не 2\ dot\ not {3}}\ dot\ dfrac {\ не 2\ cdot 2\ cdot\ not {3}} {\ не 5}\\
&=\ dfrac {1\ cdot 2} {1}\\
&=2
\ кінець {вирівняний}
\ кінець {вирівняний}
\)

Додавання і віднімання дробів

Дроби з подібними знаменниками

Щоб скласти (або відняти) два або більше дробів, які мають однакові знаменники, додайте (або відніміть) чисельники і помістіть отриману суму над спільним знаменником. Зменшіть, якщо це можливо.

ОБЕРЕЖНІСТЬ

Додайте або відніміть тільки чисельники. Не додавайте і не віднімайте знаменники!

Набір зразків C

Знайдіть наступні суми.

Приклад$\PageIndex{7}$

\ (
\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {3} {7} +\ dfrac {2} {7}\ текст {. Знаменники однакові. Додайте чисельники і помістіть суму більше} 7. \\
&\ dfrac {3} {7} +\ dfrac {2} {7} =\ dfrac {3+2} {7} =\ dfrac {5} {7}
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад$\PageIndex{8}$

\ (
\ begin {вирівняний}
&\ dfrac {7} {9} -\ dfrac {4} {9}. \ quad\ text {Знаменники однакові. Відніміть} 4\ text {з} 7\ text {і помістіть різницю над} 9. \\
&\ dfrac {7} {9} -\ dfrac {4} {9} =\ dfrac {7-4} {9} =\ dfrac {3} {9} =\ dfrac {1} {3}
\ кінець {вирівняний}
\)

Дроби з відмінними знаменниками

Щоб додати або відняти дроби, що мають відмінні від знаменників, перетворіть кожен дріб на еквівалентний дріб, що має в якості знаменника найменш спільний кратний початковим знаменникам.

Найменш поширеним кратним оригінальних знаменників прийнято називати найменш спільним знаменником (РК). Див. Розділ 3.4 для техніки знаходження найменш спільного кратного декількох чисел.

Набір зразків D

Знайти кожну суму або різницю

Приклад$\PageIndex{9}$

Знаменники не схожі між собою. Знайдіть РК-дисплей 6 і 4.

$\begin{array}{ll}\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{4} . & \text { The denominators are not alike. } \\ \left\{\begin{array}{l}6=2 \cdot 3 \\ 4=2^{2}\end{array}\right. & \text { The LCD is } 2^{2} \cdot 3=4 \cdot 3=12 \text { . }\end{array}$
Перетворіть кожен з початкових дробів на еквівалентні дроби, що мають спільний знаменник 12.

$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2}=\dfrac{2}{12} \quad \dfrac{3}{4}=\dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}=\dfrac{9}{12}$

Тепер можна приступати до додавання.

\ (
\ почати {вирівнювання}
\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {3} {4} &=\ dfrac {2} {12} +\ dfrac {9} {12}\
&=\ dfrac {2+9} {12}\
&=\ dfrac {11} {12}
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад$\PageIndex{10}$

Знаменники не схожі між собою. Знайдіть РК-дисплей 9 і 12.

$\begin{array}{ll}\dfrac{5}{9}-\dfrac{5}{12} . & \text { The denominators are not alike. } \\ \left\{\begin{array}{l}9=3^{2} \\ 12=2^{2} \cdot 3\end{array}\right. & \text { The LCD is } 2^{2} \cdot 3^{2}=4 \cdot 9=36 .\end{array}$
Перетворіть кожен з початкових дробів на еквівалентні дроби, що мають спільний знаменник 36.

$\dfrac{5}{9}=\dfrac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4}=\dfrac{20}{36} \quad \dfrac{5}{12}=\dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3}=\dfrac{15}{36}$
Тепер можна приступати до віднімання.
\ (
\ почати {вирівняний}
\ dfrac {5} {9} -\ dfrac {5} {12} &=\ dfrac {20} {36} -\ dfrac {15} {36}\
&=\ dfrac {20-15} {36}\
&=\ dfrac {5} {36}
\ кінець {вирівняний}
\)

Вправи

Для кожної з наведених нижче проблем виконайте кожну зазначену операцію

Вправа$\PageIndex{1}$

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3}$

Відповідь

$\dfrac{4}{9}$

Вправа$\PageIndex{2}$

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{6}$

Відповідь

$\dfrac{1}{3}$

Вправа$\PageIndex{4}$

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3}$

Відповідь

$\dfrac{4}{9}$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{14}{15}$

Вправа$\PageIndex{6}$

$\dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{20}{27}$

Відповідь

$\dfrac{5}{12}$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\dfrac{35}{36} \cdot \dfrac{48}{55}$

Вправа$\PageIndex{8}$

$\dfrac{21}{25} \cdot \dfrac{15}{14}$

Відповідь

$\dfrac{9}{10}$

Вправа$\PageIndex{9}$

$\dfrac{76}{99} \cdot \dfrac{66}{38}$

Вправа$\PageIndex{10}$

$\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{14}{18} \cdot \dfrac{6}{2}$

Відповідь

1

Вправа$\PageIndex{11}$

$\dfrac{14}{15} \cdot \dfrac{21}{28} \cdot \dfrac{45}{7}$

Вправа$\PageIndex{12}$

$\dfrac{5}{9} \div \dfrac{5}{6}$

Відповідь

$\dfrac{2}{3}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\dfrac{9}{16} \div \dfrac{15}{8}$

Вправа$\PageIndex{14}$

$\dfrac{4}{9} \div \dfrac{6}{15}$

Відповідь

$\dfrac{10}{9}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\dfrac{25}{49} \div \dfrac{4}{9}$

Вправа$\PageIndex{16}$

$\dfrac{15}{4} \div \dfrac{27}{8}$

Відповідь

$\dfrac{10}{9}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{24}{75} \div \dfrac{8}{15}$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{57}{8} \div \dfrac{7}{8}$

Відповідь

$\dfrac{57}{7}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{7}{10} \div \dfrac{10}{7}$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}$

Відповідь

$\dfrac{5}{8}$

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{3}{11} + \dfrac{4}{11}$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12}$

Відповідь

1

Вправа$\PageIndex{23}$

$\dfrac{11}{16} - \dfrac{2}{16}$

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{15}{23} - \dfrac{2}{23}$

Відповідь

$\dfrac{13}{23}$

Вправа$\PageIndex{25}$

$\dfrac{3}{11} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{5}{11}$

Вправа$\PageIndex{26}$

$\dfrac{16}{20} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{2}{20}$

Відповідь

$\dfrac{19}{20}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} - \dfrac{1}{8}$

Вправа$\PageIndex{28}$

$\dfrac{11}{16} + \dfrac{9}{16} - \dfrac{5}{16}$

Відповідь

$\dfrac{15}{16}$

Вправа$\PageIndex{29}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}$

Вправа$\PageIndex{30}$

$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2}$

Відповідь

$\dfrac{5}{8}$

Вправа$\PageIndex{31}$

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}$

Вправа$\PageIndex{32}$

$\dfrac{5}{8} + \dfrac{2}{3}$

Відповідь

$\dfrac{31}{24}$

Вправа$\PageIndex{33}$

$\dfrac{6}{7} - \dfrac{1}{4}$

Вправа$\PageIndex{34}$

$\dfrac{8}{15} - \dfrac{3}{10}$

Відповідь

$\dfrac{5}{6}$

Вправа$\PageIndex{35}$

$\dfrac{1}{15} + \dfrac{5}{12}$

Вправа$\PageIndex{36}$

$\dfrac{25}{36} - \dfrac{7}{10}$

Відповідь

$\dfrac{-1}{180}$

Вправа$\PageIndex{37}$

$\dfrac{9}{28} - \dfrac{4}{45}$

Вправа$\PageIndex{38}$

$\dfrac{8}{15} - \dfrac{3}{10}$

Відповідь

$\dfrac{7}{30}$

Вправа$\PageIndex{39}$

$\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{8}$

Вправа$\PageIndex{40}$

$\dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{36}$

Відповідь

$\dfrac{47}{18}$

Вправа$\PageIndex{41}$

$\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{22} + \dfrac{5}{24}$