1.1: Групи
- Page ID
- 63574
Коли в кінці 1920-х років теорія груп була введена в формалізм квантової механіки для вирішення незрозумілих спектроскопічних задач, вона вважалася найважчою і небажаною галуззю математичної фізики. З того часу теорія груп була спрощена і популяризована, і вона широко практикується в багатьох галузях фізики, хоча ця практика все ще обмежується здебільшого важкими проблемами, де інші методи зазнають невдачі.
На відміну від цього, я хочу підкреслити, що теорія груп має також прості аспекти, які виявляються надзвичайно корисними для систематичного викладу матеріалу цього курсу.
Відклавши на деякий час точне визначення, - ми заявляємо дещо нещільно, що ми називаємо набір елементів групою, якщо вона закрита щодо однієї бінарної операції, яка зазвичай називається множенням. Це множення, як правило, не сприймається в здоровому розумінні цього слова, і не повинно бути комутативним. Він, однак, асоціативний і оборотний.
Найбільш поширене тлумачення такої операції - трансформація. Скажімо, переклади та обертання евклідового простору; перетворення, які підтримують симетрію такого об'єкта, як куб або сфера. Перетворення, що пов'язують висновки різних інерційних спостерігачів один з одним.
За допомогою деяких тренувань ми розпізнаємо групи в будь-якому місці, де ми дивимося. Таким чином, ми можемо розглянути групу зміщення твердого тіла, а також будь-яку конкретну підмножину цих зміщень, що виникають в ході конкретного руху.
Ми побачимо, що теорія груп надає термінологію, яка є неоціненною для точного та інтуїтивного обговорення найбільш елементарних і фундаментальних принципів фізики. Щодо обговорення конкретних проблем, ми зосередимося на тих, з якими можна адекватно впоратися шляхом розтягування елементарних методів, і не будемо посилатися на прогресивні групові теоретичні результати. Тому перейдемо тепер до короткого накреслення основних визначень і теорем, які нам знадобляться в продовженні.
Розглянемо набір елементів\(A, B, C, \cdots\) і двійкову операцію, яка традиційно називається «множенням». Ми називаємо цей набір групою,\(\mathcal{G}\) якщо задовольняються наступні вимоги.
- Для будь-якої замовленої пари A, B є товар\(AB = C\). Безліч закритий щодо множення.
- Асоціативний закон передбачає:\((AB)C = A(BC)\).
- Є одиничний елемент\(E \in \mathcal{G}\) такий, що\(EA = AE = A\) для всіх\(A \in \mathcal{G}\).
- Для кожного елемента А існує зворотна\(A^{-1}\) с\(A^{-1}A = AA^{-1} = E\).
Множення не повинно бути комутативним. Якщо вона є, то група називається Абеліан.
Кількість елементів в\(\mathcal{G}\) називається порядком групи. Це може бути скінченним або нескінченним, очисним або безперервним.
Якщо підмножина\(\mathcal{G}\) задовольняє групові постулати, вона називається підгрупою.
1.1.1 Критерій для підгруп
Якщо підмножина елементів групи скінченного порядку\(\mathcal{G}\) замкнута при множенні, то вона є підгрупою\(\mathcal{G}\).
Доведіть, що постулати групи задоволені. Обговоріть випадок груп нескінченного порядку.
Для того, щоб пояснити використання цих понять, ми перерахуємо кілька прикладів множин, обраних з різних галузей математики, що цікавлять фізику, для яких дійсні групові постулати.
Множина цілих чисел (додатних, від'ємних і нульових) є абелевою групою нескінченного порядку, де загальне додавання грає роль множення. Нуль служить одиницею і оберненою a є\(-a\).
Безліч перестановок n об'єктів, званих також симетричною групою\(\mathcal{S}(n)\), має порядок\(n!\). Він не є абелевським для\(n > 2\).
Нескінченна множина\(n \times n\) матриць з незникаючими детермінантами. Операція - множення матриці; вона взагалі некомутативна.
Сукупність операцій покриття симетричного об'єкта, таких як прямокутна призма (чотири групи), правильний трикутник, тетраедр, куб або сфера, щоб згадати лише кілька важливих випадків. Висловлюючи симетрію об'єкта, їх називають групами симетрії. Множинний катіон двох елементів означає, що відповідні операції проводяться в певній послідовності. За винятком першого випадку, ці групи є неабелевскими.
Конкретні визначення, наведені вище, визначають правило множення для кожної групи. Для скінченних груп результати зручно представляються в таблицях множення, з яких витягується вся структура групи. Наприклад, один визнає, що деякі групи охоплюючих операцій, перерахованих у розділі (4), є підгрупами інших.
Довести теорему про перестановку легко: У таблиці множення кожен стовпець або рядок містить кожен елемент один раз і лише один раз. Ця теорема дуже корисна при налаштуванні таблиць множення. (Допомагає виявити помилки!)
1.1.2 Циклічні групи
Для довільного елемента A скінченної\(\mathcal{G}\) форми послідовність:\(A, A^{2}, A^{3} \cdots\), нехай числа різних елементів у послідовності будуть p Це легко показати\(A^{p} = E\). Послідовність
\[\begin{array}{c} {A, A^{2}, \cdots, A^{p} = E} \end{array}\]
називається періодом А; р - порядок А. період - абелева група, підгрупа\(\mathcal{G}\). Він може бути ідентичним йому, в цьому випадку\(\mathcal{G}\) називається циклічної групою.
Оскільки періоди є підгрупами, порядок кожного елемента є дільником порядку групи.
1.1.3 Косети
\(\mathcal{H}\)Дозволяти бути\(\mathcal{G}\) підгрупою з елементів\(E, H_{2}, \cdots H_{h}\); множина елементів
\[\begin{array}{c} {EA, H_{2}A, \cdots , H_{h}A} \end{array}\]
називається правою косетою за\(\mathcal{H}_{A}\) умови, що A не знаходиться в\(\mathcal{H}\). Легко показано, що\(\mathcal{G}\) можна розкласти як
\[\begin{array}{c} {G = HE + H_{A2} + H_{Ah}} \end{array}\]
в різні косети, кожна з яких містить h елементів. Звідси порядок g групи
\[\begin{array} {ccc} {g = hk} & {\text{and}} & {h = g/k} \end{array}\].
Таким чином, ми отримали важливий результат, що порядок підгрупи є дільником порядку групи. Зауважте, що косети не є підгрупами\(\mathcal{H}_{E} = \mathcal{H}\), за винятком яких тільки містить елемент одиниці.
Аналогічні результати тримають для лівих косетів.
1.1.4 Сполучених елементів і класів
Елемент, як кажуть,\(XAX^{-1}\) є елементом, сполученим з А. відношення бути сполученим є рефлексивним, симетричним і перехідним. Тому сполучені між собою елементи утворюють клас.
Один елемент A визначає весь клас:
\[\begin{array}{c} {EAE^{-1} = A, A_{2}AA_{2}^{-1}, \cdots ,A_{3}AA_{3}^{-1}} \end{array}\]
Тут всі елементи зустрічаються хоча б один раз, можливо, не один раз. Елементи групи можна розділити на класи, і кожен елемент з'являється в одному і тільки одному класі.
У разі груп операцій покриття симетричних об'єктів елементи одного класу відповідають поворотам на однаковий кут навколо різних осей, які трансформуються один в одного операціями симетрії.
Наприклад, три дзеркальні площини правильного трикутника знаходяться в одному класі і так само чотири обертання\(2\pi / 3\) в тетраедрі, або вісім обертань\(\pm 2\pi / 3\) в кубі.
Буває, що елементи двох груп, визначених в різних понятійних термінами, знаходяться в одному відношенні один до одного і підкоряються одним і тим же правилам множення. Приклад у точці - група перестановок\(\mathcal{S}(3)\) та група симетрії правильного трикутника. Такі групи називаються ізоморфними. Визнання ізоморфізмів може призвести до нових уявлень та практичної економіки при вивченні окремих груп.
Підтверджено в наведених вище прикладах, що термін «множення» не варто приймати в буквальному сенсі. Зазвичай мається на увазі виконання операцій у певній послідовності, ситуація, яка виникає у багатьох практичних та теоретичних контекстах.
Розглянуті операції часто є перетвореннями в звичайному просторі, або в якомусь абстрактному просторі (скажімо, конфігураційному просторі цікавить об'єкта). Для кількісного опису цих перетворень важливо розробити алгебраїчний формалізм, що стосується векторних просторів.
Однак перш ніж перейти до алгебраїчних розробок в розділі 2.3, розглянемо спочатку чисто геометричне обговорення ротаційної групи в звичайному тривимірному просторі.