12: Група «Коло»

Перед визначенням групи кола ми спочатку обговоримо деякі геометричні аспекти поля комплексних чисел. Типовий\(z\) елемент\(\mathbb{C}\) буде написано\(z = x + yi\) де\(s, y \in \mathbb{R}\). \(z = x+yi\)Ототожнюємо з точкою\((x,y)\) в площині. Таким чином, абсолютне\(|z|\) значення\(z\) визначається\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.\] Приміткою, що оскільки\(z\overline{z} = x^2 + y^2\) ми також маємо:\[|z| = \sqrt{z\overline{z}}.\]

Проблема 12.1 Доведіть, що для\(z,w \in \mathbb{C}\)

1. \(|zw| = |z||w|\),
2. \(|z| \ge 0\), і
3. \(|z| = 0 \Longleftrightarrow z = 0\).

Ми знаємо з аналітичної геометрії, яка\(|z|\) представляє відстань від\(z\) до початку\(0\) в площині. Спрямований кут\(\theta\), який відрізок від\(0\) до\(z\) робить з позитивною стороною\(x\) -осі називається аргументом або полярним кутом\(z\). Як і в полярних координатах пишемо\(r = |z|\). Тоді ми маємо\[x = r \cos \theta,\]\[y = r \sin \theta,\] і \[\begin{align} \label{polarform} z = r (\cos\theta + i \sin\theta)\end{align}\]З тригонометрії ми знаємо, що кожне ненульове комплексне число\(z\) може бути записано однозначно у вигляді (12.5) для дійсних чисел\(r\) і\(\theta\) задовольняє \(r > 0\)і\(0 \le \theta < 2\pi\).

Ми припускаємо, що студенти знайомі з експоненціальною функцією\(x~\mapsto~e^x\) де\(x \in \mathbb{R}\). Розширюємо визначення цієї функції від\(\mathbb{R}\) до\(\mathbb{C}\).

Визначення 12.1:

Для\(z \in \mathbb{C}\) нехай\(z = x + yi\) де\(x,y \in \mathbb{R}\), Ми визначаємо експоненціальну функцію\(z \mapsto e^z\),\[e^z = e^{x+yi} = e^x(\cos y + i \sin y.)\] зокрема, якщо у\(\theta \in \mathbb{R}\) нас є\[e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta .\]

З вищесказаного ми маємо відразу наступне:

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Кожне ненульове комплексне число\(z\) може бути записано однозначно у вигляді\[\begin{aligned} z = re^{i\theta}\end{aligned}\] де\(r = |z| > 0\) і\(0 \le \theta < 2\pi\). \(\blacksquare\)

Зверніть увагу, що\(e^{i\theta}\) вираз чітко визначено для всіх\(\theta \in \mathbb{R}\).

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Нехай\(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\) і\(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\) де\(r_i \ge 0\) і\(\theta_i\) є дійсними числами. Тоді\[z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}. \rule{6pt}{6pt}\]

Задача 12.2 Використовуйте тотожності додавання синуса та косинуса для доведення теореми 12.2.

Відзначимо, що в словах Теорема 12.2 говорить: Аргумент добутку - це сума аргументів факторів, а абсолютна величина добутку - добуток абсолютних значень факторів. . Це легко узагальнюється за допомогою індукції до наступного: Якщо\(j = 1, \dots, n\) комплексні числа\(z_j= r_je^{i \theta_j}\), то\[z_1z_2\cdots z_n = r_1r_2\cdots r_n e^{(i\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n)}.\] взявши\(r_j = 1\) за все,\(j\) ми отримуємо таку відому теорему:

Теорема\(\PageIndex{3}\) (De Moivre's Theorem)

Для всіх\(\theta \in \mathbb{R}\) і\(n \in \mathbb{Z}\), у нас\[(\cos (\theta) + i\sin (\theta) )^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta),\] рівноцінно,\[(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}. \rule{6pt}{6pt} \blacksquare\]

Визначення 12.2:

Визначимо\[\mathbb{T}= \{ z \in \mathbb{C}\, | \, |z| = 1 \};\]\(\mathbb{T}\) це група щодо множення в\(\mathbb{C}\) і називається групою кола.

Зауважимо, що геометрично\(\mathbb{T}\) це набір комплексних чисел, які знаходяться на відстані 1 від початку, тобто це точки саме точок на одиничному колі\(x^2 + y^2 = 1\).

Завдання 12.3 Показати, що кожен елемент\(z \in \mathbb{T}\) може бути однозначно записаний у формі\(z = e^{i\theta}\) де\(0 \le \theta< 2\pi\).

Завдання 12.4 Доведіть, що\(\mathbb{T}\) є підгрупою\(U(\mathbb{C})\).

Проблема 12.5

(а) Доведіть, що відображення,\(\varphi:\mathbb{T}\to\mathbb{C}\) визначене,\(\varphi(\theta) = e^{i\theta}\) є гомоморфізмом з\((\mathbb{R},+)\) на групу кола\(\mathbb{T}\).

(б) Показати, що для кожної точки\(z \in \mathbb{T}\) існує нескінченно багато\(\theta\in \mathbb{R}\) таких, що\(\varphi(\theta) = z\).

Нагадаємо, що в\ (\ mathbb {R, _N, _Z, _Q}\) _і_\(\mathbb{C}\) "href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/10:_Axiomatic_treatment_of/ (/MathBb%7BR, _N, _N, _, _Q%7D/) _і/ (/MathBb%7bC%7d/) #Problem +10.15">Проблема 10.15 ми показали, що комплексні числа можуть бути представлені у вигляді певних\(2 \times 2\) матриць над дійсними числами. Тому не дивно, що групи кола також можуть бути представлені певними\(2 \times 2\) матрицями над дійсними числами. Виявляється, цей набір матриць також має іншу назву, яку ми даємо в наступному визначенні.

Визначення 12.3:

Визначити\[SO(2) = \left \{ \left ( \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array} \right ) \ | \ \theta\in \mathbb{R} \right \}.\]\(SO(2)\) є підгрупою\(SL(2,\mathbb{R})\) і називається спеціальною ортогональною групою ступеня 2.

Визначення 12.4:

Для\(\theta\in \mathbb{R}\), визначте\[R(\theta) = \left ( \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array} \right )\]

З цим визначенням ми маємо\(SO(2,\mathbb{R}) = \{ R(\theta) \, | \, \theta\in \mathbb{R} \}\).

Проблема 12.6 Доведіть (а) що\(R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1+\theta_2)\), (b)\(R(0)\) є матрицею\(2 \times 2\) ідентичності, і (c)\(R(\theta)^{-1} = R(-\theta)\). Зробіть висновок, що\(SO(2,\mathbb{R})\) є підгрупою\(GL(2,\mathbb{R})\).

Проблема 12.7 Доведіть це\(SO(2,\mathbb{R}) \cong \mathbb{T}\).

Задача 12.8 Довести, що якщо ми представляємо точку\(p=(x,y)\) в площині\(2\times 1\) матрицею,\(\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]\) то точка,\(R(\theta) p\) задана матричним\[R(\theta)p = \left [ \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array} \right ] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]\] добутком, отримана обертанням\(p\) через \(\theta\)радіани проти годинникової стрілки про походження. [Підказка використовує полярне\((x,y) = (r\cos \theta, r \sin \theta)\) координатне представлення точки\(p\).]

Зауваження

Вищезазначена проблема також виправдовує звернення до групи кола як до групи обертань площини.

Тепер визначимо порядок елемента\(e^{i\theta} \in \mathbb{T}\).

Теорема\(\PageIndex{4}\)

Елемент\(z = e^{i\theta} \in \mathbb{T}\) має кінцевий порядок тоді і тільки тоді,\(\theta= \frac k n \pi\) коли для деяких\(n \in N\) і\(k \in \mathbb{Z}\), тобто, якщо і тільки якщо\(\theta\) є раціональним кратним\(\pi\).

Доказ Спочатку ми нагадаємо з тригнометрії, що\((\cos \alpha, \sin \alpha) = (1,0)\) якщо і тільки якщо\(\alpha = 2\pi k\) для деякого цілого числа\(k\). Використовуючи експоненціальні позначення, це говорить про те, що\(e^{i\alpha} = 1\) якщо і тільки якщо\(\alpha = 2\pi k\) для деякого цілого числа\(k\).

Припустимо, що\(e^{i\theta}\) має кінцевий порядок. Тоді за теоремою Де Муавра ми маємо\(e^{in\theta} = 1\) і за попереднім зауваженням,\(n \theta= 2 \pi k\) для деякого цілого числа\(k\). Рішення для\(\theta\) ми бачимо, що\(\theta= \frac {2k}{n} \pi = \frac {k'}{n} \pi\) де\(k' = 2k\). Тобто\(\theta\) є раціональним кратним\(\pi\). І навпаки, припустимо, що\(\theta= \frac k n \pi\) для деяких\(n \in N\) і\(k \in \mathbb{Z}\). Тоді\[(e^{i\theta})^{2n} = e^{i(\theta{2n})} = e^{i \frac k n 2n \pi} = e^{ik2\pi} = 1.\] Це показує, що порядок\(e^{i\theta}\) кінцевий і максимум\(2n\). \(\blacksquare \)

Задача 12.9 Показати, що порядок елемента\(e^{i\sqrt{2}\pi}\) в\(\mathbb{T}\) нескінченний. А як щодо елемента\(e^{i\sqrt{2}}\)? (Для останнього ви можете припустити, що\(\pi\) це трансцендентне.)

Визначення 12.5:

Нехай\(n \in \mathbb{N}\). Елемент, як кажуть,\(z \in \mathbb{C}\) є\(n\) -й корінь єдності, якщо\(z^n = 1\).

Завдання 12.10 Доведіть, що для\(n \in \mathbb{N}\) \[\begin{align} \label{roots_of_unity} \{z \in \mathbb{C}\, | \, z^n = 1 \}\end{align}\]множини є підгрупою\(U(\mathbb{C})\).

Визначення 12.6:

Безліч (12.17) всіх\(n\) -го коренів єдності є підгрупою\(U(\mathbb{C})\) званих груп\(n\) -го коренів єдності.

Малюнок 12.1:12-е коріння одиниці (= вершини правильного 12-кутника).

Задача 12.11 Довести, що\(z \in \mathbb{C}\) є\(n\) -й корінь єдності,\(z\) якщо і тільки якщо елемент в\(\mathbb{T}\) кінцевому порядку\(k\) де\(k \, | \, n\).

Визначення 12.7:

Для\(n \in \mathbb{N}\) визначення\[\zeta_n = e^{i\frac {2 \pi}n}.\]

Теорема\(\PageIndex{5}\)

Група\(n\) -го коренів єдності циклічна порядку\(n\). Одним з генераторів групи є\(\zeta_n\)

Доказ з теореми Де Муйвра зрозуміло, що\((\zeta_n)^n = 1\). Зауважте, що\[(\zeta_n)^k = e^{i k \frac {2 \pi}n}, \quad k = 0, 1, \dots , n-1\] степенями є вершини правильного\(n\) -кутника з центром у початковій точці. Звідси\((\zeta_n)^k \neq 1\) для\(0 < k < n\). Це доводить це\(o(\zeta_n) = n\).

Тепер припустимо, що\(z\) це будь-який\(n\) -й корінь єдності. Зауважте, що\(|z|^n = |z^n| =1\). Тобто,\(|z|\) є додатним дійсним числом, чиє\(n\) -ий ступінь дорівнює 1. Звідси випливає, що\(|z|\) має дорівнювати 1. Звідси\(z = e^{i\theta}\). За аргументом у доведенні теореми 12.4 з тих пір\(z^n = 1\), ми маємо\(\theta= k\frac {2 \pi}n\). Це показує\(z = e^{i k \frac {2 \pi}n} = (\zeta_n)^k\), що, і, отже, лежить в підгрупі, що\(\langle\,\zeta_n\,\rangle\) генерується\(\zeta_n\). \(\blacksquare\)

Проблема 12.12 Показати, що\(z \in \mathbb{T}\) якщо і тільки якщо\(z^{-1} = \overline{z}\).

Проблема 12.13 Покажіть, що якщо\(z = e^{i\theta}\) тоді\(\overline{z} = e^{-i \theta}\).

Задача 12.14 Використовуйте формулу\(R(\theta)\) для пошуку координат точки\((1,1) \in \mathbb{R}^2\) після того, як вона була повернута\(30^o\) проти годинникової стрілки навколо початку. Зробіть те ж саме для\(60^o\). Висловлюйте координати відповіді у вигляді раціональних чисел та/або радикалів, а не триг-функцій.

Задача 12.15 Довести,\(\langle \, \zeta_n \, \rangle\) що група ізоморфна до групи\(\mathbb{Z}_n\) при додаванні по модулю\(n\).

Задача 12.16 Для кожного\(n \in\{1,2,3,4,6,8 \}\) знайдіть всі\(n\) -е коріння єдності\((\zeta_n)^k\) для\(k \in \{0,1,\cdots, n-1\}\). Висловлюйте їх у вигляді\(a + bi\), де\(a\) і\(b\) є дійсними числами, які не залучають триг-функції. Також намалюйте розташування в площині\(n\) -коренів єдності для кожного\(n\).

Проблема 12.17 Доведіть це\(\langle \, e^{i\pi\sqrt{2}} \, \rangle \cong \mathbb{Z}\).