12: Група «Коло»

Перед визначенням групи кола ми спочатку обговоримо деякі геометричні аспекти поля комплексних чисел. Типовий$z$ елемент$\mathbb{C}$ буде написано$z = x + yi$ де$s, y \in \mathbb{R}$. $z = x+yi$Ототожнюємо з точкою$(x,y)$ в площині. Таким чином, абсолютне$|z|$ значення$z$ визначається $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$ Приміткою, що оскільки$z\overline{z} = x^2 + y^2$ ми також маємо: $$|z| = \sqrt{z\overline{z}}.$$

Проблема 12.1 Доведіть, що для$z,w \in \mathbb{C}$

1. $|zw| = |z||w|$,
2. $|z| \ge 0$, і
3. $|z| = 0 \Longleftrightarrow z = 0$.

Ми знаємо з аналітичної геометрії, яка$|z|$ представляє відстань від$z$ до початку$0$ в площині. Спрямований кут$\theta$, який відрізок від$0$ до$z$ робить з позитивною стороною$x$ -осі називається аргументом або полярним кутом$z$. Як і в полярних координатах пишемо$r = |z|$. Тоді ми маємо $$x = r \cos \theta,$$ $$y = r \sin \theta,$$ і $$\begin{align} \label{polarform} z = r (\cos\theta + i \sin\theta)\end{align}$$ З тригонометрії ми знаємо, що кожне ненульове комплексне число$z$ може бути записано однозначно у вигляді (12.5) для дійсних чисел$r$ і$\theta$ задовольняє $r > 0$і$0 \le \theta < 2\pi$.

Ми припускаємо, що студенти знайомі з експоненціальною функцією$x~\mapsto~e^x$ де$x \in \mathbb{R}$. Розширюємо визначення цієї функції від$\mathbb{R}$ до$\mathbb{C}$.

Визначення 12.1:

Для$z \in \mathbb{C}$ нехай$z = x + yi$ де$x,y \in \mathbb{R}$, Ми визначаємо експоненціальну функцію$z \mapsto e^z$, $$e^z = e^{x+yi} = e^x(\cos y + i \sin y.)$$ зокрема, якщо у$\theta \in \mathbb{R}$ нас є $$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta .$$

З вищесказаного ми маємо відразу наступне:

Теорема$\PageIndex{1}$

Кожне ненульове комплексне число$z$ може бути записано однозначно у вигляді $$\begin{aligned} z = re^{i\theta}\end{aligned}$$ де$r = |z| > 0$ і$0 \le \theta < 2\pi$. $\blacksquare$

Зверніть увагу, що$e^{i\theta}$ вираз чітко визначено для всіх$\theta \in \mathbb{R}$.

Теорема$\PageIndex{2}$

Нехай$z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ і$z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ де$r_i \ge 0$ і$\theta_i$ є дійсними числами. Тоді $$z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}. \rule{6pt}{6pt}$$

Задача 12.2 Використовуйте тотожності додавання синуса та косинуса для доведення теореми 12.2.

Відзначимо, що в словах Теорема 12.2 говорить: Аргумент добутку - це сума аргументів факторів, а абсолютна величина добутку - добуток абсолютних значень факторів. . Це легко узагальнюється за допомогою індукції до наступного: Якщо$j = 1, \dots, n$ комплексні числа$z_j= r_je^{i \theta_j}$, то $$z_1z_2\cdots z_n = r_1r_2\cdots r_n e^{(i\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n)}.$$ взявши$r_j = 1$ за все,$j$ ми отримуємо таку відому теорему:

Теорема$\PageIndex{3}$ (De Moivre's Theorem)

Для всіх$\theta \in \mathbb{R}$ і$n \in \mathbb{Z}$, у нас $$(\cos (\theta) + i\sin (\theta) )^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta),$$ рівноцінно, $$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}. \rule{6pt}{6pt} \blacksquare$$

Визначення 12.2:

Визначимо $$\mathbb{T}= \{ z \in \mathbb{C}\, | \, |z| = 1 \};$$ $\mathbb{T}$ це група щодо множення в$\mathbb{C}$ і називається групою кола.

Зауважимо, що геометрично$\mathbb{T}$ це набір комплексних чисел, які знаходяться на відстані 1 від початку, тобто це точки саме точок на одиничному колі$x^2 + y^2 = 1$.

Завдання 12.3 Показати, що кожен елемент$z \in \mathbb{T}$ може бути однозначно записаний у формі$z = e^{i\theta}$ де$0 \le \theta< 2\pi$.

Завдання 12.4 Доведіть, що$\mathbb{T}$ є підгрупою$U(\mathbb{C})$.

Проблема 12.5

(а) Доведіть, що відображення,$\varphi:\mathbb{T}\to\mathbb{C}$ визначене,$\varphi(\theta) = e^{i\theta}$ є гомоморфізмом з$(\mathbb{R},+)$ на групу кола$\mathbb{T}$.

(б) Показати, що для кожної точки$z \in \mathbb{T}$ існує нескінченно багато$\theta\in \mathbb{R}$ таких, що$\varphi(\theta) = z$.

Нагадаємо, що в\ (\ mathbb {R, _N, _Z, _Q}\) _і_$\mathbb{C}$ "href=» /книжкові полиці/абстракт_і_геометрич_алгебра/елементарний_абстракт_алгебра_ (Кларк) /01:_глави/10:_Axiomatic_treatment_of/ (/MathBb%7BR, _N, _N, _, _Q%7D/) _і/ (/MathBb%7bC%7d/) #Problem +10.15">Проблема 10.15 ми показали, що комплексні числа можуть бути представлені у вигляді певних$2 \times 2$ матриць над дійсними числами. Тому не дивно, що групи кола також можуть бути представлені певними$2 \times 2$ матрицями над дійсними числами. Виявляється, цей набір матриць також має іншу назву, яку ми даємо в наступному визначенні.

Визначення 12.3:

Визначити $$SO(2) = \left \{ \left ( \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array} \right ) \ | \ \theta\in \mathbb{R} \right \}.$$ $SO(2)$ є підгрупою$SL(2,\mathbb{R})$ і називається спеціальною ортогональною групою ступеня 2.

Визначення 12.4:

Для$\theta\in \mathbb{R}$, визначте $$R(\theta) = \left ( \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array} \right )$$

З цим визначенням ми маємо$SO(2,\mathbb{R}) = \{ R(\theta) \, | \, \theta\in \mathbb{R} \}$.

Проблема 12.6 Доведіть (а) що$R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1+\theta_2)$, (b)$R(0)$ є матрицею$2 \times 2$ ідентичності, і (c)$R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$. Зробіть висновок, що$SO(2,\mathbb{R})$ є підгрупою$GL(2,\mathbb{R})$.

Проблема 12.7 Доведіть це$SO(2,\mathbb{R}) \cong \mathbb{T}$.

Задача 12.8 Довести, що якщо ми представляємо точку$p=(x,y)$ в площині$2\times 1$ матрицею,$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]$ то точка,$R(\theta) p$ задана матричним $$R(\theta)p = \left [ \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array} \right ] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$$ добутком, отримана обертанням$p$ через $\theta$радіани проти годинникової стрілки про походження. [Підказка використовує полярне$(x,y) = (r\cos \theta, r \sin \theta)$ координатне представлення точки$p$.]

Зауваження

Вищезазначена проблема також виправдовує звернення до групи кола як до групи обертань площини.

Тепер визначимо порядок елемента$e^{i\theta} \in \mathbb{T}$.

Теорема$\PageIndex{4}$

Елемент$z = e^{i\theta} \in \mathbb{T}$ має кінцевий порядок тоді і тільки тоді,$\theta= \frac k n \pi$ коли для деяких$n \in N$ і$k \in \mathbb{Z}$, тобто, якщо і тільки якщо$\theta$ є раціональним кратним$\pi$.

Доказ Спочатку ми нагадаємо з тригнометрії, що$(\cos \alpha, \sin \alpha) = (1,0)$ якщо і тільки якщо$\alpha = 2\pi k$ для деякого цілого числа$k$. Використовуючи експоненціальні позначення, це говорить про те, що$e^{i\alpha} = 1$ якщо і тільки якщо$\alpha = 2\pi k$ для деякого цілого числа$k$.

Припустимо, що$e^{i\theta}$ має кінцевий порядок. Тоді за теоремою Де Муавра ми маємо$e^{in\theta} = 1$ і за попереднім зауваженням,$n \theta= 2 \pi k$ для деякого цілого числа$k$. Рішення для$\theta$ ми бачимо, що$\theta= \frac {2k}{n} \pi = \frac {k'}{n} \pi$ де$k' = 2k$. Тобто$\theta$ є раціональним кратним$\pi$. І навпаки, припустимо, що$\theta= \frac k n \pi$ для деяких$n \in N$ і$k \in \mathbb{Z}$. Тоді $$(e^{i\theta})^{2n} = e^{i(\theta{2n})} = e^{i \frac k n 2n \pi} = e^{ik2\pi} = 1.$$ Це показує, що порядок$e^{i\theta}$ кінцевий і максимум$2n$. $\blacksquare$

Задача 12.9 Показати, що порядок елемента$e^{i\sqrt{2}\pi}$ в$\mathbb{T}$ нескінченний. А як щодо елемента$e^{i\sqrt{2}}$? (Для останнього ви можете припустити, що$\pi$ це трансцендентне.)

Визначення 12.5:

Нехай$n \in \mathbb{N}$. Елемент, як кажуть,$z \in \mathbb{C}$ є$n$ -й корінь єдності, якщо$z^n = 1$.

Завдання 12.10 Доведіть, що для$n \in \mathbb{N}$ $$\begin{align} \label{roots_of_unity} \{z \in \mathbb{C}\, | \, z^n = 1 \}\end{align}$$ множини є підгрупою$U(\mathbb{C})$.

Визначення 12.6:

Безліч (12.17) всіх$n$ -го коренів єдності є підгрупою$U(\mathbb{C})$ званих груп$n$ -го коренів єдності.

Малюнок 12.1:12-е коріння одиниці (= вершини правильного 12-кутника).

Задача 12.11 Довести, що$z \in \mathbb{C}$ є$n$ -й корінь єдності,$z$ якщо і тільки якщо елемент в$\mathbb{T}$ кінцевому порядку$k$ де$k \, | \, n$.

Визначення 12.7:

Для$n \in \mathbb{N}$ визначення $$\zeta_n = e^{i\frac {2 \pi}n}.$$

Теорема$\PageIndex{5}$

Група$n$ -го коренів єдності циклічна порядку$n$. Одним з генераторів групи є$\zeta_n$

Доказ з теореми Де Муйвра зрозуміло, що$(\zeta_n)^n = 1$. Зауважте, що $$(\zeta_n)^k = e^{i k \frac {2 \pi}n}, \quad k = 0, 1, \dots , n-1$$ степенями є вершини правильного$n$ -кутника з центром у початковій точці. Звідси$(\zeta_n)^k \neq 1$ для$0 < k < n$. Це доводить це$o(\zeta_n) = n$.

Тепер припустимо, що$z$ це будь-який$n$ -й корінь єдності. Зауважте, що$|z|^n = |z^n| =1$. Тобто,$|z|$ є додатним дійсним числом, чиє$n$ -ий ступінь дорівнює 1. Звідси випливає, що$|z|$ має дорівнювати 1. Звідси$z = e^{i\theta}$. За аргументом у доведенні теореми 12.4 з тих пір$z^n = 1$, ми маємо$\theta= k\frac {2 \pi}n$. Це показує$z = e^{i k \frac {2 \pi}n} = (\zeta_n)^k$, що, і, отже, лежить в підгрупі, що$\langle\,\zeta_n\,\rangle$ генерується$\zeta_n$. $\blacksquare$

Проблема 12.12 Показати, що$z \in \mathbb{T}$ якщо і тільки якщо$z^{-1} = \overline{z}$.

Проблема 12.13 Покажіть, що якщо$z = e^{i\theta}$ тоді$\overline{z} = e^{-i \theta}$.

Задача 12.14 Використовуйте формулу$R(\theta)$ для пошуку координат точки$(1,1) \in \mathbb{R}^2$ після того, як вона була повернута$30^o$ проти годинникової стрілки навколо початку. Зробіть те ж саме для$60^o$. Висловлюйте координати відповіді у вигляді раціональних чисел та/або радикалів, а не триг-функцій.

Задача 12.15 Довести,$\langle \, \zeta_n \, \rangle$ що група ізоморфна до групи$\mathbb{Z}_n$ при додаванні по модулю$n$.

Задача 12.16 Для кожного$n \in\{1,2,3,4,6,8 \}$ знайдіть всі$n$ -е коріння єдності$(\zeta_n)^k$ для$k \in \{0,1,\cdots, n-1\}$. Висловлюйте їх у вигляді$a + bi$, де$a$ і$b$ є дійсними числами, які не залучають триг-функції. Також намалюйте розташування в площині$n$ -коренів єдності для кожного$n$.

Проблема 12.17 Доведіть це$\langle \, e^{i\pi\sqrt{2}} \, \rangle \cong \mathbb{Z}$.