2.2: Вправи, частина I
- Page ID
- 63916
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- Для кожного з наступних запишіть Y, якщо дана «операція» є чітко визначеною двійковою операцією на заданому множині; інакше напишіть N. У кожному випадку, в якому вона не є чітко визначеною двійковою операцією на множині, надайте коротке пояснення. Вам не потрібно нічого доводити або пояснювати у випадках, коли це бінарна операція.
- \(+\)на\(\mathbb{C}^*\)
- \(*\)на\(\mathbb{R}^+\) визначеному\(x*y=\log_x y\)
- \(*\)на\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\) визначеному\(A*B=AB^{-1}\)
- \(*\)на\(\mathbb{Q}^*\) визначеному\(z*w=\dfrac{z}{w}\)
- Визначити\(*\)\(\mathbb{Q}\) на\(p*q=pq+1\text{.}\) Довести або спростувати, що\(*\) є (а) комутативний; (б) асоціативний.
- Доведіть, що множення матриці не комутативний на\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}\)
4. Доведіть або спростуйте кожне з наступних тверджень.
- Комплект\(2\mathbb{Z}=\{2x\,:\,x\in \mathbb{Z}\}\) закритий під доповнення в\(\mathbb{Z}\text{.}\)
- \(S=\{1,2,3\}\)Безліч закривається під множення в\(\mathbb{R}\text{.}\)
- Набір
\ begin {рівняння*} U =\ ліворуч\ {\ begin {bmatrix} a & b\\ 0 &c\ end {bmatrix}\,:\, a, b, c\ in\ mathbb {R}\ вправо\}\ кінець {рівняння*}
закривається при множенні в\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}\) (Нагадаємо, що\(U\) це набір верхньо-трикутних матриць в\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}\))
- \(*\)Дозволяти бути асоціативною і комутативної бінарної операції на множині\(S\text{.}\)\(u\in S\) Елемент, як кажуть, бути ідемпотентом в\(S\) якщо\(u*u=u\text{.}\) Дозволяти\(H\) бути множиною всіх ідемпотентів в\(S\text{.}\) Довести, що\(H\) закритий під\(*\text{.}\)
