2: Групи
- Page ID
- 63891
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 2.1: Бінарні операції та структури
- Поки ми обговорювали набори. Це гранично прості об'єкти, по суті математичні «мішки речей». Без будь-якої доданої структури їх корисність дуже обмежена. Безліч без доданої структури не допоможе нам, скажімо, вирішити лінійне рівняння. У таких речах нам допоможуть такі об'єкти, як групи, кільця, поля та векторні простори. Це набори, оснащені бінарними операціями, які дозволяють нам поєднувати множинні елементи різними способами.
- 2.2: Вправи, частина I
- Ця сторінка містить частину I вправ для глави 2.
- 2.3: Визначення групи
- Підсумовуючи, ми використовували асоціативність, елементи ідентичності та інверси у наборі всіх цілих чисел для вирішення даного рівняння. Це, можливо, говорить про те, що це були б корисні риси для бінарної структури та/або її роботи. Вони насправді настільки корисні, що двійковій структурі, що відображає ці характеристики, дається спеціальна назва. Зауважимо, що ці аксіоми досить сильні; «більшість» бінарних структур не є групами.
- 2.5: умовності та властивості групи
- Перш ніж обговорити більше прикладів, ми наводимо теорему і розглянемо деякі конвенції, які ми дотримуємося, і позначення, які ми використовуємо при обговоренні груп загалом; ми також обговорюємо деякі властивості груп.
- 2.7: Резюме груп, які ми бачили
- Коли ви бачите такі групи в дикій природі, ви повинні припустити, що вони оснащені наступними операціями за замовчуванням, якщо не зазначено інше. Ви повинні знати, які елементи містять групи, які їхні операції за замовчуванням, їх порядки (і, якщо вони нескінченні, незалежно від того, є вони незліченно нескінченними або незліченними), і чи є вони абелевими чи ні.
- 2.8: Вправи, частина II
- Ця сторінка містить частину II вправ для глави 2.