2.1: Бінарні операції та структури

Зауваження

Для\(*\) того, щоб бути бінарною операцією на\(S\text{,}\)\(a*b\) повинні бути чітко визначені і\(\mathbf{S}\)\(a,b\in S\text{.}\) для кожного Наприклад, ми не можемо визначити двійкову операцію\(\mathbb{R}\) на

\ begin {рівняння*} a*b=\ text {найбільше число менше\(a+b\)}\ end {рівняння*}

так як немає такого «найбільшого числа». Ми також не можемо визначити двійкову операцію\(\mathbb{Z}\) by \(a*b=\dfrac{ab}{2}\text{,}\) since for, say, \(a=b=1 \in \mathbb{Z}\text{,}\) \(\dfrac{ab}{2}=\dfrac{1}{2} \not\in \mathbb{Z}\text{.}\)

Не кожна двійкова операція позначається\(*\text{.}\) насправді, багато хто вже мають загальні позначення: наприклад,\(+\) на\(\mathbb{Z}\) або\(\circ\) на множині функцій від\(\mathbb{R}\) до\(\mathbb{R}\text{.}\) Ми будемо вважати, що ці загальні позначення представляють «звичайні» бінарні операції, які ми знаємо, що вони означають, якщо не зазначено інше.
Не змішуйте\(*\), що вказує на бінарну операцію та верхній індекс\(^*\), який вказує на те, що ми розглядаємо лише ненульові елементи заданого множини (наприклад,\(\mathbb{R}^*\)). Ви повинні мати можливість визначити, який тип\(*\) ми використовуємо з контексту та розміщення. Крім того, переконайтеся, що ви правильно розміщуєте ці символи!

Визначення: Асоціативний

Двійкова операція\(*\) на\(S\) множині асоціативна, якщо\((a*b)*c=a*(b*c)\) для всіх\(a,b,c\in S\text{.}\)

Зауваження

Коли бінарна операція асоціативна, ми можемо опустити дужки при роботі над множинними елементами. Наприклад,\(+\) асоціативний на\(\mathbb{Z}\text{,}\) тому ми можемо однозначно писати (рівні) вирази\(1+(2+3)\) і\((1+2)+3\) як\(1+2+3\text{.}\)

Визначення: Комутативний

Двійкова операція\(*\) на множині\(S\) є комутативною, якщо

\ begin {рівняння*} a*b=b*a\ end {рівняння*}

для всіх\(a,b\in S\text{.}\) We say that specific elements \(a\) and \(b\) of \(S\) поїздок, якщо\(a*b=b*a\text{.}\)

Визначення: Елемент ідентичності

\(\langle S,*\rangle\)Дозволяти бути двійковою структурою. Елемент\(e\) в\(S\) є елементом ідентичності\(\langle S,*\rangle\) if\(x*e=e*x=x\) для всіх\(x\in S\text{.}\)

Примітка

Іноді елемент ідентичності\(\langle S,*\rangle\) називають елементом ідентичності\(S\) під\(*\), або, коли\(*\) це зрозуміло з контексту, просто як елемент ідентичності\(S\).

Примітка

Не кожна двійкова структура містить елемент ідентичності! (Наприклад:\(\langle \mathbb{Z},-\rangle\text{.}\)

Природне питання, яке слід задати, полягає в тому, чи може бінарна структура мати більше одного елемента ідентичності? Відповідь - ні!

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Двійкова структура\(\langle S, *\rangle\) має не більше одного елемента ідентичності. Тобто елементи ідентичності в бінарних структурах, коли вони існують, унікальні.

Доказ: Припустимо, що ми і ff є елементами ідентичності\(S\). Тоді оскільки ee є елементом ідентичності,\(e∗f=f\) а оскільки\(f\) є елементом ідентичності,\(e∗f=e\). Таким чином,\(e=f\).

Визначення: Двостороння зворотна

\(\langle S, *\rangle\)Дозволяти двійкову структуру з елементом ідентичності\(e\text{.}\) Тоді for\(a\in S\text{,}\)\(b\) є (двостороннім) оберненим in\(a\)\(\langle S,*\rangle\) if\(a*b=b*a=e\text{.}\)

Примітка

Ми також можемо посилатися на такий елемент\(b\) як зворотний для\(a\) in\(S\) under\(*\), або, коли\(*\) зрозуміло з контексту, просто як зворотний\(a\).

Примітка

Не кожен елемент в двійковій структурі з елементом ідентичності має зворотне!
Якщо двійкова структура не має елемента ідентичності, навіть не має сенсу говорити, що елемент у структурі має або не має зворотного!

Теорема\(\PageIndex{2}\)

\(\langle S, *\rangle\)Дозволяти двійкову структуру з елементом ідентичності, де\(*\) асоціативний. Нехай\(a\in S\text{.}\) Якщо\(a\) має зворотну, то його зворотна унікальна.

Доказ: \(e\)Дозволяти бути елемент ідентичності\(S\). Припустимо, а має зворотні\(b\) і\(c\). Тоді\(a∗b=e\) так, множивши обидві сторони рівняння\(c\) на ліворуч, ми маємо\(c∗(a∗b)=c∗e=c\). Але так як\(∗\) асоціативний, у нас є\(c∗(a∗b)=(c∗a)∗b=e∗b=b\). Але\(b=c\). Таким чином,\(a\) зворотне є унікальним.

Закінчуємо обговоренням ідеї закриття під бінарною операцією.

Визначення: Закритий

\(\langle S,*\rangle\)Дозволяти бути двійковою структурою і нехай\(T \subseteq S\text{.}\) Тоді\(T\), як кажуть, закриті під\(*\) якщо\(t_1 * t_2 \in T\) коли\(t_1,t_2\in T\text{.}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо двійкову структуру\(\langle \mathbb{M}_2(\mathbb{R}), +\rangle\text{,}\), де\(+\) позначає складання матриці. Нехай

\[T=\{A\in M_2(\mathbb{R}): A \mbox{ is invertible}\}.\]

Ми стверджуємо,\(T\) що не закритий під\(+\text{.}\) Дійсно, якщо ми позначимо ідентифікаційну матрицю в\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\) до того\(I_2\text{,}\), ми спостерігаємо, що\(I_2, -I_2\in T\text{,}\) але\(I_2+(-I_2)\not\in T\text{,}\) так як нульова матриця не обертається.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Розглянемо двійкову структуру\(\langle \mathbb{M}_2(\mathbb{R}), \cdot\rangle\text{,}\), де\(\cdot\) позначає множення матриці. Знову ж таки, нехай\(T\) буде набір всіх оборотних матриць в\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}\) Ми стверджуємо, що\(T\) закритий під\(\cdot\,\text{.}\) Дійсно, нехай\(A,B\in T\text{.}\) Тоді\(A\) і\(B\) є оборотними, тому їх детермінанти ненульові. Таким чином,\(\det(AB)=(\det A)(\det B)\neq 0,\) так\(AB\) є оборотним, а значить\(AB\in T\text{.}\)