16.10: Шавлія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64248

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Кільця дуже важливі у вашому вивченні абстрактної алгебри, і аналогічно, вони дуже важливі при розробці та використанні Sage. У цьому розділі багато матеріалу, і в Sage є багато відповідних команд.

Створення кілець

Ось список різних кілець, доменів і полів, які ви можете побудувати просто.

Цілі числа (), ZZ: інтегральна область натуральних і від'ємних цілих чисел,\({\mathbb Z}\text{.}\)
Цілі числа (n): цілі числа mod\(n\text{,}\)\({\mathbb Z_n}\text{.}\) A поле, коли\(n\) є простим, але просто кільце для складеного\(n\text{.}\)
QQ: поле раціональних чисел,\({\mathbb Q}\text{.}\)
RR, CC: поле дійсних чисел і поле складних чисел,\({\mathbb R}\text{,}\)\({\mathbb C}\text{.}\) неможливо створити кожне дійсне число всередині комп'ютера, тому технічно ці множини не поводяться як поля, а лише дають хорошу імітацію реальної речі. Ми говоримо, що це неточні кільця, щоб зробити це.
QuadraticField (n): поле, утворене об'єднанням раціональних з розв'язком поліноміального рівняння\(x^2-n=0\text{.}\) Позначення в тексті -\({\mathbb Q}[\sqrt{n}]\text{.}\) Функціональний еквівалент можна зробити за допомогою синтаксису QQ [sqrt (n)]. Зверніть увагу, що n може бути негативним.
CyclotomicField (n): поле, утворене об'єднанням раціональних з розв'язками поліноміального рівняння\(x^n-1=0\text{.}\)
QQBar: поле, утворене об'єднанням раціональних з розв'язками кожного поліноміального рівняння з цілими коефіцієнтами. Це відоме як поле алгебраїчних чисел, позначається як
\(\overline
ParseError: invalid DekiScript (click for details)
```
Callstack:
    at (Математика/Абстрактна_та_геометрична_алгебра/Абстрактна_алгебра:_теорія_та_застосування_(Judson)/16:_Кільця/16.10:_Шавлія), /content/body/div[1]/ol[1]/li[7]/span/span, line 1, column 1
```
\text{.}\)
FiniteField (p): для\(p\text{,}\) простого поля цілих чисел\({\mathbb Z_p}\text{.}\)

Якщо ви надрукуєте опис деяких з перерахованих вище кілець, ви іноді побачите новий символ, введений. Розглянемо наступний приклад:

Тут Number Field описує об'єкт, який зазвичай формується шляхом об'єднання раціональних з іншим числом (тут\(\sqrt{7}\)). «а» - це новий символ, який поводиться як корінь многочлена\(x^2-7\text{.}\) Ми не говоримо, який корінь,\(\sqrt{7}\) або\(-\sqrt{7}\text{,}\), як ми розуміємо теорію краще, ми побачимо, що це насправді не має значення.

Ми можемо отримати цей корінь як генератор числового поля, а потім маніпулювати ним. Перший квадрат кореневої дає 7. Зверніть увагу, що кореневі відбитки як. Зверніть увагу, теж, що обчислення з коренем поводяться так, ніби це був або корінь\(x^2-7\text{,}\) і результати друку за допомогою a.

Це може отримати трохи заплутаним, введення обчислень з root і отримання виводу з точки зору a. На щастя, є кращий спосіб. Розглянемо наступний приклад:

За допомогою синтаксису F <b>ми можемо створити поле F разом із зазначенням генератора b, використовуючи ім'я за нашим вибором. Тоді обчислення можуть використовувати b як на вході, так і на виході як корінь\(x^2-7\text{.}\)

Ось три нових кільця, які найкраще створити за допомогою цього нового синтаксису.

F = FiniteField (p^n)<a>: Пізніше ми матимемо теорему, яка говорить нам, що скінченні поля існують лише з порядками, рівними степені простого. Коли потужність більше 1, то нам потрібен генератор, тут дається як.
P =R []<x>: кільце всіх многочленів у змінній x, з коефіцієнтами від кільця R. Зверніть увагу, що R може бути будь-яким кільцем, так що це дуже загальна конструкція, яка використовує одне кільце для формування іншого. Дивіться приклад нижче.
Q. = QuaternionAlgebra (n, m) <r, s, t>: раціональні в поєднанні з невизначені r, s і t такі, що\(r^2=n\text{,}\)\(s^2=m\) і\(t = rs = -sr\text{.}\) Це узагальнення кватерніонів, описаних в цьому розділі, хоча над раціональними, а не реалів, так що це точне кільце. Зверніть увагу, що це одне з небагатьох некомутативних кілець у Sage. «Звичайні» кватерніони будуть побудовані з Q. = Quaternionalgebra (-1, -1) <I, J, K>. (Зауважте, що використання I тут не є хорошим вибором, тому що це буде потім clobber символ, який я використовував для складних чисел.)

Синтаксис визначення імен для генераторів може бути використаний і для багатьох з перерахованих вище кілець, як показано вище для квадратичних полів і нижче для циклотомних полів.

властивості кілець

Наведені нижче приклади демонструють, як запитувати певні властивості кілець. Якщо ви граєте разом, обов'язково виконайте першу обчислювальну комірку, щоб визначити різні кільця, які беруть участь у прикладах.

Точний проти неточного.

Кінцевий проти нескінченного.

Інтегральний домен?

Поле?

Комутативний?

Характеристика.

Аддитивні та мультиплікативні ідентичності друкують так, як ви очікували, але зверніть увагу, що хоча вони можуть друкувати однаково, вони можуть відрізнятися через кільце, в якому вони живуть.

Існує певна підтримка підкілець. Наприклад, Q і S є розширенням раціональних, тоді як F повністю відрізняється від раціональних.

Не кожен елемент кільця може мати мультиплікативний зворотний, іншими словами, не кожен елемент повинен бути одиницею (якщо тільки кільце не є полем). Тепер було б гарною практикою перевірити, чи елемент є одиницею, перш ніж спробувати обчислити його зворотний.

Структура частки

Ідеали є нормальними підгрупами кілець і дозволяють будувати «частки» — в основному нові кільця, визначені на класах еквівалентності елементів вихідного кільця. Мудрець підтримка ідеалів є змінною. Коли їх можна створити, з ними не завжди можна багато чого зробити. Але вони добре працюють в певних дуже важливих випадках.

Цілі числа,\({\mathbb Z}\text{,}\) мають ідеали, які просто кратні одному цілому. Ми можемо створити їх за допомогою методу.ideal () або просто написавши скалярний кратний ZZ. І тоді частка ізоморфна до добре зрозумілого кільця. (Зверніть увагу, що я погане ім'я для ідеалу, якщо ми хочемо працювати з комплексними числами пізніше.)

Зазвичай ми можемо бути більш обережними щодо останнього твердження. Коефіцієнт - це набір класів еквівалентності, кожен нескінченний, і звичайно, не єдине ціле число. Але частка ізоморфна\({\mathbb Z}_4\text{,}\) тому Sage просто робить цю ідентифікацію.

Зверніть увагу, що побудова коефіцієнтного кільця створила новий генератор, перетворюючи y (\(y\)) в ybar (\(\overline{y}\)). Ми можемо перевизначити це, як і раніше з синтаксисом, продемонстрованим нижче.

Отже, з частки нескінченного кільця і ідеалу (який також є кільцем), ми створюємо поле, яке є кінцевим. Розуміння цієї конструкції буде важливою темою в наступних кількох розділах. Щоб побачити, наскільки це чудово, подумайте, що відбувається лише з однією невеликою зміною.

Є кілька доступних методів, які дадуть нам властивості ідеалів. Зокрема, ми можемо перевірити наявність простих та максимальних ідеалів у кільцях многочленів. Вивчіть результати вище і нижче в контексті теореми 16.35.

Той факт, що М є основним ідеалом, - це перевірка Слідства\(16.40\).

Кільцеві гомоморфізми

Коли Sage представлений з 3 + 4/3, як він знає, що 3 має бути цілим числом? А потім додати його до раціонального, як він знає, що ми дійсно хочемо, щоб розглянути обчислення як 3/1 + 4/3? Це дійсно легко для вас і мене, але диявольськи важко для програми, і ви можете собі уявити, що вона стає все більш складною з багатьма можливими кільцями в Sage, підкільця, матриці і т.д. частина відповіді полягає в тому, що Sage використовує кільцеві гомоморфізми для «перекладу» об'єктів (чисел) між кільцями.

Ми наведемо приклад нижче, але не переслідувати тему набагато далі. Для допитливих читання документації мудреця та експериментування було б гарною вправою.

Так phi - це гомоморфізм («морфізм»), який перетворює цілі числа (домен ZZ) в раціональні (кодомен QQ), батьком якого є набір гомоморфізмів, які Sage називає «homset». Незважаючи на те, що a і b обидва друкують як 3, що не відрізняється для наших очей, батьки a і b різні. І все ж числове значення двох об'єктів не змінилося.