16.9: Вправи

1

Які з наведених наборів є кільцями щодо звичайних операцій додавання і множення? Якщо набір - кільце, це теж поле?

1. \(\displaystyle 7 {\mathbb Z}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
3. \(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}\, ) = \{a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q}\}\)
4. \(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} : a, b, c, d \in {\mathbb Q}\}\)
5. \(\displaystyle {\mathbb Z}[\sqrt{3}\, ] = \{ a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Z} \}\)
6. \(\displaystyle R = \{a + b \sqrt[3]{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\)
7. \(\displaystyle {\mathbb Z}[ i ] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \text{ and } i^2 = -1 \}\)
8. \(\displaystyle {\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, ) = \{ a + b \sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} : a, b, c \in {\mathbb Q} \}\)

2

\(R\)Дозволяти кільце\(2 \times 2\) матриць виду

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]

де\(a, b \in {\mathbb R}\text{.}\) Показати, що хоча\(R\) це кільце, яке не має ідентичності, ми можемо знайти підряд\(S\)\(R\) з ідентичністю.

3

Перерахуйте або охарактеризуйте всі одиниці в кожному з наступних кілець.

1. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{10}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{12}\)
3. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{7}\)
4. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\)\(2 \times 2\)матриці з записами в\({\mathbb Z}\)
5. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z}_2 )\text{,}\)\(2 \times 2\)матриці з записами в\({\mathbb Z}_2\)

4

Знайдіть всі ідеали в кожному з наступних кілець. Які з цих ідеалів максимальні, а які - прості?

1. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{25}\)
3. \({\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\text{,}\)\(2 \times 2\)матриці з записами в\({\mathbb R}\)
4. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\)\(2 \times 2\)матриці з записами в\({\mathbb Z}\)
5. \(\displaystyle {\mathbb Q}\)

5

Для кожного з наступних кілець\(R\) з ідеальним\(I\text{,}\) дають таблицю додавання і таблицю множення для\(R/I\text{.}\)

1. \(R = {\mathbb Z}\)і\(I = 6 {\mathbb Z}\)
2. \(R = {\mathbb Z}_{12}\)і\(I = \{ 0, 3, 6, 9 \}\)

6

Знайти всі гомоморфізми\(\phi : {\mathbb Z} / 6 {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z} / 15 {\mathbb Z}\text{.}\)

7

Доведіть,\({\mathbb R}\) що не ізоморфний\({\mathbb C}\text{.}\)

8

Довести або спростувати: кільце\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) ізоморфний до кільця\({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\)

9

Яка характеристика поля, утвореного множиною матриць

\[ F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \nonumber \]

з записами в\({\mathbb Z}_2\text{?}\)

10

Визначте карту\(\phi : {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\) за

\[ \phi( a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]

Покажіть, що\(\phi\) це ізоморфізм\({\mathbb C}\) з його зображенням в\({\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\text{.}\)

11

Довести, що гаусові цілі числа,\({\mathbb Z}[i ]\text{,}\) є інтегральною областю.

12

Доведіть, що\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i : a, b \in {\mathbb Z} \}\) це інтегральна область.

13

Вирішіть кожну з наступних систем конгруенцій.

1. \ почати {вирівнювати*} х &\ equiv 2\ pmod {5}\ x &\ equiv 6\ pmod {11}\ кінець {вирівнювати*}
2. \ почати {вирівнювати*} х &\ equiv 3\ pmod {7}\ x &\ equiv 0\ pmod {8}\ x &\ equiv 5\ pmod {15}\ кінець {вирівнювати*}
3. \ почати {вирівнювати*} х &\ equiv 2\ pmod {4}\ x &\ equiv 4\ pmod {7}\ x &\ equiv 7\ pmod {9}\ x &\ equiv 5\ pmod {11}\ кінець {вирівнювати*}
4. \ почати {вирівнювати*} х &\ equiv 3\ pmod {5}\ x &\ equiv 0\ pmod {8}\ x &\ equiv 1\ pmod {11}\ x &\ equiv 5\ pmod {13}\ кінець {вирівнювати*}

14

Використовуйте метод паралельного обчислення, викладеного в тексті, для обчислення,\(2234 + 4121\) розділивши обчислення на чотири окремі складання по модулю\(95\text{,}\)\(97\text{,}\)\(98\text{,}\) і\(99\text{.}\)

15

Поясніть, чому метод паралельного обчислення, викладеного в тексті, не вдається,\(2134 \cdot 1531\) якщо ми спробуємо розбити обчислення на два менших обчислення по модулю\(98\) і\(99\text{.}\)

16

Якщо\(R\) це поле, покажіть, що єдиними двома ідеалами\(R\) є\(\{ 0 \}\) і вона\(R\) сама.

17

\(a\)Дозволяти бути будь-який елемент в кільці\(R\) з ідентичністю. Покажіть, що\((-1)a = -a\text{.}\)

18

Нехай\(\phi : R \rightarrow S\) буде кільцевий гомоморфізм. Доведіть кожне з наступних тверджень.

1. Якщо\(R\) є комутативним кільцем, то\(\phi(R)\) є комутативним кільцем.
2. \(\phi( 0 ) = 0\text{.}\)
3. \(1_R\)\(1_S\)Дозволяти і бути ідентичностями для\(R\) і\(S\text{,}\) відповідно. Якщо\(\phi\) на, то\(\phi(1_R) = 1_S\text{.}\)
4. Якщо\(R\) це поле,\(\phi(R)\) а\(\phi(R) \neq 0\text{,}\) потім поле.

19

Довести, що асоціативний закон множення та розподільні закони тримають в\(R/I\text{.}\)

20

Доведіть другу теорему ізоморфізму для кілець:\(I\) Дозволяти бути підкільце кільця\(R\) і\(J\) ідеал в\(R\text{.}\) Тоді\(I \cap J\) є ідеалом в\(I\) і

\[ I / I \cap J \cong I + J /J\text{.} \nonumber \]

21

Довести третю теорему ізоморфізму для кілець: нехай\(R\) буде кільце\(I\) і\(J\) бути ідеалами того\(R\text{,}\),\(J \subset I\text{.}\) де

\[ R/I \cong \frac{R/J}{I/J}\text{.} \nonumber \]

22

Доведіть теорему відповідності:\(I\) Дозволяти бути ідеалом кільця\(R\text{.}\) Тоді\(S \rightarrow S/I\) є відповідність один до одного між множиною підкілець,\(S\) що містять,\(I\) та множиною підкілець\(R/I\text{.}\) Крім того,\(R\) ідеали відповідають ідеалам\(R/I\text{.}\)

23

\(R\)Дозволяти кільце і\(S\) підмножина\(R\text{.}\) Show, що\(S\) є підрядком\(R\) if і тільки якщо кожне з наступних умов виконується.

1. \(S \neq \emptyset\text{.}\)
2. \(rs \in S\)для всіх\(r, s \in S\text{.}\)
3. \(r - s \in S\)для всіх\(r, s \in S\text{.}\)

24

\(R\)Дозволяти кільце з колекцією підкілець\(\{ R_{\alpha} \}\text{.}\) Доведіть, що\(\bigcap R_{\alpha}\) є підрядком\(R\text{.}\) Дайте приклад, щоб показати, що об'єднання двох підкілець не обов'язково підрядка.

25

Дозвольте\(\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A}\) бути колекцією ідеалів у кільці\(R\text{.}\) Доведіть, що\(\bigcap_{\alpha \in A} I_{\alpha}\) це також ідеал у\(R\text{.}\) Наведіть приклад, щоб показати, що якщо\(I_1\) і\(I_2\) є ідеалами,\(R\text{,}\) то\(I_1 \cup I_2\) може бути не ідеалом.

26

\(R\)Дозволяти бути цілісним доменом. Покажіть, що якщо єдиними ідеалами\(R\) є\(\{ 0 \}\) і\(R\) саме по собі,\(R\) має бути поле.

27

\(R\)Дозволяти бути комутативним кільцем. Елемент\(a\) in\(R\) є нільпотентним, якщо\(a^n = 0\) для деякого позитивного цілого\(n\text{.}\) Показати, що множина всіх нільпотентних елементів утворює ідеал в\(R\text{.}\)

28

\(R\)Кільце є логічним кільцем, якщо для кожного\(a \in R\text{,}\)\(a^2 = a\text{.}\) Показати, що кожне булеве кільце є комутативним кільцем.

29

\(R\)Дозволяти кільце, де\(a^3 =a\) для всіх\(a \in R\text{.}\) Доведіть, що\(R\) повинно бути комутативне кільце.

30

\(R\)Дозволяти кільце з особистістю\(1_R\) і\(S\) підпорядкування\(R\) з особистістю\(1_S\text{.}\) Доведіть або спростуйте це\(1_R = 1_S\text{.}\)

31

Якщо ми не вимагаємо, щоб ідентичність кільця відрізнялася від 0, ми не матимемо дуже цікаву математичну структуру. Нехай\(R\) буде кільце таке, що\(1 = 0\text{.}\) Доведіть, що\(R = \{ 0 \}\text{.}\)

32

Нехай\(R\) буде кільце. Визначте \(R\)центр бути

\[ Z(R) = \{ a \in R : ar = ra \text{ for all } r \in R \}\text{.} \nonumber \]

Доведіть, що\(Z(R)\) є комутативним підрядник\(R\text{.}\)

33

\(p\)Дозволяти бути простими. Доведіть, що

\[ {\mathbb Z}_{(p)} = \{ a / b : a, b \in {\mathbb Z} \text{ and } \gcd( b,p) = 1 \} \nonumber \]

являє собою кільце. Кільцем\({\mathbb Z}_{(p)}\) називається кільце цілих чисел, локалізованих на\(p\text{.}\)

34

довести або спростувати: кожен скінченний інтегральний домен ізоморфний\({\mathbb Z}_p\text{.}\)

35

Нехай\(R\) буде кільце з ідентичністю.

1. \(u\)Дозволяти бути одиницею в\(R\text{.}\) Визначте карту\(i_u : R \rightarrow R\)\(r \mapsto uru^{-1}\text{.}\) Доведіть, що\(i_u\) є автоморфізмом\(R\text{.}\) такого автоморфізму\(R\) називається внутрішнім автоморфізмом\(R\text{.}\) Позначити множини всіх внутрішніх автоморфізмів\(R\) по\(\inn(R)\text{.}\)
2. Позначити множини всіх автоморфізмів\(R\) по\(\aut(R)\text{.}\) Дове, що\(\inn(R)\) є нормальною підгрупою\(\aut(R)\text{.}\)
3. \(U(R)\)Дозволяти бути групою одиниць в\(R\text{.}\) Доведіть, що карта

   \[ \phi : U(R) \rightarrow \inn(R) \nonumber \]

   визначається\(u \mapsto i_u\) це гомоморфізм. Визначаємо ядро\(\phi\text{.}\)

4. Обчислення\(\aut( {\mathbb Z})\text{,}\)\(\inn( {\mathbb Z})\text{,}\) та\(U( {\mathbb Z})\text{.}\)

36

Нехай\(R\) і\(S\) будуть довільні кільця. Показати, що їх декартовий добуток є кільцем, якщо визначити додавання і множення в\(R \times S\) на

1. \(\displaystyle (r, s) + (r', s') = ( r + r', s + s')\)
2. \(\displaystyle (r, s)(r', s') = ( rr', ss')\)

37

Елемент\(x\) у кільці називається ідемпотентом, якщо\(x^2 = x\text{.}\) Доведіть, що єдиними ідемпотентами в інтегральній області є\(0\) і\(1\text{.}\) Знайти кільце з ідемпотентом,\(x\) не рівним 0 або 1.

38

Дозвольте\(\gcd(a, n) = d\) і\(\gcd(b, d) \neq 1\text{.}\) Доведіть, що\(ax \equiv b \pmod{n}\) не має рішення.

39. Китайська теорема про залишок для кілець

Нехай\(R\) буде кільце\(I\) і\(J\) бути ідеалами в\(R\) такому, що\(I+J = R\text{.}\)

1. Показати, що для будь-якого\(r\) і\(s\) в\(R\text{,}\) системі рівнянь

   \ почати {вирівнювати*} х &\ equiv r\ pmod {I}\\ x &\ equiv s\ pmod {J}\ end {вирівнювати*}

   має рішення.

2. Крім того, довести, що будь-які два рішення системи є конгруентними по модулю\(I \cap J\text{.}\)
3. Нехай\(I\) і\(J\) будуть ідеали в кільці\(R\) такі, що\(I + J = R\text{.}\) показують, що існує кільцевий ізоморфізм

   \[ R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J\text{.} \nonumber \]