13: Структура груп

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 12.7: Вправи шавлії
- 13.1: Кінцеві абелеві групи

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Кінцева мета теорії груп - класифікувати всі групи аж до ізоморфізму; тобто, враховуючи певну групу, ми повинні мати можливість зіставити її з відомою групою за допомогою ізоморфізму. Наприклад, ми вже довели, що будь-яка скінченна $n$ циклічна група порядку ізоморфна, ${\mathbb Z}_n\text{;}$ отже, ми «знаємо» всі скінченні циклічні групи. Напевно, не розумно очікувати, що ми коли-небудь будемо знати всі групи; однак ми часто можемо класифікувати певні типи груп або розрізняти групи в особливих випадках.

У цьому розділі ми охарактеризуємо всі кінцеві абелеві групи. Ми також досліджуємо групи з послідовностями підгруп. Якщо група має послідовність підгруп, скажімо

$G = H_n \supset H_{n - 1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \nonumber$

де кожна підгрупа $H_i$ нормальна в $H_{i+1}$ і кожна з груп факторів $H_{i+1}/H_i$ є абелевою, то $G$ є розв'язною групою. Крім того, що дозволяє розрізняти певні класи груп, розв'язні групи виявляються центральними для вивчення розв'язків поліноміальних рівнянь.