Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13: Структура груп

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    64304

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кінцева мета теорії груп - класифікувати всі групи аж до ізоморфізму; тобто, враховуючи певну групу, ми повинні мати можливість зіставити її з відомою групою за допомогою ізоморфізму. Наприклад, ми вже довели, що будь-яка скінченна\(n\) циклічна група порядку ізоморфна,\({\mathbb Z}_n\text{;}\) отже, ми «знаємо» всі скінченні циклічні групи. Напевно, не розумно очікувати, що ми коли-небудь будемо знати всі групи; однак ми часто можемо класифікувати певні типи груп або розрізняти групи в особливих випадках.

    У цьому розділі ми охарактеризуємо всі кінцеві абелеві групи. Ми також досліджуємо групи з послідовностями підгруп. Якщо група має послідовність підгруп, скажімо

    \[ G = H_n \supset H_{n - 1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \nonumber \]

    де кожна підгрупа\(H_i\) нормальна в\(H_{i+1}\) і кожна з груп факторів\(H_{i+1}/H_i\) є абелевою, то\(G\) є розв'язною групою. Крім того, що дозволяє розрізняти певні класи груп, розв'язні групи виявляються центральними для вивчення розв'язків поліноміальних рівнянь.