4.2.1: Формула площі для неправильних трикутників

Площа дорівнює половині добутку двох сторін і синусу включеного кута.

Альтернативна формула для площі трикутника

Ви вивчаєте Мексиканську затоку у своєму класі географії. Ваш інструктор виховує ідею Бермудського трикутника. Це місце, де, на думку деяких, багато літаків губляться. Ось ілюстрація цього:

Малюнок$\PageIndex{1}$

Перше, що це змушує вас думати про ваш клас математики, оскільки цей клас є вашим улюбленим. Ви хотіли б знати, наскільки великий Бермудський трикутник. На жаль, Бермудський трикутник не є прямокутним трикутником. Однак ви знаєте, що довжина однієї зі сторін становить 950 миль, інша сторона - 975 миль, а кут між ними є$60^{\circ}$.

Чи є спосіб використовувати цю інформацію, щоб допомогти вам дізнатися, наскільки великий Бермудський трикутник?

Площа трикутника

У геометрії ви дізналися, що площа трикутника$b$ є$A=\dfrac{1}{2} bh$, де основа, а h - висота, або висота.

Тепер, коли ви знаєте коефіцієнти трига, цю формулу можна змінити навколо, використовуючи синус.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Дивлячись на трикутник вище, ви можете використовувати синус для визначення$h$,$\sin C=\dfrac{h}{a}$. Отже, вирішуючи це рівняння для$h$, ми маємо$a \sin C=h$. Підставивши це для$h$, ми тепер маємо нову формулу для площі.

$A=\dfrac{1}{2} ab \sin C$

Це означає, що вам більше не потрібна висота, щоб знайти область. Все, що вам тепер потрібно, це дві сторони і кут між двома сторонами, називається включеним кутом.

Знаходження області

1.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Використовуючи формулу$A=\dfrac{1}{2} ab \sin C$, ми маємо

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2} \cdot 8\cdot 13\cdot \sin 82^{\circ} \\ &=4\cdot 13\cdot 0.990\\ &=51.494 \end{aligned}$

2.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Нагадаємо, що паралелограм можна розділити на два трикутника. Таким чином, формула для паралелограма, використовуючи нову формулу, буде:$A=2\cdot \dfrac{1}{2} ab \sin C$ або$A=ab \sin C$.

$\begin{aligned} A&=7\cdot 15\cdot \sin 65^{\circ} \\&=95.162 \end{aligned}$

3.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Використовуючи формулу$A=\dfrac{1}{2} ab \sin C$, ми маємо

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2} \cdot 16.45\cdot 19\cdot \sin 30^{\circ} \\ &=8.225\cdot 19\cdot 0.5 \\&=78.14\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, наскільки великий Бермудський трикутник.

Рішення

Тепер, коли ви знаєте рівняння для площі трикутника через дві сторони та включений кут, ми можемо використовувати це для вирішення площі Бермудського трикутника:

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2} ab \sin\theta \\ A&=\dfrac{1}{2} (950)(975) \sin 60^{\circ} \\ A&=\dfrac{1}{2} (950)(975)(.866) \\ A&=401066.25\end{aligned}$

Площа трикутника становить приблизно 401,006 квадратних миль.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть площу трикутника.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Використовуючи формулу$A=\dfrac{1}{2} ab \sin C$, ми маємо

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2} \cdot 4\cdot 10\cdot \sin 15^{\circ} \\ &=2\cdot 10\cdot 0.2589 \\ &=5.178 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть площу трикутника.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

Використовуючи формулу$A=\dfrac{1}{2} ab \sin C$, ми маємо

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 15\cdot \sin 25^{\circ} \\ &=4\cdot 15\cdot 0.4226\\ &=25.356 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть площу трикутника.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Рішення

Використовуючи формулу$A=\dfrac{1}{2} ab \sin C$, ми маємо

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2} \cdot 10\cdot 11\cdot \sin 32^{\circ} \\&=5\cdot 11\cdot 0.53 \\ &=29.15 \end{aligned}$

Рецензія

Використовуйте наступну картинку для питань 1 і 2.

Малюнок$\PageIndex{9}$

1. Знайдіть значення$a$$b$, і$C$ необхідні для формули, щоб знайти площу трикутника.
2. Тепер знайдіть площу трикутника.

Використовуйте наступну картинку для питань 3 і 4.

Малюнок$\PageIndex{10}$

3. Знайдіть значення$a$$b$, і$C$ необхідні для формули, щоб знайти площу трикутника.
4. Тепер знайдіть площу трикутника.

Знайдіть площу кожного трикутника нижче.

5. 
   

   Малюнок$\PageIndex{11}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{12}$

7. 

   Малюнок$\PageIndex{13}$

8. 

   Малюнок$\PageIndex{14}$

9. 

   Малюнок$\PageIndex{15}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{16}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{17}$

Знайдіть площу кожного паралелограма.

12. 
    

    Малюнок$\PageIndex{18}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{19}$

14. Опишіть інший спосіб, яким ви могли б знайти площу паралелограма в попередній задачі.
15. Коли ви вперше дізналися про синус, ви дізналися, як це працює для правильних трикутників. Поясніть, чому цей метод обчислення площі використовує синус, але працює для неправильних трикутників.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.12.

Лексика

Термін	Визначення
У комплекті Кут	Вхідний кут в трикутник - це кут між двома відомими сторонами.
синус	Синус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину гіпотенузи.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Приклад: Визначення площі трикутника за допомогою синусоїдальної функції

Практика: Формула площі для неправильних трикутників

Реальний світ: незвичайна область?