4.2.3: Визначення невідомих мір трикутника заданої площі
- Page ID
- 54641
Вирішіть для відсутніх частин трикутника, використовуючи формули площі та закон косинусів/синусів.
Ви працюєте над створенням мобільного для вашого арт-класу. Мобільний - це витвір мистецтва, який має стрижень з різною формою, що звисає на ньому, тому вони можуть обертатися.
Щоб створити свій проект, потрібно вирізати набір трикутників, які мають різноманітні розміри. Ви збираєтеся почати різати трикутники, коли ваш друг, який допомагає вам у проекті, приходить. Вона каже вам, що кожен шматок повинен мати стрижень через його сторону, щоб збалансувати форму певним чином. Вона хоче, щоб ви зробили шматок, який виглядає так:
Ви вже вирізали трикутник, вирізавши шматок з будівельного паперу. Ви знаєте, що одна сторона вашого трикутника має довжину 6 дюймів, але ви не знаєте довжину двох інших сторін. Чи можете ви використовувати інформацію, яку ви повинні знайти довжину b у мобільному фрагменті вище? (Площа трикутника є\(25\text{ in}^2 \), а внутрішній кут між шестидюймовою стороною і стороною, яку ви хочете знати, є\(35^{\circ} \)).
Пошук мір трикутника з урахуванням площі
У цьому розділі ми розглянемо ситуації, коли ми знаємо площу, але потрібно знайти іншу частину трикутника, а також додаток, що включає чотирикутник. Все це передбачає використання Закону Косинусів, Закону Синеса та Альтернативної формули для площі трикутника.
1. Стріла вітрило на вітрильнику прийшла розв'язана, і мотузка, що закріплює його, була втрачена. Якщо площа паруса стріли становить 56,1 квадратних футів, скористайтеся малюнком та інформацією нижче, щоб знайти довжину мотузки.
Оскільки ми знаємо площу, одну зі сторін та один кут вітрила стріли, ми можемо використовувати формулу,\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\) щоб знайти сторону вітрила стріли, яка прикріплена до щогли. Ми назвемо цю сторону\(y\).
\(\begin{aligned} 56.1 &=\dfrac{1}{2} 28(y)\sin 11\\ 56.1 &=2.671325935 y\\ 21.0&=y \end{aligned}\)
Тепер, коли ми знаємо сторону у, ми знаємо дві сторони та включений кут у трикутник, утворений щоглою, мотузкою та вітрилом стріли. Тепер ми можемо використовувати Закон косинусів для обчислення довжини мотузки.
\(\begin{aligned} x^2 &=21^2+27^2−2(21)(27)\cos 18 \\ x^2&=91.50191052 \\ x&\approx 9.6\text{ ft}\end{aligned}\)
Довжина мотузки становить приблизно 9,6 футів.
2. У чотирикутнику\(QUAD\) нижче\(\Delta QUD=5.64\), площа\(\Delta UAD=6.39\),,\(\angle QUD=31^{\circ} \)\(\angle DUA=40^{\circ} \), і\(UD=7.8\). Знайдіть периметр\(QUAD\).
Для того, щоб знайти периметр\(QUAD\), нам потрібно знати сторони\(QU\),\(QD\),\(UA\), і\(AD\). Оскільки ми знаємо площу, одну сторону та один кут у кожному з трикутників, ми можемо використовувати,\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\) щоб з'ясувати\(QU\) і\(UA\).
\ (\ почати {вирівняний}
5.64 & =\ dfrac {1} {2} (7.8) (Q U)\ sin 31 & 6.39&=\ dfrac {1} {2} (7.8) U A\ sin 40\\
2.8 &\ приблизно Q U &\ приблизно U A
\ кінець {вирівняний}\)
Тепер, коли ми знаємо QU і UA, ми знаємо дві сторони і включений кут в кожен трикутник (SAS). Це означає, що ми можемо використовувати Закон Косинусів, щоб знайти дві інші сторони, QD та DA. Спочатку знайдемо QD і DA.
\ (\ почати {вирівняний}
Q D^ {2} &=2.8^ {2} +7.8^ {2} -2 (2.8) (7.8)\ cos 31 & D A^ {2} &=2.5^ {2} +7.8^ {2} -2 (2.5) (7.8)\ cos 40\\
Q D^ {2} &D A^ {2} &D A^ {2} &D A^ {2} &D A^ {2} &D A^ {2} 21426672\\
Q D&\ приблизно 5.6 & D A &\ приблизно 6.1
\ кінець {вирівняний}\)
Нарешті, ми можемо обчислити периметр, оскільки ми знайшли всі чотири сторони чотирикутника.
\(pQUAD=2.8+5.6+6.1+2.5=17\)
3. В\(\Delta ABC\),\(BD\) є висотою від\(B\) до\(AC\). Площа,\(\Delta ABC=232.96\)\(AB=16.2\), і\(AD=14.4\). Знайти\(DC\).
Спочатку знайдіть БД за допомогою теореми Піфагора. \(BD=\sqrt{16.2^2−14.4^2}=7.42\). Потім, використовуючи область і формулу (\(A=\dfrac{1}{2}bh\)), можна знайти\(AC\).
\(232.96=\dfrac{1}{2}(7.42)AC\rightarrow AC=62.78. \; DC=62.78−14.4=48.38\).
Раніше вас попросили знайти довжину в\(b\) мобільному шматку.
Рішення
Оскільки ви знаєте, що мобільний шматок становить шість дюймів з одного боку, і що площа трикутника є\(25\text{ in}^2 \), ви можете скористатися формулою,\(K=\dfrac{1}{2} ab \sin C\) щоб знайти довжину іншої сторони:
\(\begin{aligned} K&=\dfrac{1}{2} ab \sin C \\ 25&=\dfrac{1}{2} (6)(b)\sin 35^{\circ} \\ 25&=1.72b \\ b&=\dfrac{25}{1.72 }\\ b&=14.53\text{ in}\end{aligned}\)
Знайдіть "\(h\)" в трикутнику нижче:\(\text{Area} =1618.98\),\(b=36.3\)
Рішення
Оскільки ми знаємо площу, одну зі сторін (18.15) та один кут трикутника (\(45^{\circ} \)), ми можемо використовувати формулу,\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\) щоб знайти іншу сторону трикутника. Потім ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайти висоту трикутника.
Це дає результат:
\(h=89.2\)
Знайти\(\angle A\) в трикутнику нижче:\(\text{Area }=387.6\),\(b=25.6\),\(c=32.9\)
Рішення
Оскільки ми знаємо площу та довжини двох сторін трикутника, ми можемо використовувати формулу\(K=\dfrac{1}{2} bc\sin A\) для розв'язання включеного кута, яка дає:
\(\angle A=67^{\circ}\)
Знайдіть область\(\Delta ABC\) нижче:\(\text{Area} \Delta ABD=16.96\),\(AD=3.2\),\(\angle DBC=49.6^{\circ} \)
Рішення
\(\text{Area of } \Delta ABC=83.0\)
Рецензія
- Площа трикутника внизу дорівнює\(138\text{ in}^2 \). Вирішіть для\(x\), висота.
Малюнок\(\PageIndex{7}\) - Площа трикутника внизу дорівнює\(250\text{ cm}^2 \). На схемі вказана висота. Вирішити для\(x\).
Малюнок\(\PageIndex{8}\)
Використовуйте трикутник нижче для питань 3-5. Площа великого трикутника дорівнює\(65 \text{ cm}^2\).
- Вирішити для\(x\).
- Знайдіть периметр великого трикутника.
- Знайдіть міру всіх трьох кутів великого трикутника.
Використовуйте трикутник нижче для питань 6-8. Площа трикутника дорівнює\(244 \text{ cm}^2\).
- Вирішити для\(\theta \).
- Вирішити для\(x\).
- Знайдіть периметр трикутника.
Використовуйте трикутник нижче для питань 9-11. Площа трикутника дорівнює\(299.8 \text{ in}^2\).
- Вирішити для\(x\).
- Вирішити для\(y\).
- Знайдіть міру двох інших кутів трикутника.
Використовуйте трикутник нижче для питань 12-15. Площа великого трикутника дорівнює\(84 \text{ in}^2\).
- Вирішити для\(x\).
- Вирішити для\(y\).
- Вирішити для\(z\).
- Вирішити для\(\theta \).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.6.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| закон косинусів | Закон косинусів - це правило, що стосується сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Закон косинусів говорить про те\(c^2=a^2+b^2−2ab\cos C\),\(C\) де кут поперек з боку\(c\). |
| закон синусів | Закон синусів - це правило, застосоване до трикутників, яке стверджує, що відношення синуса кута до сторони, протилежної цьому куту, дорівнює відношенню синуса іншого кута в трикутнику до сторони, протилежної цьому куту. |