Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.2.2: Вступ до формули площі трикутника

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54656

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Знайти області непрямих трикутників за допомогою синусоїдального співвідношення

    Перебуваючи в обідній кімнаті з друзями одного дня, ви обговорюєте різні способи використання речей, які ви дізналися на уроці математики. Ви говорите своїм друзям, що ви багато дізналися про трикутники, наприклад, як знайти їх область. Один з ваших друзів дивиться вниз на вашу тарілку і починає посміхатися.

    «Гаразд», - каже він. «Якщо ви так добре справляєтеся з речами, пов'язаними з трикутниками, я смію вас знайти щось просте. Скажіть мені область вашого шматочка піци». Він вказує вниз на піцу на вашій тарілці.

    Піца має форму трикутника. Але, на жаль, це не прямокутний трикутник. Зовнішній край має довжину 5 дюймів, а довгі сторони - 7 дюймів завдовжки. Кут між краєм і довгою стороною зрізу дорівнює\(69^{\circ} \). Чи є спосіб сказати площу вашого шматочка піци?

    Виведення формули площі трикутника

    Ми можемо використовувати формулу площі з геометрії\(A=\dfrac{1}{2} bh\), а також функцію синуса, щоб отримати нову формулу, яку можна використовувати, коли висота або висота трикутника невідомі.

    \(\Delta ABC\)Внизу\(BD\) - висота від\(B\) до\(AC\). Ми будемо посилатися на довжину\(BD\) як,\(h\) оскільки вона також представляє висоту трикутника. Крім того, ми будемо посилатися на площу трикутника,\(K\) щоб уникнути плутанини області з\(\angle A\).

    Ф-Д_42Д7А855С381Б3Д978БД1С6А6Д1Е8Ф57Е6Ф9Б9А11Б50Ф7АААААААААААА2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    \(\begin{aligned} k &=\dfrac{1}{2} bh && \text{ Area of a triangle } \\ k&=\dfrac{1}{2} b(c \sin A) &&\sin A=\dfrac{h }{c} \text{ therefore } c \sin A=h \\ k&=\dfrac{1}{2} bc \sin A && \text{Simplify} \end{aligned}\)

    Ми можемо використовувати подібний метод, щоб вивести всі три форми формули площі, незалежно від кута:

    \(\begin{aligned} K &=\dfrac{1}{2} bc \sin A\\ K&=\dfrac{1}{2} ac \sin B \\ K&=\dfrac{1}{2} ab \sin C \end{aligned}\)

    Формула\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\) вимагає від нас знати дві сторони та включений кут (SAS) у трикутнику. Як тільки ми дізнаємося ці три речі, ми можемо легко обчислити площу косого трикутника.

    Пошук площі трикутника

    1. В\(\Delta ABC\),\(\angle C=62^{\circ} \),\(b=23.9\), і\(a=31.6\). Знайдіть площу трикутника.

    Ф-Д_88085Б60АФ7С63А417Д5БФ 9307251544924079Б3А50310773 CA46BC2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Використовуючи нашу нову формулу\(K=\dfrac{1}{2} ab\sin C\), підключіть те, що відомо, і вирішіть для області.

    \(\begin{aligned} K &=\dfrac{1}{2}(31.6)(23.9)\sin 62 \\ K &\approx 333.4 \end{aligned}\)

    2. Нещодавно в готелі «Піраміда» був встановлений трикутний басейн. Одна сторона басейну - 24 футів, інша сторона - 26 футів, а кут між двома сторонами є\(87^{\circ} \). Якщо менеджеру готелю необхідно замовити покриття для басейну, а вартість вказана\($35\) за квадратний фут, скільки він може розраховувати витратити?

    Ф-Д_Б225Б9Б5ЕФ58ББ0А 297 кД99282Е794 АЦБ720С559Д7Ф7А4А019 ФЕФ 4А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Для того щоб дізнатися вартість покриття, спочатку потрібно дізнатися площу покриття. Як тільки ми дізнаємося, скільки квадратних футів становить покриття, ми можемо розрахувати вартість. На ілюстрації вище ви можете бачити, що ми знаємо дві сторони та включений кут. Це означає, що ми можемо використовувати формулу\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\).

    \(\begin{aligned} K&=\dfrac{1}{2} (24)(26)\sin 87 \\ K&\approx 311.6 \\ 311.6 \text{ sq.ft.} \times $35/ \text{ sq.ft. }&=$10,905.03 \end{aligned}\)

    Вартість покриття буде\($10,905.03\).

    3. В\(\Delta GHI\),\(\angle I=15^{\circ} \),\(g=14.2\), і\(h=7.9\). Знайдіть площу трикутника.

    F-D_3FFCC6A0440АФ3Б81Б09674 ФЕ833Ф939ДК 9С38Е1БК89С8С54711C7E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Використовуючи нашу нову формулу\(K=\dfrac{1}{2} ab \sin C\), яка така ж\(K=\dfrac{1}{2} gh \sin I\), як, підключіть те, що відомо, і вирішіть для області.

    \(\begin{aligned} K &=\dfrac{1}{2} (14.2)(7.9)\sin 15 \\ K&\approx 14.52\end{aligned} \)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи є спосіб сказати площу шматочка піци.

    Рішення

    Використовуйте формулу\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\)

    де в цьому випадку одна зі сторін дорівнює 5, інша дорівнює 7, а кут дорівнює\(69^{\circ} \).

    \(K=\dfrac{1}{2} (5)(7) \sin 69^{\circ} =16.34\text{ in}^2\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Фермеру необхідно пересаджувати трикутну ділянку посівів, які несподівано загинули. Одна сторона трикутника вимірює 186 ярдів, інша вимірює 205 ярдів, і кут, утворений цими двома сторонами є\(148^{\circ} \).

    Яка площа ділянки культур, які потрібно пересаджувати?

    Ф-Д_А8 ДФБА 8С71БА 1787Б6АЕ 107ФД 60ФДДД 721611А2А2 БФ2 АБ402106Ф4ДБ2А0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Рішення

    Використання\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\),\(K=\dfrac{1}{2} (186)(205)\sin 148^{\circ} \). Так, площа, яку потрібно замінити, становить 10102,9 квадратних ярдів.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Фермер виходить через кілька днів, щоб виявити, що загинуло більше врожаю. Сторона, яка використовується для вимірювання 205 ярдів тепер вимірює 288 ярдів. На скільки збільшена площа, яку потрібно пересаджувати?

    Рішення

    \(K=\dfrac{1}{2}(186)(288)\sin 148^{\circ} =14193.4\), площа збільшилася на 4090,5 ярдів.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайти периметр чотирикутника зліва Якщо площа\(\Delta DEG=56.5\) і площа\(\Delta EGF=84.7\).

    Рішення

    Вам потрібно скористатися\(K=\dfrac{1}{2} bc \sin A\) формулою, щоб знайти DE і GF.

    \(56.5=\dfrac{1}{2} (13.6)DE \sin 39^{\circ} \rightarrow DE=13.2 \qquad 84.7=\dfrac{1}{2}(13.6)EF \sin 60^{\circ} \rightarrow EF=14.4\)

    По-друге, потрібно знайти сторони\(DG\) і\(GF\) скористатися Законом Косинусів.

    \(\begin{aligned} DG^2 & =13.2^2+13.6^2−2\cdot 13.2\cdot 13.6\cdot \cos 39^{\circ} \rightarrow DG=8.95 \\ GF^2 &=14.4^2+13.6^2−2\cdot 14.4\cdot 13.6\cdot \cos 60^{\circ} \rightarrow GF=14.0 \end{aligned} \)

    Периметр чотирикутника - 50,55.

    Рецензія

    Знайдіть площу кожного трикутника.

    1. \(\Delta ABC\)якщо\(a=13\)\(b=15\), і\(m\angle C=71^{\circ} \).
    2. \(\Delta ABC\)якщо\(b=8\)\(c=4\), і\(m\angle A=67^{\circ} \).
    3. \(\Delta ABC\)якщо\(b=34\)\(c=29\), і\(m\angle A=138^{\circ} \).
    4. \(\Delta ABC\)якщо\(a=3\)\(b=7\), і\(m\angle C=80^{\circ} \).
    5. \(\Delta ABC\)якщо\(a=4.8\)\(c=3.7\), і\(m\angle B=43^{\circ} \).
    6. \(\Delta ABC\)якщо\(a=12\)\(b=5\), і\(m\angle C=20^{\circ} \).
    7. \(\Delta ABC\)якщо\(a=3\)\(b=10\), і\(m\angle C=50^{\circ} \).
    8. \(\Delta ABC\)якщо\(a=5\)\(b=9\), і\(m\angle C=14^{\circ} \).
    9. \(\Delta ABC\)якщо\(a=5\)\(b=7\), і\(c=11\).
    10. \(\Delta ABC\)якщо\(a=7\)\(b=8\), і\(c=9\).
    11. \(\Delta ABC\)якщо\(a=12\)\(b=14\), і\(c=4\).
    12. Фермер вимірює три сторони трикутного поля і отримує 114, 165 і 257 футів. Яка міра найбільшого кута трикутника?
    13. Використовуючи інформацію з попередньої задачі, яка площа поля?

    Іншим полем є чотирикутник, де три сторони вимірюють 30, 50 і 60 ярдів, і два кути вимірюють\(130^{\circ} \) і\(140^{\circ} \), як показано нижче.

    F-D_686023E1ДФ 58D9F6 САБ3Б2С1002А196Д1Ф535Б99С211625971352F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)
    1. Знайдіть площу чотирикутника. Підказка: розділіть чотирикутник на два трикутника і знайдіть площу кожного.
    2. Знайдіть довжину четвертої сторони.
    3. Знайдіть мірки двох інших кутів.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.4.

    Лексика

    Термін Визначення
    Косий трикутник Косий трикутник - це трикутник без прямого кута в якості одного з його внутрішніх кутів.
    SAS трикутник Трикутник SAS - це трикутник, де дві сторони та кут між ними відомі величини.