6.5: Тригонометричні рівняння

Розв'язування тригонометричного рівняння подібно до вирішення регулярного рівняння. Ви будете використовувати факторинг та інші алгебраїчні методи, щоб отримати змінну з одного боку. Найбільшою відмінністю з тригонометричними рівняннями є можливість існувати нескінченну кількість розв'язків, які необхідно описати за допомогою шаблону. Рівняння$\cos x=1$ має багато рішень, включаючи 0 і$2 \pi .$ Як би ви описали їх усі?

Розв'язування тригонометричних рівнянь

Отримані вами ідентичності корисні у вирішенні тригонометричних рівнянь. Мета розв'язання рівняння не змінилася. Робіть все, що потрібно, щоб отримати змінну поодинці на одній стороні рівняння. Факторинг, особливо з піфагорійською ідентичністю, є критичним.

Спробуйте дати точні (неокруглені) відповіді при вирішенні тригонометричних рівнянь. Якщо ви працюєте з калькулятором, майте на увазі, що в той час як деякі нові калькулятори можуть надати точні відповіді, як$\frac{\sqrt{3}}{2}$ більшість калькуляторів буде виробляти десяткове число$0.866 \ldots$ Якщо ви бачите десяткове число, як$0.866 \ldots,$ спробуйте квадрат. Результат може бути приємною фракцією, як$\frac{3}{4}$. Тоді можна логічно зробити висновок, що початкове десяткове число має бути квадратним коренем$\frac{3}{4}$ або$\frac{\sqrt{3}}{2}$

При вирішенні, якщо дві сторони рівняння завжди рівні, то рівняння є тотожністю. Якщо дві сторони рівняння ніколи не рівні, як з$\sin x=3$, тоді рівняння не має рішення.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як можна описати безліч рішень$\cos x=1$. Коли ви вводите$\cos ^{-1} 1$ на калькуляторі, це дасть лише одне рішення, яке є Для$0 .$ того, щоб описати всі рішення, ви повинні використовувати логіку та графік, щоб з'ясувати, що косинус також має висоту 1 на$-2 \pi, 2 \pi,-4 \pi, 4 \pi \ldots$ щастя, всі ці значення є послідовностями в чіткій схемі, так що ви можете описати. їх все в загальному вигляді з наступними позначеннями:

$x=0 \pm n \cdot 2 \pi$де$n$ - ціле число, або$x=\pm n \cdot 2 \pi$ де$n$ - ціле число.

Приклад 2

Вирішіть наступне рівняння алгебраїчно і підтвердіть графічно на інтервалі$[-2 \pi, 2 \pi]$.

$\cos 2 x=\sin x$

$\begin{aligned} \cos 2 x &=\sin x \\ 1-2 \sin ^{2} x &=\sin x \\ 0 &=2 \sin ^{2} x+\sin x-1 \\ 0 &=(2 \sin x-1)(\sin x+1) \end{aligned}$

Розв'язування першої частини множини, рівної нулю в межах інтервалу, дає:

$\begin{aligned} 0 &=2 \sin x-1 \\ \frac{1}{2} &=\sin x \\ x &=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6},-\frac{11 \pi}{6},-\frac{7 \pi}{6} \end{aligned}$

Розв'язування другої частини множини дорівнює нулю виходів:

$\begin{aligned} 0 &=\sin x+1 \\-1 &=\sin x \\ x &=-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \end{aligned}$

Це шість рішень, які з'являться як перетину двох графіків$f(x)=\cos 2 x$ і$g(x)=\sin x$

Приклад 3

Визначте загальне рішення наступного рівняння.

$\cot x-1=0$

$\cot x-1=0$
$\cot x=1$

Одним з рішень є$x=\frac{\pi}{4} .$ Однак, оскільки це питання просить загальне рішення, вам потрібно знайти всі можливі рішення. Ви повинні знати, що котангенс має період,$\pi$ який означає, що якщо ви додаєте або$\pi$ віднімаєте,$\frac{\pi}{4}$ то він також дасть висоту$1 .$ Щоб захопити всі ці інші можливі$x$ значення, ви повинні використовувати це позначення.

$x=\frac{\pi}{4} \pm n \cdot \pi$де$n$ ціле число

Зверніть увагу, що тригонометричні рівняння можуть мати нескінченну кількість розв'язків, які повторюються за певною схемою, оскільки вони є періодичними функціями. Коли ви бачите ці напрямки, пам'ятайте, щоб знайти всі рішення, використовуючи позначення, як у цьому прикладі.

Приклад 4

Вирішіть наступне рівняння.
$4 \cos ^{2} x-1=3-4 \sin ^{2} x$

$\begin{aligned} 4 \cos ^{2} x-1 &=3-4 \sin ^{2} x \\ 4 \cos ^{2} x+4 \sin ^{2} x &=3+1 \\ 4\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right) &=4 \\ 4 &=4 \end{aligned}$

Це рівняння завжди вірно, що означає, що права сторона завжди дорівнює лівій стороні. Це особистість.

Приклад 5

Вирішіть наступне рівняння точно.

$2 \cos ^{2} x+3 \cos x-2=0$

Зауважте,$\cos x \neq-2$ що це означає, що для розв'язків потрібно розв'язати лише одне рівняння.

$\begin{aligned} 2 \cos x-1 &=0 \\ \cos x &=\frac{1}{2} \\ x &=\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3} \end{aligned}$

Це рішення в межах інтервалу$-\pi$,$\pi .$ так як це являє собою один повний період косинуса, решта розв'язків просто кратні$2 \pi$ додаються і віднімаються до цих двох значень.

$x=\pm \frac{\pi}{3} \pm n \cdot 2 \pi$де$n$ ціле число

Рецензія

Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі$[0,2 \pi)$.

1. $3 \cos ^{2} \frac{x}{2}=3$

2. $4 \sin ^{2} x=8 \sin ^{2} \frac{x}{2}$

Знайти приблизні розв'язки кожного рівняння на інтервалі$[0,2 \pi)$

3. $3 \cos ^{2} x+10 \cos x+2=0$

4. $\sin ^{2} x+3 \sin x=5$

5. $\cdot \tan ^{2} x+\tan x=3$

6. $\cot ^{2} x+5 \tan x+14=0$

7. $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$

Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі$\left[0,360^{\circ}\right)$.

8. $2 \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=1$

9. $4 \cos (x-\pi)=4$

Вирішити кожне рівняння на інтервалі$[2 \pi, 4 \pi)$

10. $\cos ^{2} x+2 \cos x+1=0$

11. $3 \sin x=2 \cos ^{2} x$

12. $\tan x \sin ^{2} x=\tan x$

13. $\sin ^{2} x+1=2 \sin x$

14. $\sec ^{2} x=4$

15. $\sin ^{2} x-4=\cos ^{2} x-\cos 2 x-4$