6.5: Тригонометричні рівняння
- Page ID
- 54387
Розв'язування тригонометричного рівняння подібно до вирішення регулярного рівняння. Ви будете використовувати факторинг та інші алгебраїчні методи, щоб отримати змінну з одного боку. Найбільшою відмінністю з тригонометричними рівняннями є можливість існувати нескінченну кількість розв'язків, які необхідно описати за допомогою шаблону. Рівняння\(\cos x=1\) має багато рішень, включаючи 0 і\(2 \pi .\) Як би ви описали їх усі?
Розв'язування тригонометричних рівнянь
Отримані вами ідентичності корисні у вирішенні тригонометричних рівнянь. Мета розв'язання рівняння не змінилася. Робіть все, що потрібно, щоб отримати змінну поодинці на одній стороні рівняння. Факторинг, особливо з піфагорійською ідентичністю, є критичним.
Спробуйте дати точні (неокруглені) відповіді при вирішенні тригонометричних рівнянь. Якщо ви працюєте з калькулятором, майте на увазі, що в той час як деякі нові калькулятори можуть надати точні відповіді, як\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) більшість калькуляторів буде виробляти десяткове число\(0.866 \ldots\) Якщо ви бачите десяткове число, як\(0.866 \ldots,\) спробуйте квадрат. Результат може бути приємною фракцією, як\(\frac{3}{4}\). Тоді можна логічно зробити висновок, що початкове десяткове число має бути квадратним коренем\(\frac{3}{4}\) або\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
При вирішенні, якщо дві сторони рівняння завжди рівні, то рівняння є тотожністю. Якщо дві сторони рівняння ніколи не рівні, як з\(\sin x=3\), тоді рівняння не має рішення.
Приклади
Раніше вас запитали, як можна описати безліч рішень\(\cos x=1\). Коли ви вводите\(\cos ^{-1} 1\) на калькуляторі, це дасть лише одне рішення, яке є Для\(0 .\) того, щоб описати всі рішення, ви повинні використовувати логіку та графік, щоб з'ясувати, що косинус також має висоту 1 на\(-2 \pi, 2 \pi,-4 \pi, 4 \pi \ldots\) щастя, всі ці значення є послідовностями в чіткій схемі, так що ви можете описати. їх все в загальному вигляді з наступними позначеннями:
\(x=0 \pm n \cdot 2 \pi\)де\(n\) - ціле число, або\(x=\pm n \cdot 2 \pi\) де\(n\) - ціле число.
Вирішіть наступне рівняння алгебраїчно і підтвердіть графічно на інтервалі\([-2 \pi, 2 \pi]\).
\(\cos 2 x=\sin x\)
\(\begin{aligned} \cos 2 x &=\sin x \\ 1-2 \sin ^{2} x &=\sin x \\ 0 &=2 \sin ^{2} x+\sin x-1 \\ 0 &=(2 \sin x-1)(\sin x+1) \end{aligned}\)
Розв'язування першої частини множини, рівної нулю в межах інтервалу, дає:
\(\begin{aligned} 0 &=2 \sin x-1 \\ \frac{1}{2} &=\sin x \\ x &=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6},-\frac{11 \pi}{6},-\frac{7 \pi}{6} \end{aligned}\)
Розв'язування другої частини множини дорівнює нулю виходів:
\(\begin{aligned} 0 &=\sin x+1 \\-1 &=\sin x \\ x &=-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \end{aligned}\)
Це шість рішень, які з'являться як перетину двох графіків\(f(x)=\cos 2 x\) і\(g(x)=\sin x\)
Визначте загальне рішення наступного рівняння.
\(\cot x-1=0\)
\(\cot x-1=0\)
\(\cot x=1\)
Одним з рішень є\(x=\frac{\pi}{4} .\) Однак, оскільки це питання просить загальне рішення, вам потрібно знайти всі можливі рішення. Ви повинні знати, що котангенс має період,\(\pi\) який означає, що якщо ви додаєте або\(\pi\) віднімаєте,\(\frac{\pi}{4}\) то він також дасть висоту\(1 .\) Щоб захопити всі ці інші можливі\(x\) значення, ви повинні використовувати це позначення.
\(x=\frac{\pi}{4} \pm n \cdot \pi\)де\(n\) ціле число
Зверніть увагу, що тригонометричні рівняння можуть мати нескінченну кількість розв'язків, які повторюються за певною схемою, оскільки вони є періодичними функціями. Коли ви бачите ці напрямки, пам'ятайте, щоб знайти всі рішення, використовуючи позначення, як у цьому прикладі.
Вирішіть наступне рівняння.
\(4 \cos ^{2} x-1=3-4 \sin ^{2} x\)
\(\begin{aligned} 4 \cos ^{2} x-1 &=3-4 \sin ^{2} x \\ 4 \cos ^{2} x+4 \sin ^{2} x &=3+1 \\ 4\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right) &=4 \\ 4 &=4 \end{aligned}\)
Це рівняння завжди вірно, що означає, що права сторона завжди дорівнює лівій стороні. Це особистість.
Вирішіть наступне рівняння точно.
\(2 \cos ^{2} x+3 \cos x-2=0\)
Зауважте,\(\cos x \neq-2\) що це означає, що для розв'язків потрібно розв'язати лише одне рівняння.
\(\begin{aligned} 2 \cos x-1 &=0 \\ \cos x &=\frac{1}{2} \\ x &=\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3} \end{aligned}\)
Це рішення в межах інтервалу\(-\pi\),\(\pi .\) так як це являє собою один повний період косинуса, решта розв'язків просто кратні\(2 \pi\) додаються і віднімаються до цих двох значень.
\(x=\pm \frac{\pi}{3} \pm n \cdot 2 \pi\)де\(n\) ціле число
Рецензія
Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі\([0,2 \pi)\).
1. \(3 \cos ^{2} \frac{x}{2}=3\)
2. \(4 \sin ^{2} x=8 \sin ^{2} \frac{x}{2}\)
Знайти приблизні розв'язки кожного рівняння на інтервалі\([0,2 \pi)\)
3. \(3 \cos ^{2} x+10 \cos x+2=0\)
4. \(\sin ^{2} x+3 \sin x=5\)
5. \(\cdot \tan ^{2} x+\tan x=3\)
6. \(\cot ^{2} x+5 \tan x+14=0\)
7. \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\)
Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі\(\left[0,360^{\circ}\right)\).
8. \(2 \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=1\)
9. \(4 \cos (x-\pi)=4\)
Вирішити кожне рівняння на інтервалі\([2 \pi, 4 \pi)\)
10. \(\cos ^{2} x+2 \cos x+1=0\)
11. \(3 \sin x=2 \cos ^{2} x\)
12. \(\tan x \sin ^{2} x=\tan x\)
13. \(\sin ^{2} x+1=2 \sin x\)
14. \(\sec ^{2} x=4\)
15. \(\sin ^{2} x-4=\cos ^{2} x-\cos 2 x-4\)