6.2: Піфагорійська ідентичність
- Page ID
- 54391
Теорема Піфагора працює над прямими трикутниками. Якщо ви вважаєте\(x\) координату точки уздовж одиничного кола косинусом, а\(y\) координату точки - синусом, а відстань до початку - 1, то теорема Піфагора негайно дає ідентичність:
\ (
\ begin {масив} {l}
y^ {2} +x^ {2} =1\
\ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} x = 1
\ end {масив}
\)
Спостережливий студент може здогадатися, що інші ідентичності Піфагора існують з рештою тригонометричних функцій. Чи є\(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x=1\) законною особистістю?
Піфагора ідентичності
Доказом ідентичності Піфагора для синуса і косинуса є, по суті, просто малювання прямокутного трикутника в одиничному колі, ідентифікуючи косинус як\(x\) координату, синус як\(y\) координату і 1 як гіпотенузу.
\(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1\)
або
\(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\)
Дві інші ідентичності Піфагора:
- \(1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x\)
- \(\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x\)
Щоб вивести ці дві ідентичності Піфагора, розділіть початкову піфагорійську ідентичність на\(\sin ^{2} x\) і\(\cos ^{2} x\) відповідно.
Щоб вивести піфагорійську ідентичність,\(1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x\) розділіть на\(\sin ^{2} x\) і спростіть.
\(\begin{aligned} \frac{\sin ^{2} x}{\sin ^{2} x}+\frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} &=\frac{1}{\sin ^{2} x} \\ 1+\cot ^{2} x &=\csc ^{2} x \end{aligned}\)
Аналогічно, щоб вивести піфагорійську ідентичність\(\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x\), розділіть на\(\cos ^{2} x\) і спростіть.
\ почати {вирівняний}
\ розрив {\ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x} +\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x} &=\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}\
\ tan ^ {2} x+1 &=\ сек ^ {2} х
\ кінець {вирівняний}
Приклади
Раніше вас запитали, чи\(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x=1\) є законною особистістю. Кофункції не завжди пов'язані безпосередньо через піфагорійську ідентичність.
\(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x \neq 1\)
Візуально прямокутний трикутник, що з'єднує дотичну і січну, також можна спостерігати в одиничному колі. Більшість людей не знають, що тангенс називається «дотичною», оскільки він відноситься до відстані дотичної лінії від точки на одиничному колі до\(x\) осі. Подивіться на картинку нижче і подумайте, чому має сенс, що\(\tan x\) і\(\sec x\) так позначено. \(\tan x=\frac{o p p}{a d j} .\)так як прилегла сторона дорівнює 1 (радіус кола), тан\(x\) просто дорівнює протилежній стороні. Подібну логіку можна пояснити і розміщення\(\sec x\).
Спростіть наступний вираз:\(\frac{\sin x(\csc x-\sin x)}{1-\sin x}\)
\ (
\ почати {вирівняний}
\ розрив {\ sin x (\ csc x-\ sin x)} {1-\ sin x} &=\ frac {\ sin x\ cdot\ cdot\ csc x-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x} {1-\ sin x}\\
&=\\ гідророзриву {(1-\ sin x) (1+\ sin x)} {1-\ sin x}\\
&= 1+\ гріх х
\ кінець {
вирівняні}
\)
Зверніть увагу, що факторинг піфагорійської ідентичності є одним з найпотужніших і поширених додатків.
Доведіть наступну тригонометричну ідентичність. \(\left(\sec ^{2} x+\csc ^{2} x\right)-\left(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x\right)=2\)
Групуйте терміни та застосуйте іншу форму двох двох піфагорієвих ідентичностей, які є\(1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x\) і\(\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x\)
\ (
\ почати {вирівняний}
\ лівий (\ сек ^ {2} x+\ csc ^ {2} х\ праворуч) -\ ліворуч (\ тан ^ {2} x+\ дитяче ^ {2} х\ праворуч) &=\ сек ^ {2} x-\ tan ^ {2} x+\ csc ^ {2} x-\
cot ^ {2} x\\
= 2
\ кінець {вирівняний}
\)
Спростіть наступний вираз. Примітка:\(\sec ^{2} x=\frac{1}{\cos ^{2} x}\)
\ (
\ почати {вирівняний}
\ лівий (\ сек ^ {2} х\ вправо)\ лівий (1-\ sin ^ {2} х\ праворуч) -&\ лівий (\ frac {\ sin x} {\ csc x} +\ frac {\ cos x} {\ сек x}\ праворуч)\\
(&\ ліворуч. \ сек ^ {2} х\ вправо)\ ліворуч (1-\ sin ^ {2} х\ праворуч) -\ лівий (\ frac {\ sin x} {\ csc x} +\ cos x} {\ сек x}\ праворуч)\\
&=\ сек ^ {2} x\ cdot\ cos ^ {2} х-\ ліворуч (\ sin ^ {2} x+ cos ^ {2} х\ праворуч)\\
&=1-1\
&=0
\ кінець {вирівняний}
\)
Спростіть наступний вираз.
\ (
(\ cos t-\ sin t) ^ {2} + (\ cos t+\ sin t) ^ {2}
\)
Зверніть увагу, що спочатку вираз не збігається з піфагорійською ідентичністю.
\ (
\ почати {масив} {l}
(\ cos t-\ sin t) ^ {2} + (\ cos t+\ sin t) ^ {2}\
=\ cos ^ {2}
t-2\ cos ^ {2} t+2\ cos t\ sin t\ sin ^ {2} t+2\ cos t\ sin ^ {2} t\\ sin ^ {2} t\ cos t\ sin ^ {2} t+1+2\ cos t\ sin t\\
=2
\ end {масив}
\)
Рецензія
Доведіть кожне з наступних дій:
1. \(\left(1-\cos ^{2} x\right)\left(1+\cot ^{2} x\right)=1\)
2. \(\cos x\left(1-\sin ^{2} x\right)=\cos ^{3} x\)
3. \(\sin ^{2} x=(1-\cos x)(1+\cos x)\)
4. \(\sin x=\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\csc x}\)
5. \(\sin ^{4} x-\cos ^{4} x=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\)
6. \(\sin ^{2} x \cos ^{3} x=\left(\sin ^{2} x-\sin ^{4} x\right)(\cos x)\)
Максимально спрощуйте кожен вираз.
7. \(\tan ^{3} x \csc ^{3} x\)
8. \(\frac{\csc ^{2} x-1}{\sec ^{2} x}\)
9. \(\frac{1-\sin ^{2} x}{1+\sin x}\)
10. \(\sqrt{1-\cos ^{2} x}\)
11. \(\frac{\sin ^{2} x-\sin ^{4} x}{\cos ^{2} x}\)
12. \(\left(1+\tan ^{2} x\right)\left(\sec ^{2} x\right)\)
13. \(\frac{\sin ^{2} x+\tan ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sec x}\)
14. \(\frac{1+\tan ^{2} x}{\csc ^{2} x}\)
15. \(\frac{1-\sin ^{2} x}{\cos x}\)
...