Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2: Піфагорійська ідентичність

  • Page ID
    54391
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Теорема Піфагора працює над прямими трикутниками. Якщо ви вважаєте\(x\) координату точки уздовж одиничного кола косинусом, а\(y\) координату точки - синусом, а відстань до початку - 1, то теорема Піфагора негайно дає ідентичність:

    \ (
    \ begin {масив} {l}
    y^ {2} +x^ {2} =1\
    \ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} x = 1
    \ end {масив}
    \)

    Спостережливий студент може здогадатися, що інші ідентичності Піфагора існують з рештою тригонометричних функцій. Чи є\(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x=1\) законною особистістю?

    Піфагора ідентичності

    Доказом ідентичності Піфагора для синуса і косинуса є, по суті, просто малювання прямокутного трикутника в одиничному колі, ідентифікуючи косинус як\(x\) координату, синус як\(y\) координату і 1 як гіпотенузу.

    \(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1\)

    або

    \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\)

    Дві інші ідентичності Піфагора:

    • \(1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x\)
    • \(\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x\)

    Щоб вивести ці дві ідентичності Піфагора, розділіть початкову піфагорійську ідентичність на\(\sin ^{2} x\) і\(\cos ^{2} x\) відповідно.

    Щоб вивести піфагорійську ідентичність,\(1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x\) розділіть на\(\sin ^{2} x\) і спростіть.

    \(\begin{aligned} \frac{\sin ^{2} x}{\sin ^{2} x}+\frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} &=\frac{1}{\sin ^{2} x} \\ 1+\cot ^{2} x &=\csc ^{2} x \end{aligned}\)

    Аналогічно, щоб вивести піфагорійську ідентичність\(\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x\), розділіть на\(\cos ^{2} x\) і спростіть.

    \ почати {вирівняний}
    \ розрив {\ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x} +\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x} &=\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}\
    \ tan ^ {2} x+1 &=\ сек ^ {2} х
    \ кінець {вирівняний}

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, чи\(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x=1\) є законною особистістю. Кофункції не завжди пов'язані безпосередньо через піфагорійську ідентичність.

    \(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x \neq 1\)

    Візуально прямокутний трикутник, що з'єднує дотичну і січну, також можна спостерігати в одиничному колі. Більшість людей не знають, що тангенс називається «дотичною», оскільки він відноситься до відстані дотичної лінії від точки на одиничному колі до\(x\) осі. Подивіться на картинку нижче і подумайте, чому має сенс, що\(\tan x\) і\(\sec x\) так позначено. \(\tan x=\frac{o p p}{a d j} .\)так як прилегла сторона дорівнює 1 (радіус кола), тан\(x\) просто дорівнює протилежній стороні. Подібну логіку можна пояснити і розміщення\(\sec x\).

    Приклад 2

    Спростіть наступний вираз:\(\frac{\sin x(\csc x-\sin x)}{1-\sin x}\)

    \ (
    \ почати {вирівняний}
    \ розрив {\ sin x (\ csc x-\ sin x)} {1-\ sin x} &=\ frac {\ sin x\ cdot\ cdot\ csc x-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x} {1-\ sin x}\\
    &=\\ гідророзриву {(1-\ sin x) (1+\ sin x)} {1-\ sin x}\\
    &= 1+\ гріх х
    \ кінець {
    вирівняні}
    \)

    Зверніть увагу, що факторинг піфагорійської ідентичності є одним з найпотужніших і поширених додатків.

    Приклад 3

    Доведіть наступну тригонометричну ідентичність. \(\left(\sec ^{2} x+\csc ^{2} x\right)-\left(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x\right)=2\)

    Групуйте терміни та застосуйте іншу форму двох двох піфагорієвих ідентичностей, які є\(1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x\) і\(\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x\)

    \ (
    \ почати {вирівняний}
    \ лівий (\ сек ^ {2} x+\ csc ^ {2} х\ праворуч) -\ ліворуч (\ тан ^ {2} x+\ дитяче ^ {2} х\ праворуч) &=\ сек ^ {2} x-\ tan ^ {2} x+\ csc ^ {2} x-\
    cot ^ {2} x\\
    = 2
    \ кінець {вирівняний}
    \)

    Приклад 4

    Спростіть наступний вираз. Примітка:\(\sec ^{2} x=\frac{1}{\cos ^{2} x}\)

    \ (
    \ почати {вирівняний}
    \ лівий (\ сек ^ {2} х\ вправо)\ лівий (1-\ sin ^ {2} х\ праворуч) -&\ лівий (\ frac {\ sin x} {\ csc x} +\ frac {\ cos x} {\ сек x}\ праворуч)\\
    (&\ ліворуч. \ сек ^ {2} х\ вправо)\ ліворуч (1-\ sin ^ {2} х\ праворуч) -\ лівий (\ frac {\ sin x} {\ csc x} +\ cos x} {\ сек x}\ праворуч)\\
    &=\ сек ^ {2} x\ cdot\ cos ^ {2} х-\ ліворуч (\ sin ^ {2} x+ cos ^ {2} х\ праворуч)\\
    &=1-1\
    &=0
    \ кінець {вирівняний}
    \)

    Приклад 5

    Спростіть наступний вираз.

    \ (
    (\ cos t-\ sin t) ^ {2} + (\ cos t+\ sin t) ^ {2}
    \)

    Зверніть увагу, що спочатку вираз не збігається з піфагорійською ідентичністю.

    \ (
    \ почати {масив} {l}
    (\ cos t-\ sin t) ^ {2} + (\ cos t+\ sin t) ^ {2}\
    =\ cos ^ {2}
    t-2\ cos ^ {2} t+2\ cos t\ sin t\ sin ^ {2} t+2\ cos t\ sin ^ {2} t\\ sin ^ {2} t\ cos t\ sin ^ {2} t+1+2\ cos t\ sin t\\
    =2
    \ end {масив}
    \)

    Рецензія

    Доведіть кожне з наступних дій:

    1. \(\left(1-\cos ^{2} x\right)\left(1+\cot ^{2} x\right)=1\)

    2. \(\cos x\left(1-\sin ^{2} x\right)=\cos ^{3} x\)

    3. \(\sin ^{2} x=(1-\cos x)(1+\cos x)\)

    4. \(\sin x=\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\csc x}\)

    5. \(\sin ^{4} x-\cos ^{4} x=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\)

    6. \(\sin ^{2} x \cos ^{3} x=\left(\sin ^{2} x-\sin ^{4} x\right)(\cos x)\)

    Максимально спрощуйте кожен вираз.

    7. \(\tan ^{3} x \csc ^{3} x\)

    8. \(\frac{\csc ^{2} x-1}{\sec ^{2} x}\)

    9. \(\frac{1-\sin ^{2} x}{1+\sin x}\)

    10. \(\sqrt{1-\cos ^{2} x}\)

    11. \(\frac{\sin ^{2} x-\sin ^{4} x}{\cos ^{2} x}\)

    12. \(\left(1+\tan ^{2} x\right)\left(\sec ^{2} x\right)\)

    13. \(\frac{\sin ^{2} x+\tan ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sec x}\)

    14. \(\frac{1+\tan ^{2} x}{\csc ^{2} x}\)

    15. \(\frac{1-\sin ^{2} x}{\cos x}\)

    ...