6.4: Подвійні, наполовину та ідентичності зменшення потужності

Ці ідентичності значно більш залучені та менш інтуїтивні, ніж попередні особи. Практикуючи та працюючи з цими передовими ідентичностями, ваш набір інструментів та вільне заміщення та доведення самостійно збільшаться. Кожна ідентичність в цьому понятті названа влучно. Подвійні кути працюють над пошуком,\(\sin 80^{\circ}\) якщо ви вже знаєте\(\sin 40^{\circ}\). Половинні кути дозволяють знайти,\(\sin 15^{\circ}\) якщо ви вже знаєте\(\sin 30^{\circ}\). Зменшення потужності ідентичності дозволяють знайти,\(\sin ^{2} 15^{\circ}\) якщо ви знаєте синус і косинус\(30^{\circ}\)

Що таке\(\sin ^{2} 15^{\circ} ?\)

Точність подвійного кута, половинного кута та зменшення потужності

Подвійний кут ідентичності

Тотожності подвійного кута доводяться шляхом застосування тотожностей суми та різниці. Їх залишають як проблеми огляду. Це подвійні кутові ідентичності.

• \(\sin 2 x=2 \sin x \cos x\)
• \(\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\)
• \(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}\)

Половина кута ідентичності

Половинні кутові ідентичності - це переписана версія ідентичностей, що зменшують владу. Докази залишаються як проблеми з оглядом.

• \(\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\)
• \(\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\)
• \(\tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)

Ідентичності зменшення потужності

Тотожності, що зменшують потужність, дозволяють написати тригонометричну функцію, яка знаходиться в квадраті з точки зору менших потужностей. Докази залишені як приклади та проблеми огляду.

• \(\sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}\)
• \(\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}\)
• \(\tan ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}\)

Ідентичності, що зменшують потужність, є найбільш корисними, коли вас попросять переписати вирази, такі\(\sin ^{4} x\) як вираз без повноважень, більших за одиницю. Хоча\(\sin x \cdot \sin x \cdot \sin x \cdot \sin x\) технічно спрощує цей вираз у міру необхідності, ви повинні спробувати отримати умови, щоб сумувати разом, а не помножити разом.

\(\begin{aligned} \sin ^{4} x &=\left(\sin ^{2} x\right)^{2} \\ &=\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{1-2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x}{4} \\ &=\frac{1}{4}\left(1-2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right) \end{aligned}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили знайти\(\sin ^{2} 15^{\circ}\). Для того щоб повністю ідентифікувати\(\sin ^{2} 15^{\circ}\) потрібно використовувати формулу зменшення потужності.

\ (
\ почати {вирівняний}
\ sin ^ {2} х &=\ розриву {1-\ cos 2 x} {2}\
\ sin ^ {2} 15^ {\ circ} &=\ розриву {1-\ cos 30^ {\ circ}} {2} =\ гідророзриву {1} {2} -\ frac {\ sqrt {3}} {4}\
&=\ frac {2-\ sqrt {3}} {4}
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад 2

Напишіть наступний вираз тільки\(\sin x\) і\(\cos x: \sin 2 x+\cos 3 x\).

\ (
\ почати {вирівняний}
\ sin 2 x+\ cos 3 x &= 2\ sin x\ cos x+\ cos (2 x+x)\\
&= 2\ sin x\ cos 2 х\ cos x-\ sin 2 х\ sin x\\
&= 2\ sin x\ cos x+\ лівий (\ cos ^ {2} х\ sin ^ {2} х\ sin ^ {2} х\\ праворуч)\ cos х- (2\ sin х\ cos х)\ sin х\\\
&= 2\ sin x\ cos x+\ cos ^ {3} х-\ sin ^ {2} х\ cos x-2\ sin ^ {2} х\ cos x\\
&= 2\ sin x\ cos x+\ cos ^ {3} x-3\ sin ^ {2} х\ cos x
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад 3

Використовуйте півкути, щоб знайти точне значення засмаги\(22.5^{\circ}\) без використання калькулятора.

\ (
\ почати {масив} {l}
\ тан\ frac {x} {2} =\ пм\ sqrt {\ frac {1-\ cos x} {1+\ cos x}}\\ qquad
\ почати {вирівняний}
\ тан 22.5^ {\ circ} &=\ tan\ frac {45^ {\ circ}} {2} =\ пм\ sqrt {\ frac {c {1-\ cos 45^ {\ circ}} {1+\ cos 45^ {\ circ}} =\ пм\ sqrt {\ frac {1-\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {1+\ frac {\ sqrt {2}} {2}} =\ пм\ sqrt {\ frac {\ frac {2} {2} -\ frac {\ sqrt {2}} {\ frac {2} {2}} {2}} =\ pm\ sqrt {\ frac {2} {2+\ sqrt {2}}}\\
&=\ пм\ sqrt {\ frac {(2-\ sqrt {2}) ^ {2}} {2}}
\ кінець {вирівняний}
\ кінець {масив}
\)

Приклад 4

Доведіть ідентичність зменшення потужності для синуса.

\(\sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}\)

Використання ідентичності подвійного кута для косинуса:
\ (
\ begin {масив} {l}
\ cos 2 x =\ cos ^ {2} x-\ sin ^ {2} x\
\ cos 2 x\ cos 2 x\ cos 2 x\ cos 2 x\\ cos 2 x\ sin ^ {2} x\
\ cos 2 x = 1-2\ sin ^ {2} x
\ end {масив}
\)

Цей вираз є еквівалентним виразом подвійного кута ідентичності і часто вважається альтернативною формою.

Приклад 5

Спростіть наступну ідентифікацію. \(\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\).

Ось кроки:
\ (\ почати {вирівняний}
\ sin ^ {4} x-
\ cos ^ {4} x &=\ лівий (\ sin ^ {2} x-\ cos ^ {2} х\ вправо)\ лівий (\ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} х\ вправо)\\
&=-\ лівий (\ cos ^ {2} x-\ sin ^ {2} x\ праворуч)\\\ left (\ cos ^ {2} x\ праворуч)\\
&=-\ cos 2 х
\ кінець {вирівняний}
\)

Рецензія

Доведіть наступні ідентичності.

1. \(\sin 2 x=2 \sin x \cos x\)

2. \(\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\)

3. \(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}\)

4. \(\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}\)

5. \(\tan ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}\)

6. \(\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\)

7. \(\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\)

8. \(\tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)

9. \(\csc 2 x=\frac{1}{2} \csc x \sec x\)

10. \(\cot 2 x=\frac{\cot ^{2} x-1}{2 \cot x}\)

Знайдіть значення кожного виразу, використовуючи тотожності половинного кута.

11. \(\tan 15^{\circ}\)

12. \(\tan 22.5^{\circ}\)

13. \(\sec 22.5^{\circ}\)

14. Покажіть, що\(\tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}\)

15. Використовуючи свої знання з відповіді на питання,\(14,\) показати це\(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\).