Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.1: Основні тригонометричні ідентичності

Основні тригонометричні ідентичності - це ті, які можна логічно вивести з визначень та графіків шести тригонометричних функцій. Раніше деякі з цих ідентичностей використовувалися випадково, але тепер вони будуть формалізовані та додані до набору інструментів тригонометричних ідентичностей.

Як ви можете використовувати тригонометричні ідентичності для спрощення наступного виразу?

[sin(π2θ)sin(θ)]1

Тригонометричні тотожності

Ідентичність - це математичне речення, що включає символ «=», що завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.

Взаємні ідентичності

Відповідні ідентичності стосуються зв'язків між тригонометричними функціями, такими як синус та косеканс. Синус протилежний гіпотенузі, а косеканта - гіпотенуза над протилежною. Ця логіка створює наступні шість ідентичностей.

  • sinθ=1cscθ
  • cosθ=1secθ
  • tanθ=1cotθ
  • cotθ=1tanθ
  • secθ=1cosθ
  • cscθ=1sinθ

Тотожності коефіцієнтів

Коефіцієнтні тотожності випливають з визначення синуса, косинуса і тангенса.

  • tanθ=sinθcosθ
  • cotθ=cosθsinθ

Точні/парні ідентичності

Непарно-парні тотожності випливають з того, що тільки косинус і його взаємний секанс парні, а решта тригонометричних функцій непарні.

  • sin(θ)=sinθ
  • cos(θ)=cosθ
  • tan(θ)=tanθ
  • cot(θ)=cotθ
  • sec(θ)=secθ
  • csc(θ)=cscθ

Ідентичності співфункцій

Співфункціональні ідентичності роблять зв'язок між тригонометричними функціями та їх «co» аналогами, такими як синус та косинус. Графічно всі співфункції - це відображення і горизонтальні зсуви один одного.

  • cos(π2θ)=sinθ
  • sin(π2θ)=cosθ
  • tan(π2θ)=cotθ
  • cot(π2θ)=tanθ
  • sec(π2θ)=cscθ
  • csc(π2θ)=secθ

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як можна спростити тригонометричний вираз:
[sin(π2θ)sin(θ)]1

Його можна спростити, щоб бути еквівалентним негативному тангенсу, як показано нижче:

\ (
\ почати {вирівняний}
\ лівий [\ frac {\ sin\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ вправо)} {\ sin (-\ тета)}\ праворуч] ^ {-1} &=\ frac {\ sin (-\ тета)} {\ sin\ ліво (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право)}\\
&=\ гідророзриву {-\ sin\ тета} {\ cos\ тета}\\
&=-\ тан\ тета
\ кінець { вирівняні}
\)

Приклад 2

Якщоsinθ=0.87, знайтиcos(θπ2)

Хоча можна використовувати калькулятор для пошукуθ, використання ідентичності теж працює дуже добре.

Спочатку слід врахувати негатив з аргументу. Далі слід зазначити, що косинус парний і застосувати непарну ідентичність, щоб відкинути негатив в аргументі. Нарешті визнати ідентичність співфункції.

\ (
\ cos\ лівий (\ тета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч) =\ cos\ лівий (-\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право)\ праворуч) =\ cos\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право) =\ sin\ theta = 0.87\)

Приклад 3

Якщоcos(θπ2)=0.68 тоді визначтеcsc(θ)

Вам потрібно показати, щоcos(θπ2)=cos(π2θ)

\ (
\ почати {вирівняний}
0.68 &=\ cos\ ліворуч (\ тета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)\\
&=\ cos\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ праворуч)\\
&=\ sin (\ тета)
\ кінець {вирівняний}
\)

Потім,csc(θ)=cscθ

\ (
\ begin {масив} {l}
=-\ frac {1} {\ sin\ тета}\\
=- (0.68) ^ {-1}\
\ приблизно 1.47
\ end {масив}
\)

Приклад 4

Використовуйте посвідчення, щоб довести наступне:cot(β)cot(π2β)sin(β)=cos(βπ2).

Роблячи тригонометричні докази, життєво важливо, щоб ви починали з одного боку і працювали лише з цієї сторони, поки не виведете те, що знаходиться на іншій стороні. Іноді може бути корисно працювати з обох сторін і знайти, де зустрічаються обидві сторони, але ця робота не вважається доказом. Вам доведеться переписати свої кроки, щоб вони слідували лише з одного боку. В цьому випадку працюйте з лівою стороною і продовжуйте переписувати її до тих пір, поки у вас не будеcos(βπ2)

\ (
\ почати {вирівняний}
\ кот (-\ бета)\ кот\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ бета\ вправо)\ sin (-\ бета) &=-\ кот\ бета\ тан\ бета\ cdot-\
sin\ бета\\ sin\ beta\
\\ sin\ left (\
cdot-\ sin\ frac {\ pi} {2} -\ бета\ право)\\
&=\ cos\ ліворуч (-\ ліворуч (\ бета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)\\ праворуч)\\
&=\ cos\ ліворуч (\ бета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад 5

Доведіть наступну тригонометричну ідентичність, працюючи тільки з однією стороною.

cosxsinxtanxcotxsecxcscx=1

\ (
\ почати {вирівняний}
\ cos x\ sin х\ тан х\ кот х\ сек х\ csc x &=\ cos x\ sin x\ tan x\ cdot\ frac {1} {\ tan x}\ cdot\ frac {1}\ cdot\ frac {1} {\ sin x}\
&=1\ кінець {вирівняний}\ cdot
\ frac {1}

Рецензія

1. Доведіть ідентичність частки для котангенса, використовуючи синус і косинус.

2. Поясніть, чомуcos(π2θ)=sinθ використовують графіки та перетворення.

3. Поясніть, чомуsecθ=1cosθ

4. Доведіть, щоtanθcotθ=1.

5. Доведіть, щоsinθcscθ=1.

6. Доведіть, щоsinθsecθ=tanθ

7. Доведіть, щоcosθcscθ=cotθ

8. Якщоsinθ=0.81, щоsin(θ)?

9. Якщоcosθ=0.5, що такеcos(θ)?

10. Якщоcosθ=0.25, що такеsec(θ)?

11. Якщоcscθ=0.7, що такеsin(θ)?

12. Як ви можете визначити з графіка, якщо функція парна або непарна?

13. Довестиtanxsecxcscxcotx=tanx

14. Доведітьsin2xsecxtanxcscx=1.

15. Довестиcosxtanx=sinx