6.1: Основні тригонометричні ідентичності

Основні тригонометричні ідентичності - це ті, які можна логічно вивести з визначень та графіків шести тригонометричних функцій. Раніше деякі з цих ідентичностей використовувалися випадково, але тепер вони будуть формалізовані та додані до набору інструментів тригонометричних ідентичностей.

Як ви можете використовувати тригонометричні ідентичності для спрощення наступного виразу?

\(\left[\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\sin (-\theta)}\right]^{-1}\)

Тригонометричні тотожності

Ідентичність - це математичне речення, що включає символ «=», що завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.

Взаємні ідентичності

Відповідні ідентичності стосуються зв'язків між тригонометричними функціями, такими як синус та косеканс. Синус протилежний гіпотенузі, а косеканта - гіпотенуза над протилежною. Ця логіка створює наступні шість ідентичностей.

• \(\sin \theta=\frac{1}{\csc \theta}\)
• \(\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}\)
• \(\tan \theta=\frac{1}{\cot \theta}\)
• \(\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\)
• \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\)
• \(\csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}\)

Тотожності коефіцієнтів

Коефіцієнтні тотожності випливають з визначення синуса, косинуса і тангенса.

• \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
• \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

Точні/парні ідентичності

Непарно-парні тотожності випливають з того, що тільки косинус і його взаємний секанс парні, а решта тригонометричних функцій непарні.

• \(\sin (-\theta)=-\sin \theta\)
• \(\cos (-\theta)=\cos \theta\)
• \(\tan (-\theta)=-\tan \theta\)
• \(\cot (-\theta)=-\cot \theta\)
• \(\sec (-\theta)=\sec \theta\)
• \(\csc (-\theta)=-\csc \theta\)

Ідентичності співфункцій

Співфункціональні ідентичності роблять зв'язок між тригонометричними функціями та їх «co» аналогами, такими як синус та косинус. Графічно всі співфункції - це відображення і горизонтальні зсуви один одного.

• \(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\)
• \(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\)
• \(\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot \theta\)
• \(\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\tan \theta\)
• \(\sec \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\csc \theta\)
• \(\csc \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sec \theta\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як можна спростити тригонометричний вираз:
\(\left[\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\sin (-\theta)}\right]^{-1}\)

Його можна спростити, щоб бути еквівалентним негативному тангенсу, як показано нижче:

\ (
\ почати {вирівняний}
\ лівий [\ frac {\ sin\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ вправо)} {\ sin (-\ тета)}\ праворуч] ^ {-1} &=\ frac {\ sin (-\ тета)} {\ sin\ ліво (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право)}\\
&=\ гідророзриву {-\ sin\ тета} {\ cos\ тета}\\
&=-\ тан\ тета
\ кінець { вирівняні}
\)

Приклад 2

Якщо\(\sin \theta=0.87,\) знайти\(\cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)

Хоча можна використовувати калькулятор для пошуку\(\theta\), використання ідентичності теж працює дуже добре.

Спочатку слід врахувати негатив з аргументу. Далі слід зазначити, що косинус парний і застосувати непарну ідентичність, щоб відкинути негатив в аргументі. Нарешті визнати ідентичність співфункції.

\ (
\ cos\ лівий (\ тета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч) =\ cos\ лівий (-\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право)\ праворуч) =\ cos\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право) =\ sin\ theta = 0.87\)

Приклад 3

Якщо\(\cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=0.68\) тоді визначте\(\csc (-\theta)\)

Вам потрібно показати, що\(\cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\)

\ (
\ почати {вирівняний}
0.68 &=\ cos\ ліворуч (\ тета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)\\
&=\ cos\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ праворуч)\\
&=\ sin (\ тета)
\ кінець {вирівняний}
\)

Потім,\(\csc (-\theta)=-\csc \theta\)

\ (
\ begin {масив} {l}
=-\ frac {1} {\ sin\ тета}\\
=- (0.68) ^ {-1}\
\ приблизно 1.47
\ end {масив}
\)

Приклад 4

Використовуйте посвідчення, щоб довести наступне:\(\cot (-\beta) \cot \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) \sin (-\beta)=\cos \left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\).

Роблячи тригонометричні докази, життєво важливо, щоб ви починали з одного боку і працювали лише з цієї сторони, поки не виведете те, що знаходиться на іншій стороні. Іноді може бути корисно працювати з обох сторін і знайти, де зустрічаються обидві сторони, але ця робота не вважається доказом. Вам доведеться переписати свої кроки, щоб вони слідували лише з одного боку. В цьому випадку працюйте з лівою стороною і продовжуйте переписувати її до тих пір, поки у вас не буде\(\cos \left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\)

\ (
\ почати {вирівняний}
\ кот (-\ бета)\ кот\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ бета\ вправо)\ sin (-\ бета) &=-\ кот\ бета\ тан\ бета\ cdot-\
sin\ бета\\ sin\ beta\
\\ sin\ left (\
cdot-\ sin\ frac {\ pi} {2} -\ бета\ право)\\
&=\ cos\ ліворуч (-\ ліворуч (\ бета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)\\ праворуч)\\
&=\ cos\ ліворуч (\ бета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад 5

Доведіть наступну тригонометричну ідентичність, працюючи тільки з однією стороною.

\(\cos x \sin x \tan x \cot x \sec x \csc x=1\)

\ (
\ почати {вирівняний}
\ cos x\ sin х\ тан х\ кот х\ сек х\ csc x &=\ cos x\ sin x\ tan x\ cdot\ frac {1} {\ tan x}\ cdot\ frac {1}\ cdot\ frac {1} {\ sin x}\
&=1\ кінець {вирівняний}\ cdot
\ frac {1}

Рецензія

1. Доведіть ідентичність частки для котангенса, використовуючи синус і косинус.

2. Поясніть, чому\(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\) використовують графіки та перетворення.

3. Поясніть, чому\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\)

4. Доведіть, що\(\tan \theta \cdot \cot \theta=1\).

5. Доведіть, що\(\sin \theta \cdot \csc \theta=1\).

6. Доведіть, що\(\sin \theta \cdot \sec \theta=\tan \theta\)

7. Доведіть, що\(\cos \theta \cdot \csc \theta=\cot \theta\)

8. Якщо\(\sin \theta=0.81,\) що\(\sin (-\theta) ?\)

9. Якщо\(\cos \theta=0.5,\) що таке\(\cos (-\theta) ?\)

10. Якщо\(\cos \theta=0.25,\) що таке\(\sec (-\theta) ?\)

11. Якщо\(\csc \theta=0.7,\) що таке\(\sin (-\theta) ?\)

12. Як ви можете визначити з графіка, якщо функція парна або непарна?

13. Довести\(\frac{\tan x \cdot \sec x}{\csc x} \cdot \cot x=\tan x\)

14. Доведіть\(\frac{\sin ^{2} x \cdot \sec x}{\tan x} \cdot \csc x=1\).

15. Довести\(\cos x \cdot \tan x=\sin x\)