6.1: Основні тригонометричні ідентичності
Основні тригонометричні ідентичності - це ті, які можна логічно вивести з визначень та графіків шести тригонометричних функцій. Раніше деякі з цих ідентичностей використовувалися випадково, але тепер вони будуть формалізовані та додані до набору інструментів тригонометричних ідентичностей.
Як ви можете використовувати тригонометричні ідентичності для спрощення наступного виразу?
[sin(π2−θ)sin(−θ)]−1
Тригонометричні тотожності
Ідентичність - це математичне речення, що включає символ «=», що завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.
Взаємні ідентичності
Відповідні ідентичності стосуються зв'язків між тригонометричними функціями, такими як синус та косеканс. Синус протилежний гіпотенузі, а косеканта - гіпотенуза над протилежною. Ця логіка створює наступні шість ідентичностей.
- sinθ=1cscθ
- cosθ=1secθ
- tanθ=1cotθ
- cotθ=1tanθ
- secθ=1cosθ
- cscθ=1sinθ
Тотожності коефіцієнтів
Коефіцієнтні тотожності випливають з визначення синуса, косинуса і тангенса.
- tanθ=sinθcosθ
- cotθ=cosθsinθ
Точні/парні ідентичності
Непарно-парні тотожності випливають з того, що тільки косинус і його взаємний секанс парні, а решта тригонометричних функцій непарні.
- sin(−θ)=−sinθ
- cos(−θ)=cosθ
- tan(−θ)=−tanθ
- cot(−θ)=−cotθ
- sec(−θ)=secθ
- csc(−θ)=−cscθ
Ідентичності співфункцій
Співфункціональні ідентичності роблять зв'язок між тригонометричними функціями та їх «co» аналогами, такими як синус та косинус. Графічно всі співфункції - це відображення і горизонтальні зсуви один одного.
- cos(π2−θ)=sinθ
- sin(π2−θ)=cosθ
- tan(π2−θ)=cotθ
- cot(π2−θ)=tanθ
- sec(π2−θ)=cscθ
- csc(π2−θ)=secθ
Приклади
Раніше вас запитали, як можна спростити тригонометричний вираз:
[sin(π2−θ)sin(−θ)]−1
Його можна спростити, щоб бути еквівалентним негативному тангенсу, як показано нижче:
\ (
\ почати {вирівняний}
\ лівий [\ frac {\ sin\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ вправо)} {\ sin (-\ тета)}\ праворуч] ^ {-1} &=\ frac {\ sin (-\ тета)} {\ sin\ ліво (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право)}\\
&=\ гідророзриву {-\ sin\ тета} {\ cos\ тета}\\
&=-\ тан\ тета
\ кінець { вирівняні}
\)
Якщоsinθ=0.87, знайтиcos(θ−π2)
Хоча можна використовувати калькулятор для пошукуθ, використання ідентичності теж працює дуже добре.
Спочатку слід врахувати негатив з аргументу. Далі слід зазначити, що косинус парний і застосувати непарну ідентичність, щоб відкинути негатив в аргументі. Нарешті визнати ідентичність співфункції.
\ (
\ cos\ лівий (\ тета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч) =\ cos\ лівий (-\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право)\ праворуч) =\ cos\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ право) =\ sin\ theta = 0.87\)
Якщоcos(θ−π2)=0.68 тоді визначтеcsc(−θ)
Вам потрібно показати, щоcos(θ−π2)=cos(π2−θ)
\ (
\ почати {вирівняний}
0.68 &=\ cos\ ліворуч (\ тета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)\\
&=\ cos\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2} -\ тета\ праворуч)\\
&=\ sin (\ тета)
\ кінець {вирівняний}
\)
Потім,csc(−θ)=−cscθ
\ (
\ begin {масив} {l}
=-\ frac {1} {\ sin\ тета}\\
=- (0.68) ^ {-1}\
\ приблизно 1.47
\ end {масив}
\)
Використовуйте посвідчення, щоб довести наступне:cot(−β)cot(π2−β)sin(−β)=cos(β−π2).
Роблячи тригонометричні докази, життєво важливо, щоб ви починали з одного боку і працювали лише з цієї сторони, поки не виведете те, що знаходиться на іншій стороні. Іноді може бути корисно працювати з обох сторін і знайти, де зустрічаються обидві сторони, але ця робота не вважається доказом. Вам доведеться переписати свої кроки, щоб вони слідували лише з одного боку. В цьому випадку працюйте з лівою стороною і продовжуйте переписувати її до тих пір, поки у вас не будеcos(β−π2)
\ (
\ почати {вирівняний}
\ кот (-\ бета)\ кот\ лівий (\ frac {\ pi} {2} -\ бета\ вправо)\ sin (-\ бета) &=-\ кот\ бета\ тан\ бета\ cdot-\
sin\ бета\\ sin\ beta\
\\ sin\ left (\
cdot-\ sin\ frac {\ pi} {2} -\ бета\ право)\\
&=\ cos\ ліворуч (-\ ліворуч (\ бета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)\\ праворуч)\\
&=\ cos\ ліворуч (\ бета-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}
\)
Доведіть наступну тригонометричну ідентичність, працюючи тільки з однією стороною.
cosxsinxtanxcotxsecxcscx=1
\ (
\ почати {вирівняний}
\ cos x\ sin х\ тан х\ кот х\ сек х\ csc x &=\ cos x\ sin x\ tan x\ cdot\ frac {1} {\ tan x}\ cdot\ frac {1}\ cdot\ frac {1} {\ sin x}\
&=1\ кінець {вирівняний}\ cdot
\ frac {1}
Рецензія
1. Доведіть ідентичність частки для котангенса, використовуючи синус і косинус.
2. Поясніть, чомуcos(π2−θ)=sinθ використовують графіки та перетворення.
3. Поясніть, чомуsecθ=1cosθ
4. Доведіть, щоtanθ⋅cotθ=1.
5. Доведіть, щоsinθ⋅cscθ=1.
6. Доведіть, щоsinθ⋅secθ=tanθ
7. Доведіть, щоcosθ⋅cscθ=cotθ
8. Якщоsinθ=0.81, щоsin(−θ)?
9. Якщоcosθ=0.5, що такеcos(−θ)?
10. Якщоcosθ=0.25, що такеsec(−θ)?
11. Якщоcscθ=0.7, що такеsin(−θ)?
12. Як ви можете визначити з графіка, якщо функція парна або непарна?
13. Довестиtanx⋅secxcscx⋅cotx=tanx
14. Доведітьsin2x⋅secxtanx⋅cscx=1.
15. Довестиcosx⋅tanx=sinx