6.3: Сума та різниця ідентичності

З вашим знанням спеціальних кутів, таких як синус$30^{\circ}$ і косинус і$45^{\circ}$, ви можете знайти синус і косинус$30^{\circ}$, різниця і$75^{\circ}$, і, сума$45^{\circ}$ і$30^{\circ}$.$15^{\circ}$$45^{\circ}$ Використовуючи те, що
ви знаєте про одиничне коло та ідентичності суми та різниці, як ви визначаєте$\sin 15^{\circ}$ і$\sin 75^{\circ}$?

Сума та різниця тотожності

Спочатку подивіться на виведення ідентичності різниці косинусів:

$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$

Почніть з малювання двох довільних кутів$\alpha$ і$\beta$. На зображенні вище$\alpha$ - кут червоного кольору і$\beta$ кут синього кольору. Різниця$\alpha-\beta$ відзначається в чорному як$\theta$. Причина, чому є дві картинки, полягає в тому, що зображення праворуч має однаковий кут$\theta$ у повернутому положенні. З цим буде корисно працювати, оскільки довжина$\overline{A B}$ буде такою ж, як довжина$\overline{C D}$.

$\begin{aligned} \overline{A B} &=\overline{C D} \\ \sqrt{(\cos \alpha-\cos \beta)^{2}+(\sin \alpha-\sin \beta)^{2}} &=\sqrt{(\cos \theta-1)^{2}+(\sin \theta-0)^{2}} \\(\cos \alpha-\cos \beta)^{2}+(\sin \alpha-\sin \beta)^{2} &=(\cos \theta-1)^{2}+(\sin \theta-0)^{2} \end{aligned}$

$(\cos \alpha)^{2}-2 \cos \alpha \cos \beta+(\cos \beta)^{2}+(\sin \alpha)^{2}-2 \sin \alpha \sin \beta+(\sin \beta)^{2}=(\cos \theta-1)^{2}+(\sin \theta)^{2}$

$\begin{aligned} 2-2 \cos \alpha \cos \beta-2 \sin \alpha \sin \beta &=(\cos \theta)^{2}-2 \cos \theta+1+(\sin \theta)^{2} \\ 2-2 \cos \alpha \cos \beta-2 \sin \alpha \sin \beta &=1-2 \cos \theta+1 \\-2 \cos \alpha \cos \beta-2 \sin \alpha \sin \beta &=-2 \cos \theta \\ \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta &=\cos \theta \\ &=\cos (\alpha-\beta) \end{aligned}$

Ви можете використовувати цю особистість, щоб підтвердити косинус ідентичності суми. Спочатку почніть з косинуса різниці і зробіть підміну. Тоді використовуйте непарну ідентичність.

$\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=\cos (\alpha-\beta)$

Нехай$\gamma=-\beta$

$\cos \alpha \cos (-\gamma)+\sin \alpha \sin (-\gamma)=\cos (\alpha+\gamma)$
$\cos \alpha \cos \gamma-\sin \alpha \sin \gamma=\cos (\alpha+\gamma)$

Докази для синуса та дотичної залишені до відео та прикладів. Вони перераховані тут для довідки. Котангенс, секанс і косеканс виключені, оскільки ви можете використовувати взаємні ідентичності, щоб отримати їх, коли у вас синус, косинус і тангенс.

Резюме

• $\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos (\alpha \pm \beta)}=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

Порядок знаків плюс або мінус важливий, оскільки для косинуса суми негативний знак використовується на іншій стороні ідентичності. Це протилежність синусу суми, де позитивний знак використовується на іншій стороні ідентичності.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили оцінити$\sin 15^{\circ}$ і$\sin 75^{\circ}$ точно без калькулятора. Для цього потрібно використовувати синус різниці і синус суми.
\ (
\ почати {масив} {l}
\ sin\ ліворуч (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ праворуч) =\ sin 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ} -\ cos 45^ {\ circ}\ sin 30^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ frac {sqrt {3}} {2} -\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ frac {1} {2} =\ frac {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}} {4}\
\ sin\ left (45^ {\ коло} +30^ {\ коло}\ право) =\ sin 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ} +\ cos 45^ {\ circ}\ sin 30^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ frac {\ sqrt {2}}} {2}\ cdot\ frac {1} {2} =\ frac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ кінець {масив}
\)

Приклад 2

Знайти точне значення$\tan 15^{\circ}$ без використання калькулятора.

$\tan 15^{\circ}=\tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

Остаточне рішення не матиме радикала в знаменнику. В цьому випадку множення наскрізного на сполучений знаменника дозволить усунути радикал.

$=\frac{(3-\sqrt{3}) \cdot(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3}) \cdot(3-\sqrt{3})}$
$=\frac{(3-\sqrt{3})^{2}}{9-3}$
$=\frac{(3-\sqrt{3})^{2}}{6}$

Приклад 3

Оцініть вираз точно без використання калькулятора.

$\cos 50^{\circ} \cos 5^{\circ}+\sin 50^{\circ} \sin 5^{\circ}$

Як тільки ви знаєте загальну форму ідентичності суми та різниці, ви визнаєте це як косинус різниці.

$\cos 50^{\circ} \cos 5^{\circ}+\sin 50^{\circ} \sin 5^{\circ}=\cos \left(50^{\circ}-5^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Приклад 4

Використовуйте ідентичність суми або різниці, щоб знайти точне значення$\cot \left(\frac{5 \pi}{12}\right)$.

Почніть з визначення котангенса як оберненого тангенса.

$\begin{aligned} \cot \left(\frac{5 \pi}{12}\right) &=\frac{1}{\tan \left(\frac{5 \pi}{12}\right)} \\ &=\frac{1}{\tan \left(\frac{9 \pi}{12}-\frac{4 \pi}{12}\right)} \\ &=\frac{1}{\tan \left(135^{\circ}-60^{\circ}\right)} \\ &=\frac{1+\tan 135^{\circ} \tan 60^{\circ}}{\tan 135^{\circ}-\tan 60^{\circ}} \\ &=\frac{1+(-1) \cdot \sqrt{3}}{(-1)-\sqrt{3}} \\ &=\frac{(1-\sqrt{3})}{(-1-\sqrt{3})} \\ &=\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{(-1+\sqrt{3}) \cdot(1-\sqrt{3})} \\ &=\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{-(1-3)} \\ &=\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{2} \end{aligned}$

Приклад 5

Доведіть наступну особу:

$\frac{\sin (x-y)}{\sin (x+y)}=\frac{\tan x-\tan y}{\tan x+\tan y}$

Ось кроки:

$\begin{aligned} \frac{\sin (x-y)}{\sin (x+y)} &=\frac{\tan x-\tan y}{\tan x+\tan y} \\ \frac{\sin x \cos y-\cos x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \sin y} &=\\ \frac{\sin x \cos y-\cos x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \sin y} \cdot \frac{\left(\frac{1}{\cos x \cdot \cos y}\right)}{\left(\frac{1}{\cos x \cdot \cos y}\right)} &=\\ \frac{\left(\frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos y}\right)-\left(\frac{\cos x \sin y}{\cos x \cdot \cos y}\right)}{\left(\frac{\sin x \cos x}{\cos x \cdot \cos y}\right)+\left(\frac{\cos x}{\cos x \cdot \cos y}\right)} &=\\ \frac{\tan x-\tan y}{\tan x+\tan y} &=\end{aligned}$

Рецензія

Знайдіть точне значення для кожного виразу за допомогою ідентичності суми або різниці.

1. $\cos 75^{\circ}$

2. $\cos 105^{\circ}$

3. $\cos 165^{\circ}$

4. $\sin 105^{\circ}$

5. $\sec 105^{\circ}$

6. $\tan 75^{\circ}$

7. Доведіть синус ідентичності суми.

8. Доведіть тангенс ідентичності суми.

9. Доведіть тангенс ідентичності різниці.

10. Оцініть без калькулятора:$\cos 50^{\circ} \cos 10^{\circ}-\sin 50^{\circ} \sin 10^{\circ}$.

11. Оцініть без калькулятора:$\sin 35^{\circ} \cos 5^{\circ}-\cos 35^{\circ} \sin 5^{\circ}$.

12. Оцініть без калькулятора:$\sin 55^{\circ} \cos 5^{\circ}+\cos 55^{\circ} \sin 5^{\circ}$.

13. Якщо$\cos \alpha \cos \beta=\sin \alpha \sin \beta,$ тоді що$\cos (\alpha+\beta)$ дорівнює?

14. Доведіть, що$\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}$

15. Доведіть, що$\sin (x+\pi)=-\sin x$.