5.8: Графіки обернених тригонометричних функцій

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5.7: Графіки інших тригонометричних функцій
- 6: Аналітична тригонометрія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Для того, щоб зворотні функції були функціями, вихідна функція повинна пройти тест горизонтальної лінії. Хоча жодна з тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви можете обмежити їх домени, щоб вони могли пройти. Тоді зворотні виробляються так само, як і при звичайних функціях. Після того, як у вас є основні зворотні функції, застосовуються звичайні правила перетворення.

Чому це $\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right) \neq 370^{\circ}$ ? Чи не дуги і гріх просто скасовують?

Графіки обернених тригонометричних функцій

Оскільки жодна з шести тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви повинні обмежити їх області, перш ніж знаходити зворотні ці функції. Це так само, як і $y=\sqrt{x}$ зворотний спосіб, $y=x^{2}$ коли ви обмежуєте домен $x \geq 0$

Розглянемо синусоїдальний графік:

Як правило, обмеження для домену - це або інтервал, $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ або $[0, \pi]$ для того, щоб все було просто. У цьому випадку синус обмежується $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ , як показано вище. Щоб знайти зворотне, відобразіть жирну частину поперек лінії $y=x$ . Блакитна крива нижче показана $f(x)=\sin ^{-1} x$ .

Результатом цієї інверсії є те, що arcsine буде тільки коли-небудь виробляти кути між $-\frac{\pi}{2}$ і $\frac{\pi}{2}$ .

Блакитна крива нижче показує $f(x)=\cos ^{-1} x ?$

Частина косинуса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії, є інтервалом $[0, \pi]$ . Щоб знайти зворотне, ця частина відбивається поперек лінії $y=x$ .

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чому синус і арцин не завжди просто скасовувати. оскільки arcsine виробляє лише кути між $-\frac{\pi}{2}$ і $\frac{\pi}{2}$ або $-90^{\circ}$ до $+90^{\circ}$ результату є, $10^{\circ}$ що $\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right)$ є співтермінальним до $370^{\circ}$ .

Приклад 2

Графік функції $f(x)=2 \cos ^{-1}(x-1)$

Так як $f(x)=\cos ^{-1} x$ була побудована графіка раніше, то тепер вам просто потрібно зрушити її вправо на одну одиницю і розтягнути по вертикалі в 2 рази. Він перетинав $x$ вісь на 1 раніше і тепер вона перетинається на 2. Він досяг висоти $\pi$ раніше і тепер досягне висоти $2 \pi$ .

Приклад 3

Оцініть наступний вираз з калькулятором і без нього, використовуючи правильні трикутники і ваші знання зворотних тригонометричних функцій.

$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)$

Для того, щоб мати можливість ефективно обчислити це, найкраще написати вираз явно лише з точки зору функцій, які має ваш калькулятор. Майте на увазі, що деякі калькулятори мають $\sin ^{-1} x$ і $(\sin x)^{-1}$

$\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)$
$\cot (\theta)=\frac{1}{\tan \theta}$

$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=\frac{1}{\tan \left(\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\right)}=-\frac{12}{5}$

Почніть зі своїх знань, які $\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)$ описують кут у третьому або четвертому квадранті, оскільки це два квадранти, де косеканс є негативним. оскільки $\csc ^{-1} \theta$ має діапазон $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ , він виробляє лише кути в квадранті I або квадранті IV. Потім цей трикутник повинен знаходитися в четвертому квадранті. Все, що вам потрібно зробити, це намалювати трикутник і визначити співвідношення котангенсів.

Котангенс сусідить над протилежним.

$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=-\frac{12}{5}$

Приклад 4

Що таке графік $y=\tan ^{-1} x ?$

Графік частини дотичної, яка відповідає тесту горизонтальної лінії і відображає поперек лінії $y=x$ . Зверніть увагу, що графік арктана синім кольором.