Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.8: Графіки обернених тригонометричних функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54677

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для того, щоб зворотні функції були функціями, вихідна функція повинна пройти тест горизонтальної лінії. Хоча жодна з тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви можете обмежити їх домени, щоб вони могли пройти. Тоді зворотні виробляються так само, як і при звичайних функціях. Після того, як у вас є основні зворотні функції, застосовуються звичайні правила перетворення.

    Чому це\(\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right) \neq 370^{\circ}\)? Чи не дуги і гріх просто скасовують?

    Графіки обернених тригонометричних функцій

    Оскільки жодна з шести тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви повинні обмежити їх області, перш ніж знаходити зворотні ці функції. Це так само, як і\(y=\sqrt{x}\) зворотний спосіб,\(y=x^{2}\) коли ви обмежуєте домен\(x \geq 0\)

    Розглянемо синусоїдальний графік:

    Як правило, обмеження для домену - це або інтервал,\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) або\([0, \pi]\) для того, щоб все було просто. У цьому випадку синус обмежується\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],\), як показано вище. Щоб знайти зворотне, відобразіть жирну частину поперек лінії\(y=x\). Блакитна крива нижче показана\(f(x)=\sin ^{-1} x\).

    Результатом цієї інверсії є те, що arcsine буде тільки коли-небудь виробляти кути між\(-\frac{\pi}{2}\) і\(\frac{\pi}{2}\).

    Блакитна крива нижче показує\(f(x)=\cos ^{-1} x ?\)

    Частина косинуса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії, є інтервалом\([0, \pi]\). Щоб знайти зворотне, ця частина відбивається поперек лінії\(y=x\).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, чому синус і арцин не завжди просто скасовувати. оскільки arcsine виробляє лише кути між\(-\frac{\pi}{2}\) і\(\frac{\pi}{2}\) або\(-90^{\circ}\) до\(+90^{\circ}\) результату є,\(10^{\circ}\) що\(\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right)\) є співтермінальним до\(370^{\circ}\).

    Приклад 2

    Графік функції\(f(x)=2 \cos ^{-1}(x-1)\)

    Так як\(f(x)=\cos ^{-1} x\) була побудована графіка раніше, то тепер вам просто потрібно зрушити її вправо на одну одиницю і розтягнути по вертикалі в 2 рази. Він перетинав\(x\) вісь на 1 раніше і тепер вона перетинається на 2. Він досяг висоти\(\pi\) раніше і тепер досягне висоти\(2 \pi\).

    Приклад 3

    Оцініть наступний вираз з калькулятором і без нього, використовуючи правильні трикутники і ваші знання зворотних тригонометричних функцій.

    \(\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)\)

    Для того, щоб мати можливість ефективно обчислити це, найкраще написати вираз явно лише з точки зору функцій, які має ваш калькулятор. Майте на увазі, що деякі калькулятори мають\(\sin ^{-1} x\) і\((\sin x)^{-1}\)

    • \(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\)
    • \(\cot (\theta)=\frac{1}{\tan \theta}\)

    \(\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=\frac{1}{\tan \left(\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\right)}=-\frac{12}{5}\)

    Почніть зі своїх знань, які\(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\) описують кут у третьому або четвертому квадранті, оскільки це два квадранти, де косеканс є негативним. оскільки\(\csc ^{-1} \theta\) має діапазон\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\), він виробляє лише кути в квадранті I або квадранті IV. Потім цей трикутник повинен знаходитися в четвертому квадранті. Все, що вам потрібно зробити, це намалювати трикутник і визначити співвідношення котангенсів.

    Котангенс сусідить над протилежним.

    \(\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=-\frac{12}{5}\)

    Приклад 4

    Що таке графік\(y=\tan ^{-1} x ?\)

    Графік частини дотичної, яка відповідає тесту горизонтальної лінії і відображає поперек лінії\(y=x\). Зверніть увагу, що графік арктана синім кольором.

    Приклад 5

    Що таке графік\(y=\csc ^{-1} x\)

    Графік частини косеканса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії і відображає поперек лінії\(y=x\).

    Зверніть увагу, що\(f(x)=\csc ^{-1} x\) знаходиться в синьому кольорі.

    Рецензія

    1. Графік\(f(x)=\cot ^{-1} x\).

    2. Графік\(g(x)=\sec ^{-1} x\).

    Назвіть кожен з наступних графіків.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    Графік кожної з наступних функцій, використовуючи ваші знання про перетворення функцій.

    8. \(h(x)=3 \sin ^{-1}(x+1)\)

    9. \(k(x)=2 \sin ^{-1}(x)+\frac{\pi}{2}\)

    10. \(m(x)=-\cos ^{-1}(x-2)\)

    11. \(j(x)=\cot ^{-1}(x)+\pi\)

    12. \(p(x)=-2 \tan ^{-1}(x-1)\)

    13. \(q(x)=\csc ^{-1}(x-2)\)

    14. \(r(x)=-\sec ^{-1}(x)+4\)

    15. \(t(x)=\csc ^{-1}(x+1)-\frac{3 \pi}{2}\)

    16. \(v(x)=2 \sec ^{-1}(x+2)+\frac{\pi}{2}\)

    17. \(w(x)=-\cot ^{-1}(x)-\frac{\pi}{2}\)

    Оцініть кожен вираз.

    18. \(\sec \left(\tan ^{-1}\left[\frac{3}{4}\right]\right)\)

    19. \(\cot \left(\csc ^{-1}\left[\frac{13}{12}\right]\right)\)

    20. \(\csc \left(\tan ^{-1}\left[\frac{4}{3}\right]\right)\)