5.8: Графіки обернених тригонометричних функцій

Для того, щоб зворотні функції були функціями, вихідна функція повинна пройти тест горизонтальної лінії. Хоча жодна з тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви можете обмежити їх домени, щоб вони могли пройти. Тоді зворотні виробляються так само, як і при звичайних функціях. Після того, як у вас є основні зворотні функції, застосовуються звичайні правила перетворення.

Чому це$\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right) \neq 370^{\circ}$? Чи не дуги і гріх просто скасовують?

Графіки обернених тригонометричних функцій

Оскільки жодна з шести тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви повинні обмежити їх області, перш ніж знаходити зворотні ці функції. Це так само, як і$y=\sqrt{x}$ зворотний спосіб,$y=x^{2}$ коли ви обмежуєте домен$x \geq 0$

Розглянемо синусоїдальний графік:

Як правило, обмеження для домену - це або інтервал,$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ або$[0, \pi]$ для того, щоб все було просто. У цьому випадку синус обмежується$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$, як показано вище. Щоб знайти зворотне, відобразіть жирну частину поперек лінії$y=x$. Блакитна крива нижче показана$f(x)=\sin ^{-1} x$.

Результатом цієї інверсії є те, що arcsine буде тільки коли-небудь виробляти кути між$-\frac{\pi}{2}$ і$\frac{\pi}{2}$.

Блакитна крива нижче показує$f(x)=\cos ^{-1} x ?$

Частина косинуса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії, є інтервалом$[0, \pi]$. Щоб знайти зворотне, ця частина відбивається поперек лінії$y=x$.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чому синус і арцин не завжди просто скасовувати. оскільки arcsine виробляє лише кути між$-\frac{\pi}{2}$ і$\frac{\pi}{2}$ або$-90^{\circ}$ до$+90^{\circ}$ результату є,$10^{\circ}$ що$\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right)$ є співтермінальним до$370^{\circ}$.

Приклад 2

Графік функції$f(x)=2 \cos ^{-1}(x-1)$

Так як$f(x)=\cos ^{-1} x$ була побудована графіка раніше, то тепер вам просто потрібно зрушити її вправо на одну одиницю і розтягнути по вертикалі в 2 рази. Він перетинав$x$ вісь на 1 раніше і тепер вона перетинається на 2. Він досяг висоти$\pi$ раніше і тепер досягне висоти$2 \pi$.

Приклад 3

Оцініть наступний вираз з калькулятором і без нього, використовуючи правильні трикутники і ваші знання зворотних тригонометричних функцій.

$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)$

Для того, щоб мати можливість ефективно обчислити це, найкраще написати вираз явно лише з точки зору функцій, які має ваш калькулятор. Майте на увазі, що деякі калькулятори мають$\sin ^{-1} x$ і$(\sin x)^{-1}$

• $\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)$
• $\cot (\theta)=\frac{1}{\tan \theta}$

$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=\frac{1}{\tan \left(\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\right)}=-\frac{12}{5}$

Почніть зі своїх знань, які$\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)$ описують кут у третьому або четвертому квадранті, оскільки це два квадранти, де косеканс є негативним. оскільки$\csc ^{-1} \theta$ має діапазон$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$, він виробляє лише кути в квадранті I або квадранті IV. Потім цей трикутник повинен знаходитися в четвертому квадранті. Все, що вам потрібно зробити, це намалювати трикутник і визначити співвідношення котангенсів.

Котангенс сусідить над протилежним.

$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=-\frac{12}{5}$

Приклад 4

Що таке графік$y=\tan ^{-1} x ?$

Графік частини дотичної, яка відповідає тесту горизонтальної лінії і відображає поперек лінії$y=x$. Зверніть увагу, що графік арктана синім кольором.

Приклад 5

Що таке графік$y=\csc ^{-1} x$

Графік частини косеканса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії і відображає поперек лінії$y=x$.

Зверніть увагу, що$f(x)=\csc ^{-1} x$ знаходиться в синьому кольорі.

Рецензія

1. Графік$f(x)=\cot ^{-1} x$.

2. Графік$g(x)=\sec ^{-1} x$.

Назвіть кожен з наступних графіків.

3.

4.

5.

6.

7.

Графік кожної з наступних функцій, використовуючи ваші знання про перетворення функцій.

8. $h(x)=3 \sin ^{-1}(x+1)$

9. $k(x)=2 \sin ^{-1}(x)+\frac{\pi}{2}$

10. $m(x)=-\cos ^{-1}(x-2)$

11. $j(x)=\cot ^{-1}(x)+\pi$

12. $p(x)=-2 \tan ^{-1}(x-1)$

13. $q(x)=\csc ^{-1}(x-2)$

14. $r(x)=-\sec ^{-1}(x)+4$

15. $t(x)=\csc ^{-1}(x+1)-\frac{3 \pi}{2}$

16. $v(x)=2 \sec ^{-1}(x+2)+\frac{\pi}{2}$

17. $w(x)=-\cot ^{-1}(x)-\frac{\pi}{2}$

Оцініть кожен вираз.

18. $\sec \left(\tan ^{-1}\left[\frac{3}{4}\right]\right)$

19. $\cot \left(\csc ^{-1}\left[\frac{13}{12}\right]\right)$

20. $\csc \left(\tan ^{-1}\left[\frac{4}{3}\right]\right)$