4.8: Застосування базової тригонометрії трикутника

Вирішити, коли використовувати SOH, CAH, TOA, Закон косинусів або Закон Синеса, не завжди очевидно. Іноді буде працювати більше одного підходу, а іноді правильні обчислення все одно можуть призвести до неправильних результатів. Це тому, що правильне тлумачення все ще важливо.

Якщо ви використовуєте як Закон Косинуса, так і Закон Синеса на трикутнику зі сторонами 4, 7, 10, ви отримаєте суперечливі відповіді. Чому?

Застосування тригонометрії

Застосовуючи тригонометрію, важливо мати чіткий набір інструментів математичних методів для використання. Деякі методи можуть бути переглянутими, як той факт, що всі три кути в трикутнику сумують бути\(180^{\circ}\), інші методи можуть бути новішими, як Закон косинусів. Погляньте на всі інструменти, які є у вашому наборі інструментів для вирішення програм за допомогою тригонометрії.

Панель інструментів

• Три кути в трикутнику сумують бути\(180^{\circ}\).
• Є\(360^{\circ}\) в колі, і це може допомогти нам інтерпретувати негативні кути як позитивні кути.
• Теорема Піфагора стверджує, що для катетів\(a, b\) і гіпотенузи\(c\) в прямокутному трикутнику\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)
• Теорема нерівності трикутника стверджує, що для будь-якого трикутника сума будь-яких двох сторін повинна бути більшою за третю сторону.
• Закон косинусів:\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C\)
• Закон синусів:\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\) або\(\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}\) (Будьте обережні для неоднозначного випадку)
• SOH CAH TOA - це мнемонічний пристрій, який допоможе вам запам'ятати три оригінальні функції трига:

\(\sin \theta=\frac{o p p}{h y p} \quad \cos \theta=\frac{a d j}{h y p} \quad \tan \theta=\frac{o p p}{a d j}\)

• \(30-60-90\)правильні трикутники мають бічні співвідношення\(x, x \sqrt{3}, 2 x\)
• Прямі трикутники 45-45-90 мають бічні співвідношення\(x, x, x \sqrt{2}\)
• Піфагорійські трійки чисел надзвичайно поширені і завжди повинні бути розпізнані в задачах прямокутного трикутника. Прикладами трійок є 3,4,5 і\(5,12,13 .\)

Кілька визначень також знадобляться для вирішення додатків. Кут піднесення - це кут, під яким ви дивитеся і об'єкт над горизонтом. Кут западини - це кут, під яким ви дивитеся і об'єкт нижче горизонту. Підшипник - це те, як вимірюється напрямок в морі. Північ є\(0^{\circ},\) Схід є\(90^{\circ},\) Південь є\(180^{\circ}\) і Захід є\(270^{\circ}\).

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чому ви можете отримати суперечливі відповіді, якщо ви використовуєте як Закон Синеса, так і Закон Косинусів. Іноді при використанні Закону Синеса можна отримати відповіді, які не відповідають Закону Косинуса. Обидві відповіді можуть бути правильними обчислювально, але Закон Синеса може включати інтерпретацію, коли трикутник тупий. Закон Косинес не вимагає такого тлумачення.

По-перше, використовуйте Закон косинусів, щоб знайти\(\angle B\):

\(12^{2}=3^{2}+14^{2}-2 \cdot 3 \cdot 14 \cdot \cos B\)
\(\angle B=\cos ^{-1}\left(\frac{12^{2}-3^{2}-14^{2}}{-2 \cdot 3 \cdot 14}\right) \approx 43.43^{\circ}\)

Потім використовуйте Закон синусів, щоб знайти\(\angle C\). Використовуйте неокруглене значення,\(B\) навіть якщо буде показано округлене значення.

\(\begin{aligned} \frac{\sin 43.43^{\circ}}{12} &=\frac{\sin C}{14} \\ \frac{14 \sin 43.43^{\circ}}{12} &=\sin C \\ \angle C &=\sin ^{-1}\left(\frac{14 \sin 43.43^{\circ}}{12}\right) \approx 53.3^{\circ} \end{aligned}\)

Використовуйте Закон косинусів для подвійної перевірки\(\angle C\).

\(\begin{aligned} 14^{2} &=3^{2}+12^{2}-2 \cdot 3 \cdot 12 \cdot \cos C \\ C &=\cos ^{-1}\left(\frac{14^{2}-3^{2}-12^{2}}{-2 \cdot 3 \cdot 12}\right) \approx 126.7^{\circ} \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що останні дві відповіді не збігаються, але вони є додатковими. Це пов'язано з тим, що цей трикутник тупий, і\(\sin ^{-1}\left(\frac{o p p}{h y p}\right)\) функція обмежується лише створенням гострих кутів.

Приклад 2

Геодезичній бригаді дається робота з перевірки висоти обриву. Від точки\(A\) вони вимірюють кут піднесення до вершини скелі, який повинен бути\(\alpha=21.567^{\circ}\). Вони рухаються на 507 метрів ближче до скелі і виявляють, що кут до вершини скелі зараз\(\beta=25.683^{\circ}\). Наскільки високий скеля?

Зверніть увагу, що\(\alpha\) це просто грецька буква альфа, і в цьому випадку вона означає число\(21.567^{\circ} . \beta\) - це грецька буква бета, і це означає число\(25.683^{\circ}\).

Спочатку накидайте зображення і позначте те, що ви знаєте.

Далі, оскільки висота вимірюється під прямим кутом з землею, встановлюють два рівняння. Пам'ятайте, що\(\alpha\) і\(\beta\) є просто цифрами, а не змінними.

\(\tan \alpha=\frac{h}{507+x}\)
\(\tan \beta=\frac{h}{x}\)

Обидва ці рівняння можна вирішити для,\(h\) а потім встановити рівні один одному, щоб знайти\(x\).

\(\begin{aligned} h=\tan \alpha(507+x) &=x \tan \beta \\ 507 \tan \alpha+x \tan \alpha &=x \tan \beta \\ 507 \tan \alpha &=x \tan \beta-x \tan \alpha \\ 507 \tan \alpha &=x(\tan \beta-\tan \alpha) \\ x=\frac{507 \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} &=\frac{507 \tan 21.567^{\circ}}{\tan 25.683^{\circ}-\tan 21.567^{\circ}} \approx 2340 \text { meters} \end{aligned}\)

так як проблема просила зростання, потрібно підставити\(x\) спинку і вирішити для\(h\).
\(h=x \tan \beta=2340 \tan 25.683^{\circ} \approx 1125.31\)метрів

Приклад 3

Враховуючи трикутник з SSS або SAS, ви знаєте, що використовувати Закон косинусів. У трикутниках, де є відповідні кути і сторони на кшталт AAS або SSA, має сенс використовувати Закон синусів. А як щодо ASA?

Дано\(\Delta A B C\) з\(A=\frac{\pi}{4}\) радіанами,\(C=\frac{\pi}{6}\) радіанами і\(b=10\) в чому\(a\)?

Спочатку намалюйте малюнок.

Сума кутів у трикутнику дорівнює\(180^{\circ}\). Оскільки ця задача знаходиться в радіанах, вам потрібно або перетворити це правило в радіани, або перетворити зображення на градуси.

\ begin {масив} {л}
A=\ гідророзриву {\ pi} {4}\ cdot\ гідророзриву {180^ {\ circ}} {\ pi} =45^ {\
circ}\ C=\ frac {\ pi} {\ circ} {\ circ} {\ circ} =30^ {\ circ}
\ кінець {масив}

Відсутній кут повинен бути\(\angle B=105^{\circ}\). Тепер ви можете використовувати Закон синусів, щоб вирішити для\(a\).

\(\begin{aligned} \frac{\sin 105^{\circ}}{10} &=\frac{\sin 45^{\circ}}{a} \\ a &=\frac{10 \sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 7.32 i n \end{aligned}\)

Приклад 4

Кут западини човна на відстані від вершини маяка становить\(\frac{\pi}{10}\). Висота маяка становить 200 футів. Знайдіть відстань від підстави маяка до човна.

Коли ви малюєте малюнок, ви бачите, що заданий кут\(\frac{\pi}{10}\) знаходиться не безпосередньо всередині трикутника між маяком, човном і підставою маяка. Це доповнює потрібний вам кут.

\(\begin{aligned} \frac{\pi}{10}+\theta &=\frac{\pi}{2} \\ \theta &=\frac{2 \pi}{5} \end{aligned}\)

Тепер, коли у вас є кут, використовуйте дотичну для вирішення\(x\).

\(\begin{aligned} \tan \frac{2 \pi}{5} &=\frac{x}{200} \\ x &=200 \tan \frac{2 \pi}{5} \approx 615.5 \mathrm{ft} \end{aligned}\)

Як варіант, ви могли помітити, що\(\frac{\pi}{10}\) це чергування внутрішніх кутів з кутом піднесення маяка з точки зору човна. Це дало б таку ж відстань для\(x\).

Приклад 5

З третього поверху будівлі (50 футів) Девід спостерігає автомобіль, що рухається до будівлі, їде вулицями внизу. Якщо кут натискання автомобіля змінюється від\(21^{\circ}\) до,\(45^{\circ}\) поки він дивиться, як далеко проїхав автомобіль?

Намалюйте дуже обережний малюнок:

У правому верхньому куті малюнка є чотири важливих кути, які позначені кутами. Міри цих кутів ззовні в є\(90^{\circ}, 45^{\circ}, 21^{\circ}, 69^{\circ}\). Праворуч є прямокутний трикутник 45-45-90, тому основа також повинна бути\(50 .\) Тому ви можете встановити та вирішити рівняння для\(x\)

\(\begin{aligned} \tan 69^{\circ} &=\frac{x+50}{50} \\ x &=50 \tan 69^{\circ}-50 \approx 80.25 \mathrm{ft} \end{aligned}\)

Рецензія

Кут западини човна на відстані від вершини маяка становить\(\frac{\pi}{6}\). Висота маяка становить 150 футів. Ви хочете знайти відстань від підстави маяка до човна.

1. Намалюйте картину цієї ситуації.

2. Які методи або прийоми ви будете використовувати?

3. Вирішити проблему.

З третього поверху будівлі (60 футів) Джефф спостерігає автомобіль, що рухається до будівлі, їде вулицями внизу. Кут натискання автомобіля змінюється від\(34^{\circ}\) до,\(62^{\circ}\) поки він спостерігає. Ви хочете знати, як далеко проїхала машина.

4. Намалюйте картину цієї ситуації.

5. Які методи або прийоми ви будете використовувати?

6. Вирішити проблему.

Човен подорожує 6 миль на північний захід, а потім 2 милі на південний захід. Ви хочете знати, як далеко човен знаходиться від початкової точки.

7. Намалюйте картину цієї ситуації.

8. Які методи або прийоми ви будете використовувати?

9. Вирішити проблему.

Ви хочете з'ясувати висоту будівлі. Від точки\(A\), ви вимірюєте кут піднесення до вершини будівлі, яка повинна бути\(\alpha=10^{\circ}\). Ви рухаєтеся на 50 футів ближче до будівлі до точки\(B\) і виявите, що кут до вершини будівлі тепер\(\beta=60^{\circ}\).

10. Намалюйте картину цієї ситуації.

11. Які методи або прийоми ви будете використовувати?

12. Вирішити проблему.

13. Враховуючи\(\Delta A B C\) з\(A=40^{\circ}, C=65^{\circ}\) і\(b=8\) в, що таке\(a\)?

14. Дано\(\Delta A B C\) з\(A=\frac{\pi}{3}\) радіанами,\(C=\frac{\pi}{8}\) радіанами і\(b=12\) в чому\(a\)?

15. Дано\(\Delta A B C\) з\(A=\frac{\pi}{6}\) радіанами,\(C=\frac{\pi}{4}\) радіанами і\(b=20\) в чому\(a\)?