4.7: Площа трикутника
- Page ID
- 54421
З геометрії ви вже знаєте, що площа трикутника\(\frac{1}{2} \cdot b \cdot h\)
Що робити, якщо вам дано сторони трикутника 5 і 6, а кут між сторонами є\(\frac{\pi}{3} ?\) Вам прямо не дано висоту, але ви все ще можете з'ясувати площу трикутника?
Знаходження площі трикутників
Функція синуса дозволяє знайти висоту будь-якого трикутника і підставити це значення в звичну формулу площі трикутника.
За допомогою функції синуса можна виділити\(h\) по висоті:
\(\begin{aligned} \sin C &=\frac{h}{a} \\ a \sin C &=h \end{aligned}\)
Підставляємо в площу формулу:
\(\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} b \cdot h \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} b \cdot a \cdot \sin C \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \end{aligned}\)
Нагадаємо, що змінні, що використовуються для позначення сторін і відповідних кутів, є довільними, так як сторона і її протилежний кут поділяють одну і ту ж змінну (сторона\(c\) має протилежний кут\(C\)). Якби вам дали\(\Delta A B C\)\(A=22^{\circ}, b=6, c=7\) і попросили знайти область, ви б скористалися формулою:
\(\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} b c \sin A \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin 22^{\circ} \approx 7.86 \text { units}^{2} \end{aligned}\)
Важливою частиною є те, що жодна дана сторона не відповідає заданому куту.
Бонусне відео: Існує ще один спосіб знайти площу трикутника, Формула Герона. Про це піде мова в прикладі 5. Формула Герона використовується, коли задано три довжини сторін.
Приклади
Раніше вам дали сторони трикутника 5 і 6 і кут між сторонами\(\theta=\frac{\pi}{3}\) і попросили знайти площу.
\(=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \frac{\pi}{3} \approx 12.99\)Одиниці площі\(^{2}\)
Враховуючи\(\Delta X Y Z\) має площу 28 квадратних дюймів, який кут включений між довжиною сторони 8 і\(9 ?\)
\(\begin{aligned} A r e a &=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ 28 &=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin C \\ \sin C &=\frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9} \\ C &=\sin ^{-1}\left(\frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9}\right) \approx 51.06^{\circ} \end{aligned}\)
Заданий трикутник\(A B C\) з\(A=12^{\circ}, b=4\) і\(A r e a=1.7\) одиниці,\(^{2},\) яка довжина сторони\(c ?\)
\(\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin A \\ 1.7 &=\frac{1}{2} \cdot c \cdot 4 \cdot \sin 12^{\circ} \\ c &=\frac{1.7 \cdot 2}{4 \cdot \sin 12^{\circ}} \approx 4.09 \end{aligned}\)
Площа трикутника дорівнює 3 квадратним одиницям. Дві сторони трикутника - це 4 одиниці і 5 одиниць. Яка міра їх включеного кута?
\(3=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta\)
\(\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}\right) \approx 17.46^{\circ}\)
Що таке площа\(\Delta X Y Z\) з\(x=11, y=12, z=13 ?\)
Оскільки жоден з кутів не задано, існує два можливі шляхи вирішення. Ви можете використовувати Закон Косинуса, щоб знайти один кут.
\(=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5\)Одиниці площі\(^{2}\)
Кут, протилежний стороні довжини 11 приблизно,\(52.02^{\circ}\) тому площа становить:
\(=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5\)Одиниці площі\(^{2}\)
Інший спосіб знайти область - це використання Формули Герона, яка є:
Площа\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
Де\(s\) знаходиться півпериметр:
\(s=\frac{a+b+c}{2}\)
Використовуючи формулу Герона для знаходження площі ΔXYZ повертає таке ж значення:
\(s=\frac{a+b+c}{2}\)
\(s=\frac{11+12+13}{2}=\frac{36}{2}=18\)
\(A=\sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}\)
\(A=\sqrt{18 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}\)
\(A=\sqrt{3780} \approx 61.5\)одиниць\(^{2}\)
Площа трикутника дорівнює 3 квадратним одиницям. Дві сторони трикутника - це 4 одиниці і 5 одиниць. Яка міра їх включеного кута?
\(3=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta\)
\(\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}\right) \approx 17.45 \ldots\)
Рецензія
Для\(1-11\), знайдіть площу кожного трикутника.
1. \(\Delta A B C\)якщо\(a=13, b=15\), і\(\angle C=70^{\circ}\).
2. \(\Delta A B C\)якщо\(b=8, c=4,\) і\(\angle A=58^{\circ}\).
3. \(\Delta A B C\)якщо\(b=34, c=29\), і\(\angle A=125^{\circ}\).
4. \(\Delta A B C\)якщо\(a=3, b=7,\) і\(\angle C=81^{\circ}\).
5. \(\Delta A B C\)якщо\(a=4.8, c=3.7,\) і\(\angle B=54^{\circ} .\)
6. \(\Delta A B C\)якщо\(a=12, b=5\), і\(\angle C=22^{\circ}\).
7. \(\Delta A B C\)якщо\(a=3, b=10\), і\(\angle C=65^{\circ}\).
8. \(\Delta A B C\)якщо\(a=5, b=9,\) і\(\angle C=11^{\circ}\).
9. \(\Delta A B C\)якщо\(a=5, b=7,\) і\(c=8\).
10. \(\Delta A B C\)якщо\(a=7, b=8,\) і\(c=14\).
11. \(\Delta A B C\)якщо\(a=12, b=14,\) і\(c=13\).
12. Площа трикутника становить 12 квадратних одиниць. Дві сторони трикутника - це 8 одиниць і 4 одиниці. Яка міра їх включеного кута?
13. Площа трикутника дорівнює 23 квадратним одиницям. Дві сторони трикутника - це 14 одиниць і 5 одиниць. Яка міра їх включеного кута?
14. Враховуючи\(\Delta D E F\) має площу 32 квадратних дюймів, який кут включений між довжиною сторони 9 і\(10 ?\)
15. Враховуючи\(\Delta G H I\) має площу 15 квадратних дюймів, який кут включений між довжиною сторони 7 і\(11 ?\)