4.7: Площа трикутника

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.6: Закон Сінеса
- 4.8: Застосування базової тригонометрії трикутника

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

З геометрії ви вже знаєте, що площа трикутника $\frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

Що робити, якщо вам дано сторони трикутника 5 і 6, а кут між сторонами є $\frac{\pi}{3} ?$ Вам прямо не дано висоту, але ви все ще можете з'ясувати площу трикутника?

Знаходження площі трикутників

Функція синуса дозволяє знайти висоту будь-якого трикутника і підставити це значення в звичну формулу площі трикутника.

За допомогою функції синуса можна виділити $h$ по висоті:

$\begin{aligned} \sin C &=\frac{h}{a} \\ a \sin C &=h \end{aligned}$

Підставляємо в площу формулу:

$\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} b \cdot h \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} b \cdot a \cdot \sin C \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \end{aligned}$

Нагадаємо, що змінні, що використовуються для позначення сторін і відповідних кутів, є довільними, так як сторона і її протилежний кут поділяють одну і ту ж змінну (сторона $c$ має протилежний кут $C$ ). Якби вам дали $\Delta A B C$ $A=22^{\circ}, b=6, c=7$ і попросили знайти область, ви б скористалися формулою:

$\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} b c \sin A \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin 22^{\circ} \approx 7.86 \text { units}^{2} \end{aligned}$

Важливою частиною є те, що жодна дана сторона не відповідає заданому куту.

Бонусне відео: Існує ще один спосіб знайти площу трикутника, Формула Герона. Про це піде мова в прикладі 5. Формула Герона використовується, коли задано три довжини сторін.

Приклади

Приклад 1

Раніше вам дали сторони трикутника 5 і 6 і кут між сторонами $\theta=\frac{\pi}{3}$ і попросили знайти площу.

$=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \frac{\pi}{3} \approx 12.99$ Одиниці площі $^{2}$

Приклад 2

Враховуючи $\Delta X Y Z$ має площу 28 квадратних дюймів, який кут включений між довжиною сторони 8 і $9 ?$

$\begin{aligned} A r e a &=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ 28 &=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin C \\ \sin C &=\frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9} \\ C &=\sin ^{-1}\left(\frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9}\right) \approx 51.06^{\circ} \end{aligned}$

Приклад 3

Заданий трикутник $A B C$ з $A=12^{\circ}, b=4$ і $A r e a=1.7$ одиниці, $^{2},$ яка довжина сторони $c ?$

$\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin A \\ 1.7 &=\frac{1}{2} \cdot c \cdot 4 \cdot \sin 12^{\circ} \\ c &=\frac{1.7 \cdot 2}{4 \cdot \sin 12^{\circ}} \approx 4.09 \end{aligned}$

Приклад 4

Площа трикутника дорівнює 3 квадратним одиницям. Дві сторони трикутника - це 4 одиниці і 5 одиниць. Яка міра їх включеного кута?

$3=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta$
$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}\right) \approx 17.46^{\circ}$

Приклад 5

Що таке площа $\Delta X Y Z$ з $x=11, y=12, z=13 ?$

Оскільки жоден з кутів не задано, існує два можливі шляхи вирішення. Ви можете використовувати Закон Косинуса, щоб знайти один кут.

$=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5$ Одиниці площі $^{2}$

Кут, протилежний стороні довжини 11 приблизно, $52.02^{\circ}$ тому площа становить:

$=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5$ Одиниці площі $^{2}$

Інший спосіб знайти область - це використання Формули Герона, яка є:

Площа $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Де $s$ знаходиться півпериметр:

$s=\frac{a+b+c}{2}$

Використовуючи формулу Герона для знаходження площі ΔXYZ повертає таке ж значення:

$s=\frac{a+b+c}{2}$
$s=\frac{11+12+13}{2}=\frac{36}{2}=18$
$A=\sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}$
$A=\sqrt{18 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}$
$A=\sqrt{3780} \approx 61.5$ одиниць $^{2}$

Приклад 6

$3=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta$
$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}\right) \approx 17.45 \ldots$

Рецензія

Для $1-11$ , знайдіть площу кожного трикутника.

1. $\Delta A B C$ якщо $a=13, b=15$ , і $\angle C=70^{\circ}$ .

2. $\Delta A B C$ якщо $b=8, c=4,$ і $\angle A=58^{\circ}$ .

3. $\Delta A B C$ якщо $b=34, c=29$ , і $\angle A=125^{\circ}$ .

4. $\Delta A B C$ якщо $a=3, b=7,$ і $\angle C=81^{\circ}$ .

5. $\Delta A B C$ якщо $a=4.8, c=3.7,$ і $\angle B=54^{\circ} .$

6. $\Delta A B C$ якщо $a=12, b=5$ , і $\angle C=22^{\circ}$ .

7. $\Delta A B C$ якщо $a=3, b=10$ , і $\angle C=65^{\circ}$ .

8. $\Delta A B C$ якщо $a=5, b=9,$ і $\angle C=11^{\circ}$ .

9. $\Delta A B C$ якщо $a=5, b=7,$ і $c=8$ .

10. $\Delta A B C$ якщо $a=7, b=8,$ і $c=14$ .

11. $\Delta A B C$ якщо $a=12, b=14,$ і $c=13$ .

12. Площа трикутника становить 12 квадратних одиниць. Дві сторони трикутника - це 8 одиниць і 4 одиниці. Яка міра їх включеного кута?

13. Площа трикутника дорівнює 23 квадратним одиницям. Дві сторони трикутника - це 14 одиниць і 5 одиниць. Яка міра їх включеного кута?

14. Враховуючи $\Delta D E F$ має площу 32 квадратних дюймів, який кут включений між довжиною сторони 9 і $10 ?$

15. Враховуючи $\Delta G H I$ має площу 15 квадратних дюймів, який кут включений між довжиною сторони 7 і $11 ?$