4.5: Закон косинусів

Закон Косинуса - узагальнена теорема Піфагора, яка дозволяє вирішувати для відсутніх сторін і кутів трикутника, навіть якщо це не прямокутний трикутник. Припустимо, у вас трикутник зі сторонами 11, 12 і 13. Яка міра кута, протилежного 11?

Закон косинусів

Закон косинусів - це:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C$

Важливо розуміти докази:

Ви знаєте чотири факти з картинки:

\ [
a=a_ {1} +a_ {2}
\]

\ [
b^ {2} =a_ {1} ^ {2} +h^ {2}
\]

\ [
c^ {2} =a_ {2} ^ {2} +h^ {2}
\]

\ [
\ cos C =\ гідророзриву {a_ {1}} {b}
\]

Після того, як ви самі переконаєтеся, що ви згодні з кожним із цих фактів, перевірте алгебраїчно, що ці наступні два факти повинні бути правдивими.

\ [
a_ {2} =а-а_ {1}
\]

\ [
a_ {1} =б\ cdot\ cos C
\]

Тепер Закон косинусів готовий бути доведений за допомогою підміни, ФОЛЬГА, більшої підміни та рерайтингу, щоб отримати порядок термінів правильно.

$c^{2}=a_{2}^{2}+h^{2} \quad(3$знову$)$
$c^{2}=\left(a-a_{1}\right)^{2}+h^{2} \quad($ замінюємо за допомогою 5$)$
$c^{2}=a^{2}-2 a \cdot a_{1}+a_{1}^{2}+h^{2} \quad(\mathrm{FOIL})$
$c^{2}=a^{2}-2 a \cdot b \cdot \cos C+a_{1}^{2}+h^{2} \quad($ замінників за допомогою 6$)$
$c^{2}=a^{2}-2 a \cdot b \cdot \cos C+b^{2} \quad($ замінників за допомогою 2$)$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \quad$ (переставити терміни)

Існує всього два типи проблем, при яких доречно використовувати Закон Косинусів. Перший - коли вам дають всі три сторони трикутника і просять знайти невідомий кут. Це називається SSS (бічна сторона) в геометрії. Друга ситуація, коли ви будете використовувати Закон Косинусів - це коли вам дають дві сторони і включений кут, і вам потрібно знайти третю сторону. Це називається SAS (бічний кут-сторона).

Візьміть наступний трикутник.

Міра кута$D$ відсутня і її можна знайти за допомогою Закону косинусів. Необхідно дуже ретельно встановити рівняння Закону косинусів з$D$ відповідним протилежній стороні Літери не$A B C$ схожі на доказ, але ці літери завжди можна змінити, щоб відповідати задачі, якщо кут в косинусі відповідає стороні, яка використовується в$230 .$ ліву частину рівняння.

$\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 230^{2} &=120^{2}+150^{2}-2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos D \\ 230^{2}-120^{2}-150^{2} &=-2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos D \\ \frac{230^{2}-120^{2}-150^{2}}{-2 \cdot 120 \cdot 150} &=\cos D \\ D &=\cos ^{-1}\left(\frac{230^{2}-120^{2}-150^{2}}{-2 \cdot 120 \cdot 150}\right) \approx 116.4^{\circ} \approx 2.03 \text { radians } \end{aligned}$

Приклади

Приклад 1

Раніше вам давали трикутник зі сторонами 11, 12 і 13 і запитали, яка міра кута протилежного 11. Трикутник, який має сторони 11, 12 і 13, не буде прямокутним трикутником. Для того, щоб вирішити відсутній кут, вам потрібно використовувати Закон Косинусів, оскільки це ситуація SSS.

$\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 11^{2} &=12^{2}+(13)^{2}-2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cos C \\ C &=\cos ^{-1}\left(\frac{11^{2}-12^{2}-13^{2}}{-2 \cdot 12 \cdot 13}\right) \approx 52.02^{\circ} \end{aligned}$

Приклад 2

Визначте довжину боку$p$.

$\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ p^{2} &=212^{2}+388^{2}-2 \cdot 212 \cdot 388 \cdot \cos 82^{\circ} \\ p^{2} & \approx 172592.354815 \\ p & \approx 415.44 \end{aligned}$

Приклад 3

Визначте ступінь міри кута$N$.

Цю проблему необхідно виконати з двох частин. Спочатку застосовують Закон косинусів, щоб визначити довжину сторони$m$. Це ситуація SAS, як приклад B. Коли у вас є всі три сторони, ви опинитеся в ситуації SSS, як у$A$ прикладі, і зможете знову застосувати Закон косинусів, щоб знайти невідомий кут$N$.

$\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ m^{2} &=38^{2}+40^{2}-2 \cdot 38 \cdot 40 \cdot \cos 93^{\circ} \\ m^{2} & \approx 3203.1 \\ m & \approx 56.59 \end{aligned}$

Тепер, коли у вас є всі три сторони, ви можете знову застосувати Закон косинусів, щоб знайти невідомий кут$N$. Не забудьте зіставити кут$N$ з відповідною довжиною сторони 38 дюймів. Також найкраще зберігати$m$ в калькуляторі і використовувати неокруглене число у ваших майбутніх розрахунках.

$\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 38^{2} &=40^{2}+(56.59)^{2}-2 \cdot 40 \cdot(56.59) \cdot \cos N \\ 38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2} &=-2 \cdot 40 \cdot(56.59) \cdot \cos N \\ \frac{38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2}}{-2 \cdot 40 \cdot(56.59)} &=\cos N \\ N &=\cos ^{-1}\left(\frac{38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2}}{-2 \cdot 40 \cdot(56.59)}\right) \approx 42.1^{\circ} \end{aligned}$

Для наступних двох прикладів використовуйте трикутник нижче.

Приклад 4

Визначте довжину боку$r$.

$r^{2}=36^{2}+42^{2}-2 \cdot 36 \cdot 42 \cdot \cos 63$

$r \approx 41.07$

Приклад 5

Визначте довжину боку$r$.

$r^{2}=36^{2}+42^{2}-2 \cdot 36 \cdot 42 \cdot \cos 63$

$r \approx 41.07$

Рецензія

Для всіх задач знайдіть кути в градусах, округлені до одного знака після коми.

В$\Delta A B C, a=12, b=15,$ і$c=20$

1. Знайдіть міру кута$A$.

2. Знайдіть міру кута$B$.

3. Знайдіть міру кута$C$.

4. Знайти міру кута$C$ можна по-іншому.

В$\Delta D E F, d=20, e=10,$ і$f=16$

5. Знайдіть міру кута$D$.

6. Знайдіть міру кута$E$.

7. Знайдіть міру кута$F$.

В$\Delta G H I, g=19, \angle H=55^{\circ},$ і$i=12$

8. Знайти довжину$h$.

9. Знайдіть міру кута$G$.

10. Знайдіть міру кута$I$.

11. Поясніть, чому Закон косинусів пов'язаний з теоремою Піфагора.

12. Які два типи проблем, де ви можете використовувати Закон косинусів?

Використовуйте Закон косинусів, щоб визначити, чи можливий кожен трикутник.

13. $a=5, b=6, c=15$

14. $a=1, b=5, c=4$

15. $a=5, b=6, c=10$

...