4.5: Закон косинусів
- Page ID
- 54422
Закон Косинуса - узагальнена теорема Піфагора, яка дозволяє вирішувати для відсутніх сторін і кутів трикутника, навіть якщо це не прямокутний трикутник. Припустимо, у вас трикутник зі сторонами 11, 12 і 13. Яка міра кута, протилежного 11?
Закон косинусів
Закон косинусів - це:
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C\)
Важливо розуміти докази:
Ви знаєте чотири факти з картинки:
\ [
a=a_ {1} +a_ {2}
\]
\ [
b^ {2} =a_ {1} ^ {2} +h^ {2}
\]
\ [
c^ {2} =a_ {2} ^ {2} +h^ {2}
\]
\ [
\ cos C =\ гідророзриву {a_ {1}} {b}
\]
Після того, як ви самі переконаєтеся, що ви згодні з кожним із цих фактів, перевірте алгебраїчно, що ці наступні два факти повинні бути правдивими.
\ [
a_ {2} =а-а_ {1}
\]
\ [
a_ {1} =б\ cdot\ cos C
\]
Тепер Закон косинусів готовий бути доведений за допомогою підміни, ФОЛЬГА, більшої підміни та рерайтингу, щоб отримати порядок термінів правильно.
\(c^{2}=a_{2}^{2}+h^{2} \quad(3\)знову\()\)
\(c^{2}=\left(a-a_{1}\right)^{2}+h^{2} \quad(\) замінюємо за допомогою 5\()\)
\(c^{2}=a^{2}-2 a \cdot a_{1}+a_{1}^{2}+h^{2} \quad(\mathrm{FOIL})\)
\(c^{2}=a^{2}-2 a \cdot b \cdot \cos C+a_{1}^{2}+h^{2} \quad(\) замінників за допомогою 6\()\)
\(c^{2}=a^{2}-2 a \cdot b \cdot \cos C+b^{2} \quad(\) замінників за допомогою 2\()\)
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \quad\) (переставити терміни)
Існує всього два типи проблем, при яких доречно використовувати Закон Косинусів. Перший - коли вам дають всі три сторони трикутника і просять знайти невідомий кут. Це називається SSS (бічна сторона) в геометрії. Друга ситуація, коли ви будете використовувати Закон Косинусів - це коли вам дають дві сторони і включений кут, і вам потрібно знайти третю сторону. Це називається SAS (бічний кут-сторона).
Візьміть наступний трикутник.
Міра кута\(D\) відсутня і її можна знайти за допомогою Закону косинусів. Необхідно дуже ретельно встановити рівняння Закону косинусів з\(D\) відповідним протилежній стороні Літери не\(A B C\) схожі на доказ, але ці літери завжди можна змінити, щоб відповідати задачі, якщо кут в косинусі відповідає стороні, яка використовується в\(230 .\) ліву частину рівняння.
\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 230^{2} &=120^{2}+150^{2}-2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos D \\ 230^{2}-120^{2}-150^{2} &=-2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos D \\ \frac{230^{2}-120^{2}-150^{2}}{-2 \cdot 120 \cdot 150} &=\cos D \\ D &=\cos ^{-1}\left(\frac{230^{2}-120^{2}-150^{2}}{-2 \cdot 120 \cdot 150}\right) \approx 116.4^{\circ} \approx 2.03 \text { radians } \end{aligned}\)
Приклади
Раніше вам давали трикутник зі сторонами 11, 12 і 13 і запитали, яка міра кута протилежного 11. Трикутник, який має сторони 11, 12 і 13, не буде прямокутним трикутником. Для того, щоб вирішити відсутній кут, вам потрібно використовувати Закон Косинусів, оскільки це ситуація SSS.
\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 11^{2} &=12^{2}+(13)^{2}-2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cos C \\ C &=\cos ^{-1}\left(\frac{11^{2}-12^{2}-13^{2}}{-2 \cdot 12 \cdot 13}\right) \approx 52.02^{\circ} \end{aligned}\)
Визначте довжину боку\(p\).
\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ p^{2} &=212^{2}+388^{2}-2 \cdot 212 \cdot 388 \cdot \cos 82^{\circ} \\ p^{2} & \approx 172592.354815 \\ p & \approx 415.44 \end{aligned}\)
Визначте ступінь міри кута\(N\).
Цю проблему необхідно виконати з двох частин. Спочатку застосовують Закон косинусів, щоб визначити довжину сторони\(m\). Це ситуація SAS, як приклад B. Коли у вас є всі три сторони, ви опинитеся в ситуації SSS, як у\(A\) прикладі, і зможете знову застосувати Закон косинусів, щоб знайти невідомий кут\(N\).
\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ m^{2} &=38^{2}+40^{2}-2 \cdot 38 \cdot 40 \cdot \cos 93^{\circ} \\ m^{2} & \approx 3203.1 \\ m & \approx 56.59 \end{aligned}\)
Тепер, коли у вас є всі три сторони, ви можете знову застосувати Закон косинусів, щоб знайти невідомий кут\(N\). Не забудьте зіставити кут\(N\) з відповідною довжиною сторони 38 дюймів. Також найкраще зберігати\(m\) в калькуляторі і використовувати неокруглене число у ваших майбутніх розрахунках.
\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 38^{2} &=40^{2}+(56.59)^{2}-2 \cdot 40 \cdot(56.59) \cdot \cos N \\ 38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2} &=-2 \cdot 40 \cdot(56.59) \cdot \cos N \\ \frac{38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2}}{-2 \cdot 40 \cdot(56.59)} &=\cos N \\ N &=\cos ^{-1}\left(\frac{38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2}}{-2 \cdot 40 \cdot(56.59)}\right) \approx 42.1^{\circ} \end{aligned}\)
Для наступних двох прикладів використовуйте трикутник нижче.
Визначте довжину боку\(r\).
\(r^{2}=36^{2}+42^{2}-2 \cdot 36 \cdot 42 \cdot \cos 63\)
\(r \approx 41.07\)
Визначте довжину боку\(r\).
\(r^{2}=36^{2}+42^{2}-2 \cdot 36 \cdot 42 \cdot \cos 63\)
\(r \approx 41.07\)
Рецензія
Для всіх задач знайдіть кути в градусах, округлені до одного знака після коми.
В\(\Delta A B C, a=12, b=15,\) і\(c=20\)
1. Знайдіть міру кута\(A\).
2. Знайдіть міру кута\(B\).
3. Знайдіть міру кута\(C\).
4. Знайти міру кута\(C\) можна по-іншому.
В\(\Delta D E F, d=20, e=10,\) і\(f=16\)
5. Знайдіть міру кута\(D\).
6. Знайдіть міру кута\(E\).
7. Знайдіть міру кута\(F\).
В\(\Delta G H I, g=19, \angle H=55^{\circ},\) і\(i=12\)
8. Знайти довжину\(h\).
9. Знайдіть міру кута\(G\).
10. Знайдіть міру кута\(I\).
11. Поясніть, чому Закон косинусів пов'язаний з теоремою Піфагора.
12. Які два типи проблем, де ви можете використовувати Закон косинусів?
Використовуйте Закон косинусів, щоб визначити, чи можливий кожен трикутник.
13. \(a=5, b=6, c=15\)
14. \(a=1, b=5, c=4\)
15. \(a=5, b=6, c=10\)
...