4.6: Закон Сінеса
- Page ID
- 54427
Коли задано прямокутний трикутник, ви можете використовувати базову тригонометрію для вирішення відсутньої інформації. При наданні SSS або SAS ви можете використовувати Закон косинусів для вирішення відсутньої інформації. Але що відбувається, коли вам дають дві сторони трикутника і кут, який не включений? Існує багато способів показати, що два трикутники є конгруентними, але SSA не є одним з них. Чому б і ні?
Закон Синеса
Коли задано дві сторони і кут, який не входить між двома сторонами, можна використовувати Закон Синес. Закон Синусів стверджує, що в кожному трикутнику відношення кожної сторони до синусу відповідного його кута завжди однакове. По суті, це уточнює загальну концепцію, що навпроти найбільшого кута завжди найдовша сторона.
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
Ось доказ Закону Синеса:
Дивлячись на правильний трикутник, утворений зліва:
\(\begin{aligned} \sin A &=\frac{h}{b} \\ h &=b \sin A \end{aligned}\)
Дивлячись на прямокутний трикутник, утворений праворуч:
\(\begin{aligned} \sin B &=\frac{h}{a} \\ h &=a \sin B \end{aligned}\)
Прирівнюючи висоти, які повинні бути однаковими:
\(\begin{aligned} a \sin B &=b \sin A \\ \frac{a}{\sin A} &=\frac{b}{\sin B} \end{aligned}\)
Найкращий спосіб використовувати Закон Синеса - це малювати надзвичайно послідовну картину кожного разу, навіть якщо це означає перемальовування та позначення зображення. Причина, чому послідовність важлива, полягає в тому, що іноді дана інформація SSA визначає нуль, один або навіть два можливих трикутника.
Завжди малюйте заданий кут в лівому нижньому куті з двома заданими сторонами вище.
У цьому образі сторона\(a\) навмисно занадто коротка, але в більшості проблем ви цього не дізнаєтеся. Вам потрібно буде порівняти\(a\) з висотою.
\(\begin{aligned} \sin A &=\frac{h}{c} \\ h &=c \sin A \end{aligned}\)
Це прийнято називати перевіркою неоднозначного випадку. Існує чотири різних тести для визначення кількості трикутників, які існують з урахуванням вимірювань.
Випадок 1:\(a<h\)
Простіше кажучи, сторона\(a\) недостатньо довга, щоб дійти до протилежної сторони і побудувати трикутник неможливо. Нульові трикутники існують.
Випадок 2:\(a=h\)
Сторона\(a\) просто ледь доходить до протилежної сторони, утворюючи\(90^{\circ}\) кут.
Випадок 3:\(h<a<c\)
У цьому випадку сторона\(a\) може гойдатися до внутрішньої частини трикутника або зовнішньої частини трикутника - можливі два трикутника. Це називається неоднозначним випадком, оскільки дана інформація не однозначно ідентифікує один трикутник. Щоб вирішити для обох трикутників, використовуйте Закон синусів, щоб\(C_{1}\) спочатку вирішити кут, а потім використовувати додаток для визначення\(C_{2}\).
Випадок 4:\(c \leq a\)
При цьому сторона\(a\) може розгойдуватися тільки в бік зовнішньої частини трикутника, тільки виробляючи\(C_{1}\).
Що стосується SSA, ви завжди повинні перевіряти, скільки трикутників існує, перш ніж починати знаходити заходи. Візьмемо наступний трикутник:
\(\angle A=40^{\circ}, c=13,\)і\(a=2\)
Перш ніж намагатися знайти\(\angle C\), потрібно перевірити, чи можливий трикутник і якщо є більше одного рішення. Використовуйте рівняння зверху,
\(\begin{aligned} \sin 40^{\circ} &=\frac{h}{13} \\ h &=13 \sin 40^{\circ} \approx 8.356 \end{aligned}\)
Тому що\(a<h(2<8.356)\), ця інформація не утворює належного трикутника.
Приклади
Раніше вас запитали, чому SSA не є методом, щоб показати, що два трикутники є конгруентними. SSA не є методом геометрії, який показує, що два трикутники є конгруентними, оскільки він не завжди визначає унікальний трикутник. Іноді немає ні трикутника, ні одного трикутника, ні двох трикутників.
\(\angle A=17^{\circ}, c=14,\)і по\(a=4.0932 \ldots\) можливості знайдіть\(\angle C\)
Перевірити, чи можна трикутник:
\(\begin{aligned} \sin 17^{\circ} &=\frac{h}{14} \\ h &=14 \sin 17^{\circ} \approx 4.0932 \end{aligned}\)
так як\(a=h\), ця інформація утворює рівно один трикутник і кут\(C\) повинен бути\(90^{\circ}\).
\(\angle A=22^{\circ}, c=11\)і по\(a=9 .\) можливості знайдіть\(\angle C\)
Перевірити, чи можна трикутник:
\(\begin{aligned} \sin 22^{\circ} &=\frac{h}{11} \\ h &=11 \sin 22^{\circ} \approx 4.12 \end{aligned}\)
так як для кута\(h<a<c,\) повинно бути два можливих кута\(C\).
Застосовуйте Закон синусів:
\(\begin{aligned} \frac{9}{\sin 22^{\circ}} &=\frac{11}{\sin C_{1}} \\ 9 \sin C_{1} &=11 \sin 22^{\circ} \\ \sin C_{1} &=\frac{11 \sin 22^{\circ}}{9} \\ C_{1} &=\sin ^{-1}\left(\frac{11 \sin 22^{\circ}}{9}\right) \approx 27.24^{\circ} \\ C_{2} &=180-C_{1} \approx 152.75^{\circ} \end{aligned}\)
Дано\(\Delta A B C\) де\(A=12^{\circ}, B=50^{\circ}, a=14\) знайти\(b\).
\(\frac{14}{\sin 12^{\circ}}=\frac{b}{\sin 50^{\circ}}\)
\(b=\frac{14 \sin 50^{\circ}}{\sin 12^{\circ}} \approx 51.58\)
Дано\(\Delta A B C\) де\(A=70^{\circ}, b=8, a=3,\) знайти,\(\angle B\) якщо це можливо.
\(\sin 70^{\circ}=\frac{h}{8}\)
\(h=8 \sin 70^{\circ} \approx 7.51 \ldots\)
Тому що\(a<h,\) цей трикутник неможливий.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Для 1-3 намалюйте малюнок трикутника і вкажіть, скільки трикутників може бути сформовано з заданими значеннями.
1. \(A=30^{\circ}, a=13, b=15\)
2. \(A=22^{\circ}, a=21, b=12\)
3. \(A=42^{\circ}, a=36, b=37\)
Для\(4-7,\) пошуку всіх можливих мір\(\angle B\) (якщо такі є) для кожного з наступних значень трикутника.
4. \(A=86^{\circ}, a=15, b=11\)
5. \(A=30^{\circ}, a=24, b=43\)
6. \(A=48^{\circ}, a=34, b=39\)
7. \(A=80^{\circ}, a=22, b=20\)
Для 8 -12 знайти довжину\(b\) для кожного з наступних значень трикутника.
8. \(A=94^{\circ}, a=31, B=34^{\circ}\)
9. \(A=112^{\circ}, a=12, B=15^{\circ}\)
10. \(A=78^{\circ}, a=20, B=16^{\circ}\)
11. \(A=54^{\circ}, a=15, B=112^{\circ}\)
12. \(A=39^{\circ}, a=9, B=98^{\circ}\)
13. В\(\Delta A B C, b=10\) і\(\angle A=39^{\circ}\). Яке можливе значення для того\(a\), щоб спричинити два трикутники?
14. В\(\Delta A B C, b=10\) і\(\angle A=39^{\circ}\). Яке можливе значення для\(a\) того, щоб не було трикутників?
15. В\(\Delta A B C, b=10\) і\(\angle A=39^{\circ} .\) Яке можливе значення для того\(a\), щоб створити один трикутник?